Caso 22. Covarianza y Correlacion
Luis Enrique González Díaz
14/12/2021
1 Objetivo
Calcular covarianza y correlación así como visualizar la dispersión entre dos variables para su adecuada y correcta interpretración.
2 Descripción
Se cargan o se construyen datos y se determinan covarizna, correlación y diagrama de dispersión
Antes se cargan las librerías a utilizar
2.1 Cargar librerías
Se requiere install.packages() para cada librería a utilizar
library(ggplot2)
library(readr)
library(dplyr)
library(knitr)
library(PerformanceAnalytics) # Para coorelaciones gráficas2.2 Cargar funciones preparadas
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Trabajos-en-R-AD2021/main/funciones/f.diagramas.graficos.r", encoding = "UTF-8")3 Marco teórico
Se necesitan datos para calcular la covariaza, la correlación y mostrar el diagrama de dispersión.
3.1 Datos
Se tienen unos datos de interés de una tienda que tiene vendedores y hacen ventas; los vendedores hacen llamadas a prospectos y clientes y en razón de ello tal vez realizan cierta cantidad de ventas de cada uno de ellos.
Las variables de interés son llamadas que hacen los vendedores y la cantidad de ventas.
vendedores <- paste("V",1:15, sep="")
llamadas <- c(96, 40, 104, 128, 164, 76, 72, 80 , 36, 84, 180, 132, 120, 44, 84)
ventas <- c(41, 41, 51, 60, 61, 29, 39, 50, 28, 43, 70, 56, 45, 31, 30)
datos <- data.frame(vendedores, llamadas, ventas)
datos## vendedores llamadas ventas
## 1 V1 96 41
## 2 V2 40 41
## 3 V3 104 51
## 4 V4 128 60
## 5 V5 164 61
## 6 V6 76 29
## 7 V7 72 39
## 8 V8 80 50
## 9 V9 36 28
## 10 V10 84 43
## 11 V11 180 70
## 12 V12 132 56
## 13 V13 120 45
## 14 V14 44 31
## 15 V15 84 303.2 Covarianza
La covarianza se establece como una medida descriptiva de la asociación entre dos variables \(x\) e \(y\). [@anderson2008].
\[ S_{xy} = \frac{\sum(x_i - \bar{x}) \cdot (y_i - \bar{y})}{n - 1} \]
Se necesitan dos variable de interés:
Se requiere la media de la variable \(x\)
Se requiere la media de la variable \(y\)
Se necesita el número de observaciones del conjunto de datos.
3.2.1 Calcular la convianza
3.2.1.1 Construyendo una tabla
tabla <- data.frame(x = llamadas, y = ventas, x.med = mean(llamadas), y.med=mean(ventas))
tabla <- cbind(tabla, xi.menos.x.med = tabla$x-mean(tabla$x))
tabla <- cbind(tabla, yi.menos.y.med = tabla$y-mean(tabla$y))
tabla <- cbind(tabla, prod = tabla$xi.menos.x.med * tabla$yi.menos.y.med)
tabla <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla[nrow(tabla), c(1:6)] <- '*'
kable(tabla)| x | y | x.med | y.med | xi.menos.x.med | yi.menos.y.med | prod |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 96 | 41 | 96 | 45 | 0 | -4 | 0 |
| 40 | 41 | 96 | 45 | -56 | -4 | 224 |
| 104 | 51 | 96 | 45 | 8 | 6 | 48 |
| 128 | 60 | 96 | 45 | 32 | 15 | 480 |
| 164 | 61 | 96 | 45 | 68 | 16 | 1088 |
| 76 | 29 | 96 | 45 | -20 | -16 | 320 |
| 72 | 39 | 96 | 45 | -24 | -6 | 144 |
| 80 | 50 | 96 | 45 | -16 | 5 | -80 |
| 36 | 28 | 96 | 45 | -60 | -17 | 1020 |
| 84 | 43 | 96 | 45 | -12 | -2 | 24 |
| 180 | 70 | 96 | 45 | 84 | 25 | 2100 |
| 132 | 56 | 96 | 45 | 36 | 11 | 396 |
| 120 | 45 | 96 | 45 | 24 | 0 | 0 |
| 44 | 31 | 96 | 45 | -52 | -14 | 728 |
| 84 | 30 | 96 | 45 | -12 | -15 | 180 |
| * | * | * | * | * | * | 6672 |
\[ S_{xy} = \frac{\sum(x_i - \bar{x}) \cdot (y_i - \bar{y})}{n - 1} \therefore \\ covarianza = S_{xy} = \frac{6672}{n-1} = \frac{6672}{14} = 476.5714 \]
n <- nrow(datos)
numerador <- sum((datos$llamadas - mean(datos$llamadas)) * (datos$ventas - mean(datos$ventas)))
# numerador ; sum(tabla$prod)
denominador <- n - 1
covarianza <- numerador / denominador
covarianza## [1] 476.57143.3 Diagrama de dispersión
El diagrama de dispersión es una gráfica que identifica la relación entre dos variables con respectos a sus medias.
