IntroducciĆ³n

Existen diversas formas que nos permiten cuantificar el riesgo en una entidad financiera, aseguradora o simplemente comercial. En las Ćŗltimas dĆ©cadas se ha aplicado un sin numero de modelos estadĆ­sticos y matemĆ”ticos para de este modo, las entidades sean capaces de conocer el riesgo o las perdidas mĆ”ximas a las que estĆ”n expuestas. A continuaciĆ³n, se emplearĆ” diversos modelos que han sido desarrollados en las Ćŗltimas dĆ©cadas que son capaces de exponer el riesgo al que esta expuesto una entidad. Las empresas seleccionadas son tres multinacioales: J.P. Morgan (JPM), The Chubb Corportation (CHUBB) y American International Group (AIG). Para entender el riesgo al que estĆ”n expuestas estas empresas, en primer lugar procedemos a descargarnos las series temporales del precio de sus acciones, de este modo, analizando el comportamiento de las fluctuaciones de las series temporales, seremos capaces de cuantificar el riesgo de estas entidades.

EstadĆ­stica descriptiva

##       JPM             CHUBB             AIG       
##  Min.   : 74.87   Min.   : 90.91   Min.   :17.79  
##  1st Qu.: 94.70   1st Qu.:122.02   1st Qu.:32.94  
##  Median :100.30   Median :129.67   Median :41.00  
##  Mean   :102.98   Mean   :131.23   Mean   :40.60  
##  3rd Qu.:107.74   3rd Qu.:144.37   3rd Qu.:48.90  
##  Max.   :132.81   Max.   :158.36   Max.   :53.83

MĆ©todo de varianza y covarianza

Una vez que hemos obtenido la serie temporal del precio de las acciones de las empresas, se procede a transformar las series en logaritmos naturales y a hacer las diferencias de esta transformaciĆ³n logarĆ­tmica. De este modo, procedemos a obtener el valor medio de las diferencias logarĆ­tmicas de cada serie temporal. Transformamos la serie de datos a una serie logarĆ­tmica debido a que nos ayuda a captar mejor el comportamiento de los datos, de esta manera, al suavizar la serie y diferenciarla, se puede apreciar mejor las fluctuaciones que Ć©sta presenta a lo largo del tiempo.

Valor medio de la serie logarĆ­tmica

##           [,1]
## JPM   -0.00010
## CHUBB -0.00018
## AIG   -0.00114

Ahora, procedemos a calcular la matriz de varianza y covarianza que se muestra a continuaciĆ³n

Matriz de varianza y covarianza

##           JPM   CHUBB     AIG
## JPM   0.00061 0.00041 0.00065
## CHUBB 0.00041 0.00049 0.00053
## AIG   0.00065 0.00053 0.00111

A continuaciĆ³n, se procede a generar una matriz de los pesos obtenidos del portafolio y un escalar como valor de la cartera, donde: W= Pesos de las empresas en el portafolio v= Valor de la cartera

El peso del portafolio, corresponde a tener 100 acciones de cada empresa en el tiempo 1, es decir, en el precio final de la acciĆ³n en la serie temporal tenemos 100 acciones de cada empresa.

# Pesos obtenidos del portafolio
w <- c(0.402536,0.484791,0.112673)
w <- as.matrix(w)
# Valor de la cartera 
V <- 1

En base a lo anterior, ahora se calcula la esperanza y la varianza linealizada en el tiempo 1.

Esperanza linealizada en el tiempo t=1

##          [,1]
## [1,] 0.000256

Varianza linealizada en el tiempo t=1

##          [,1]
## [1,] 0.000505

CƔlculo del VaR (99%) y TVaR

##                            VaR    TVaR
## DistribuciĆ³n normal    0.05253 0.06015
## DistribuciĆ³n t-student 0.05917 0.09112

Como se ha presentado en el cuadro de arriba, se puede observar que nuestras series temporal log-diferencia, segĆŗn una distribuciĆ³n normal, presenta un VaR de 0.052, lo cual quiere decir que, por cada dĆ³lar invertido, la empresa con un 99% de confianza podrĆ­a perder un valor mĆ”ximo de 5.2 centavos. Y, adicionalmente, TVaR de 0.060, es decir, con 1% de probabilidad, en promedio, la pĆ©rdida promedio de la empresa es de 6 centavos por cada dĆ³lar invertido.

