1. Un consultor que habitualmente evalúa un proceso de producción reporta el número de defectos importantes encontrados en cada artículo examinado. Sea \(X\) el número de defectos importantes en un artículo seleccionado al azar. Se sabe que la función de distribución acumulada de \(X\) es: \[ F_X(x) = \begin{cases} 0.00 \,,\,\,\, x < 0; \\ 0.06 \,,\,\,\, 0 \leq x < 1; \\ 0.19 \,,\,\,\, 1 \leq x < 2; \\ 0.39 \,,\,\,\, 2 \leq x < 3; \\ 0.67 \,,\,\,\, 3 \leq x < 4; \\ 0.92 \,,\,\,\, 4 \leq x < 5; \\ 0.97 \,,\,\,\, 5 \leq x < 6; \\ 1.00 \,,\,\,\, 6 \leq x ; \\ \end{cases} \]
  1. Obtener la función de masa de probabilidad \(f_X(x)\).
  2. Graficar \(f_X(x)\) y \(F_X(x)\).
  3. Calcular e interpretar \(Pr(X=2)\), \(Pr(X>3)\), \(P(2\leq X\leq 5)\).
  4. Calcular e interpretar el valor esperado de \(X\).
  5. Calcular e interpretar el coeficiente de variación \(X\).
  1. La variable aleatoria \(X\) que representa el pH del agua (medido en una escala continua) de un proceso experimental de limpieza tiene la siguiente función de densidad de probabilidad: \[ f_X(x) = \begin{cases} k\,(7-x)^2 \,,\,\,\, 5 < x < 7; \\ 0 \,,\,\,\, \text{en otro caso}; \\ \end{cases} \]
  1. Demostrar que el valor de \(k\) para que \(f_X(x)\) sea una función de densidad de probabilidad auténtica es \(k=3/8=0.375\). Sugerencia: para que \(f_X(x)\) sea una función de densidad autentica se debe satisfacer que \(f_X(x)\geq 0\) y \(\int_{-\infty}^\infty f_X(x)\,\text{d}x = 1\).
  2. Obtener una fórmula general para la función de distribución acumulada \(F_X(x)\).
  3. Graficar \(f_X(x)\) y \(F_X(x)\).
  4. Calcular e interpretar \(Pr(X=6)\), \(Pr(X>6)\), \(P(5.5\leq X\leq 6.5)\).
  5. Calcular e interpretar la mediana de \(X\).
  6. Calcular e interpretar el valor esperado de \(X\).
  7. Calcular e interpretar el coeficiente de variación \(X\).
  8. Debido a un error de calibración del instrumento de medición todos los valores de la variable \(X\) se deben disminuir 10%. Calcular nuevamente el valor esperado y el coeficente de variación.