Se observa el diagrama de dispersión de llamadas y ventas
f_diag.dispersion(datos = datos[,c(2,3)])
3.4 Correlación
La covarianza muestral dividida entre el producto de las desviaciones estándar de cada variable de interés identifica la correlación entre dos variables
\[ r = \frac{S_{xy}}{S_x \cdot S_y} \]
El coeficiente de correlación del producto–momento de Pearson para datos muestrales (llamado coeficiente de correlación muestral) se calcula dividiendo la covarianza muestral entre el producto de la desviación estándar muestral de \(x\) por la desviación estándar muestral de \(y\).
\[ correlación = r = \frac{covarianza}{S_x \cdot S_y} = \frac{42.7618}{42.7618\cdot12.88964}=\frac{476.5714}{551.1843}=0.8646318 \]
\[ S_{xy}\text{ es la covarianza muestral previamente calculada} \\ S_x \text{ es la desviación std. de la variable x} \\ S_y \text{ es la desviación std. de la variable y} \\ S_x\cdot S_y \text { es el producto de ambas desviaciones} \]
prod.dispersion = sd(datos$llamadas) * sd(datos$ventas)
prod.dispersion## [1] 551.1843r <- covarianza / prod.dispersion
r## [1] 0.86463183.5 Covarianza y correlación con cov y cor
covarianza <- cov(x = datos$llamadas, y = datos$ventas, )
r <- cor(x = datos$llamadas, y = datos$ventas)
covarianza; r## [1] 476.5714## [1] 0.86463183.6 Correlación con chart.Correlation
Se visualiza la correlación entre dos variables de interés usando chart.Correlation de la librería PerformanceAnalytics.
chart.Correlation(datos[,2:3], histogram = TRUE)
De acuerdo a Hernández Sampiere [@hernándezsampieri2014], los valores del coeficiente de correlación de Pearson se interpreta de la siguiente manera:
- -0.90 = Correlación negativa muy fuerte.
- -0.75 = Correlación negativa considerable.
- -0.50 = Correlación negativa media.
- -0.25 = Correlación negativa débil.
- -0.10 = Correlación negativa muy débil.
- 0.00 = No existe correlación alguna entre las variables.
- +0.10 = Correlación positiva muy débil.
- +0.25 = Correlación positiva débil.
- +0.50 = Correlación positiva media.
- +0.75 = Correlación positiva considerable.
- +0.90 = Correlación positiva muy fuerte.
- +1.00 = Correlación positiva perfecta (“A mayor X, mayor Y” o “a menor X, menor Y”, de manera proporcional. Cada vez que X aumenta, Y aumenta siempre una cantidad constante).
El coeficiente de correlación va desde -1 hasta +1. Los valores cercanos a -1 o a +1 corresponden a una relación lineal fuerte. Entre más cercano a cero sea el valor de la correlación, más débil es la relación lineal[@anderson_estadistica_2008].
3.7 Regresión
Se utiliza la regresión para predecir valores de variables que se encuentra relacionadas. Vista en el siguiente caso.