Por otro lado, al ajustar a una distribuciĆ³n t-student, el VaR presentado es de 0.059, valor muy similar al anterior presentado con la distribuciĆ³n normal, sin embargo, el TVaR con la distribuciĆ³n t-student ha sido mayor, ya que fue de 0.0912.

SimulaciĆ³n histĆ³rica

En este apartado, procedemos a calcular el VaR y TVaR con una diferente metodologĆ­a a la que se implemento anteriormente, en este caso usamos la simulaciĆ³n histĆ³rica. Para ello, ajustamos nuestros datos a diferentes distribuciones, en este caso serĆ­a a la distribuciĆ³n normal y distribuciĆ³n t-student, y comparamos con el criterio de Akaike, que distribuciĆ³n se ajusta mejor.

Criterios de Akaike

Criterio de Akaike para una distribuciĆ³n Normal

## [1] -2375.926

Criterio de Akaike para una distribuciĆ³n t-student

## [1] -2647.303

En base a los valores presentados de los criterios de akaike, se puede concluir que una distribuciĆ³n normal se ajusta mejor que la distribuciĆ³n t-student a nuestros datos.

VaR y TVaR con distribuciĆ³n Normal y t-student

##                            VaR    TVaR
## DistribuciĆ³n normal    0.05261 0.06023
## DistribuciĆ³n t-student 0.04197 0.06428

Respecto a los valores VaR y TVaR, empleando las distribuciones normal y t-student bajo el metodo de la simulaciĆ³n histĆ³rica, con la distribuciĆ³n normal, el resultado fue muy similar al metodo de varianza y covarianza. Sin embargo, con la distribuciĆ³n t-student, el valor del VaR fue de 0.041, es decir, el valor de perdida mĆ”xima con un 99% de confianza es de 4 centavos por cada dolar invertido, mientras que con 1% de probabilidad, el promedio de la mĆ”xima perdida esperada es de 6.4 centavos por cada dolar invertido.

Normalidad

Normalidad Univariante

A continuaciĆ³n, se presentarĆ” grĆ”ficamente el test de normalidad univariante para conocer si de forma independiente las series temporales presentan una distribuciĆ³n normal.

Como se puede observar en la grĆ”fica, las series temporales del precio de las acciones de las empresas seleccionadas no presentan una distribuciĆ³n normal, sin embargo, para corroborar este resultado, se procede a realizar pruebas de normalidad, empleando los test de Shapiro Wilk.

Test de Normalidad de Shappiro Wilk para JPM

## 
## Title:
##  Shapiro - Wilk Normality Test
## 
## Test Results:
##   STATISTIC:
##     W: 0.8459
##   P VALUE:
##     < 2.2e-16 
## 
## Description:
##  Fri Dec 31 13:30:49 2021 by user: Rai

Test de Normalidad de Shappiro Wilk para CHUBB

## 
## Title:
##  Shapiro - Wilk Normality Test
## 
## Test Results:
##   STATISTIC:
##     W: 0.8323
##   P VALUE:
##     < 2.2e-16 
## 
## Description:
##  Fri Dec 31 13:30:49 2021 by user: Rai

Test de Normalidad de Shappiro Wilk para AIG

## 
## Title:
##  Shapiro - Wilk Normality Test
## 
## Test Results:
##   STATISTIC:
##     W: 0.8391
##   P VALUE:
##     < 2.2e-16 
## 
## Description:
##  Fri Dec 31 13:30:49 2021 by user: Rai

Considerando los resultados presentados, puesto que el p-value es menor a 0.05, se puede concluir que se rechaza la hipĆ³tesis nula, por lo tanto, las series no presentan una distribuciĆ³n normal.

Test conjunta de normalidad

A continuaciĆ³n, se presenta el test de normalidad conjunta de forma grafica y con su respectivo p-value.

jointnormalTest(val.ln)

## KS p-value 
##          0

Una vez que se ha realizado el test de normalidad conjunta, se concluye que los datos de forma conjunta no presentan una distribuciĆ³n normal.

EstimaciĆ³n Monte-Carlo

Para la estimaciĆ³n Monte-Carlo, procedemos a ajustar a nuestros datos a una distribuciĆ³n Normal y a una distribuciĆ³n t-student para saber cuĆ”l se ajusta mejor. Generamos alrededor de 1 millĆ³n de variables aleatorias, para de este modo, utilizando la simulaciĆ³n Monte-Carlo, simular el comportamiento de nuestros datos en ese numero de veces y asĆ­ tener una mejor simulaciĆ³n. A continuaciĆ³n, se presentan los resultados para las distintas distribuciones.

quantile(MC.Lsim, alfa) #VaR al 99% de confianza con una distribuciĆ³n normal 
##        99% 
## 0.05267886
mean(MC.Lsim[MC.Lsim > quantile(MC.Lsim, alfa)]) #TVaR con una distribuciĆ³n normal
## [1] 0.06036631
quantile(MC.Lsimt, alfa) #VaR al 99% de confianza con una distribuciĆ³n t-student
##        99% 
## 0.06028311
mean(MC.Lsimt[MC.Lsimt > quantile(MC.Lsimt, alfa)]) #TVaR con una distribuciĆ³n t-student
## [1] 0.1145192

De acuerdo con los resultados obtenidos, el VaR y TVaR para una distribuciĆ³n normal, son valores muy similares a los ya presentados anteriormente, sin embargo, con una distribuciĆ³n t student, el VaR es de 0.059 y el TVaR es de 0.1165, es decir, los valores de perdida mĆ”xima el 99% de confianza y el promedio por encima de esa perdida mĆ”xima son mayores a los ya presentados anteriormente. No obstante, es importante destacar que, considerando lo que se presento anteriormente, el ajuste a una distribuciĆ³n normal, ha presentado un mejor criterio de Akaike.

Finalmente, para intentar un mejor ajuste de la distribuciĆ³n t student, se procederĆ” a estimar esta distribuciĆ³n dejando libres los parĆ”metros de la simetrĆ­a y estimando la distribuciĆ³n t student asimĆ©trica.

AIC dejando libres los parƔmetros de la simetrƭa

## [1] -8311.415

AIC estimando la distribuciĆ³n t student asimĆ©trica

## [1] -8307.276

Los resultados del criterio de Akaike han demostrado que la estimaciĆ³n con distribuciĆ³n t-student asimĆ©trica se ha ajustado mejor a nuestros datos, por lo tanto, procedemos a calcular el VaR y TVaR de esta dsitribuciĆ³n

VaR de la distribuciĆ³n t-student AsimĆ©trica

##        99% 
## 0.07471301

TVaR de la distribuciĆ³n t-student AsimĆ©trica

## [1] 0.2234543

Modelamientos de los valores extremos

Para comprender mejor el riesgo al que estĆ”n expuestas las empresas seleccionadas, es importante implementar herramientas estadĆ­sticas que nos permitan modelar las colas de la distribuciĆ³n de nuestros datos, de esta forma, podemos comprender mejor el comportamiento de los valores extremos de perdidas que han presentado nuestros datos. Por tal motivo, el siguiente apartado se centra en la modelizaciĆ³n de estos valores extremos, para ello, nos quedamos solo con los valores positivos de nuestros datos, es decir, solo con las perdidas. A continuaciĆ³n, un grĆ”fico que nos permitirĆ” observar de mejor manera estos valores extremos:

##     Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max. 
## 0.000011 0.003052 0.007578 0.014477 0.017462 0.177202

El grĆ”fico obtenido ha demostrado que nuestros datos presentan valores extremos, por lo tanto, se procede a modelizar los datos con diferentes distribuciones que sean capaces de modelizar la cola, de este modo seleccionaremos la distribuciĆ³n que mas se ajusta a nuestros datos para obtener un VaR mas robusto.

VaR de las diferentes distribuciones modelizadas

##                    0.95   0.96   0.97   0.98   0.99  0.995  0.999
## Dist.Exponential 0.0434 0.0466 0.0508 0.0566 0.0667 0.0767 0.1000
## Dist.Weibull     0.0484 0.0527 0.0583 0.0664 0.0807 0.0953 0.1307
## Dist.LogNorm     0.0646 0.0746 0.0890 0.1126 0.1632 0.2291 0.4613
## Dist.GPD         0.0494 0.0552 0.0632 0.0757 0.1010 0.1321 0.2346

AIC de las distribuciones aplicadas

##                     A
## AIC.Exp     -1525.013
## AIC.Weibull -1537.597
## AIC.LogNorm -1530.571
## AIC.GPD     -1546.916

En conclusiĆ³n, se puede observar como las distribuciones Log-Normal y Pareto Generalizada no se ajustan a nuestros datos puesto que estos datos no requieren de distribuciones con colas tan anchas, por lo tanto, las distribuciones que reflejan una realidad mas acorde a nuestra data son la distribuciĆ³n exponencial y la distribuciĆ³n Weibull. No obstante, al tener una cola mas grande, esta ultima es capaz de captar mejor el comportamiento de nuestros datos, ya que nuestra mĆ”xima pĆ©rdida es de 0.177, y la Weibull presenta un VaR al 99% de confianza de 0.13, por lo tanto, de manera conservadora es la que mejor podrĆ­a modelizar nuestra data, a pesar de que, observando los criterios de Akaike, la distribuciĆ³n exponencial muestra un mejor resultado.

Sin embargo, es importante destacar que al observar el VaR de la distribuciĆ³n Pareto Generalizada y Log-Normal, presentan VaR al 99% de confianza mucho mayor al valor mĆ”ximo de nuestra perdida, por lo tanto, son distribuciones que en este caso seria conveniente no emplearlas, puesto que sus resultados distorsionan nuestra realidad.

ANEXOS

Test de normalidad de Jarque Bera

JPM

normalTest(val.ln[,"JPM"], "jb")
## 
## Title:
##  Jarque - Bera Normalality Test
## 
## Test Results:
##   STATISTIC:
##     X-squared: 2850.0941
##   P VALUE:
##     Asymptotic p Value: < 2.2e-16 
## 
## Description:
##  Fri Dec 31 13:30:58 2021 by user: Rai

CHUBB

normalTest(val.ln[,"CHUBB"], "jb")
## 
## Title:
##  Jarque - Bera Normalality Test
## 
## Test Results:
##   STATISTIC:
##     X-squared: 3662.7159
##   P VALUE:
##     Asymptotic p Value: < 2.2e-16 
## 
## Description:
##  Fri Dec 31 13:30:58 2021 by user: Rai

AIG

normalTest(val.ln[,"AIG"], "jb")
## 
## Title:
##  Jarque - Bera Normalality Test
## 
## Test Results:
##   STATISTIC:
##     X-squared: 2612.5376
##   P VALUE:
##     Asymptotic p Value: < 2.2e-16 
## 
## Description:
##  Fri Dec 31 13:30:58 2021 by user: Rai

GrƔficos de las distribuciones de valores extremos

## Warning in densfun(x, parm[1], parm[2], ...): NaNs produced

## Warning in densfun(x, parm[1], parm[2], ...): NaNs produced

## Warning in densfun(x, parm[1], parm[2], ...): NaNs produced