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Números Binomiais

Vamos aprender sobre números binomiais!

O número Binomial ou coeficiente Binomial é dado pela expressão: \[ \left(\begin{array}{ll} n\\p \end{array}\right), \] com \(n\geq p\). O cálculo de um número Binomial é através da fórmula de Combinação: \[ \left(\begin{array}{ll} n\\p \end{array}\right)=\frac{n!}{p!(n-p)!} \] donde lê-se: “Binomial de \(n\) sobre \(p\) é igual a \(n!\) sobre \(p!(n-p)!\)”.

De forma análoga às frações, dizemos que \(n\) é o numerador e \(p\) é o denominador de \(\left(\begin{array}{ll} n\\p \end{array}\right)\).

Exemplo 1: Cálculos dos números Binomiais:

\[\begin{eqnarray*} a) &&\left(\begin{array}{ll} 5\\2 \end{array}\right)=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5.4.3!}{2!3!}=\frac{5.4}{2.1}=10.\\ b) &&\left(\begin{array}{ll} 10\\6 \end{array}\right)=\frac{10!}{6!(10-6)!}=\frac{10!}{6!4!}=\frac{10.9.8.7.6!}{6!4!}=\frac{10.9.8.7}{4.3.2.1}=210. \end{eqnarray*}\]

Propriedades dos números binomiais: Valem para para qualquer \(n\) e \(p \in \mathbb{N}\) com \(p\leq n\). \[\begin{eqnarray*} \begin{array}{lcl} I) \left(\begin{array}{ll} n\\0 \end{array}\right)=1, &\rightarrow& \text{ Binomial de $n$ sobre $0$ é igual a $1$}, \\ II)\left(\begin{array}{ll} n\\1 \end{array}\right)=n, \text{ com } n>1 &\rightarrow& \text{ Binomial de $n$ sobre $1$ é igual a $n$,} \\ III)\left(\begin{array}{ll} n\\n \end{array}\right)=1, \forall n \in \mathbb{N} &\rightarrow& \text{ Binomial de $n$ sobre $n$ é igual a $1$,} \\ IV)\left(\begin{array}{ll} n\\p \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} n\\n-p \end{array}\right) &\rightarrow& \text{ Dois números binomiais complementares são iguais,} \\ V)\left(\begin{array}{ll} n-1\\p-1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} n-1\\p \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} n\\p \end{array}\right) &\rightarrow& \text{ Conhecido como relação de Stifel}. \end{array} \end{eqnarray*}\]

Exemplo 2: Uso das propriedades dos números binomiais:

  • Uso da Propriedade IV:
    • \(\left(\begin{array}{ll} 5\\3 \end{array}\right)=\frac{5!}{3!2!}=\left(\begin{array}{ll} 5\\2 \end{array}\right)\) pois \(3+2 = 5\);
    • \(\left(\begin{array}{ll} 10\\6 \end{array}\right)=\frac{10!}{6!4!}=\left(\begin{array}{ll} 10\\4 \end{array}\right)\) pois \(6+4 = 10\);
    • \(\left(\begin{array}{ll} 8\\1 \end{array}\right)=\frac{8!}{1!7!}=\left(\begin{array}{ll} 8\\7 \end{array}\right)\) pois \(1+7 = 8\).
  • Uso da Propriedade V: (Tarefa: verificar estes cálculos!)
    • \(\left(\begin{array}{ll} 2\\1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} 2\\2 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{ll} 3\\2 \end{array}\right)\)
    • \(\left(\begin{array}{ll} 5\\2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} 5\\3 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{ll} 6\\3 \end{array}\right)\)
    • \(\left(\begin{array}{ll} 7\\4 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} 7\\5 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{ll} 8\\5 \end{array}\right)\)

Demonstração da Propriedade I: \[ L.E. =\frac{n!}{0!(n-0)!}=\frac{n!}{1.n!} = 1 = L.D. \text{ e utilizamos o fato de que $0!=1$.} \]

Demonstração da Relação de Stifel:
O lado esquerdo da equação é: \[\begin{eqnarray*} L.E. &=&\frac{(n-1)!}{(p-1)![n-1-(p-1)]!}+\frac{(n-1)!}{p!(n-1-p)!}\\ \\ &=&\frac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p)!}+\frac{(n-1)!}{p!(n-p-1)!}. \text{ Como } p!=p (p-1)! \text{ e } (n-p)!=(n-p)(n-p-1)!\\ &&\\ && \text{ podemos desenvolver os denominadores: }\\ &&\\ &=&\frac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p)(n-p-1)!}+\frac{(n-1)!}{p (p-1)!(n-p-1)!}.\\ &&\\ &&\text{ E colocar a soma no mesmo denominador comum: }\\ &&\\ &=&\frac{p(n-1)!+(n-1)!(n-p)}{p(p-1)!(n-p)(n-p-1)!}\\ &&\\ &=&\frac{(n-1)!(p+n-p)}{p(p-1)!(n-p)(n-p-1)!}\\ &&\\ &=&\frac{(n-1)!n}{p(p-1)!(n-p)(n-p-1)!}. \text{ Como } (n-1)!n =n! \text{ e } p(p-1)!(n-p)(n-p-1)! = p!(n-p)!\\ &&\\ &=&\frac{n!}{p!(n-p)!} = \left(\begin{array}{ll} n\\p \end{array}\right) = L.D. \text{ então } L.E.= L.D. \text{ e fica provado a relação de Stifel.} \end{eqnarray*}\]

Triângulo de Pascal

Os cálculos estão de acordo com a Tabela 1 abaixo:

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Tabela 1: Triângulo de Pascal
\(\left(\begin{array}{ll} 0\\0 \end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{ll} 1\\0 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 1\\1 \end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{ll} 2\\0 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 2\\1 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 2\\2 \end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{ll} 3\\0 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 3\\1 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 3\\2 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 3\\3 \end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{ll} 4\\0 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 4\\1 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 4\\2 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 4\\3 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 4\\4 \end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{ll} 5\\0 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 5\\1 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 5\\2 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 5\\3 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 5\\4 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 5\\5 \end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{ll} 6\\0 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 6\\1 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 6\\2 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 6\\3 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 6\\4 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 6\\5 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 6\\6 \end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{ll} 7\\0 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 7\\1 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 7\\2 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 7\\3 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 7\\4 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 7\\5 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 7\\6 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 7\\7 \end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{ll} 8\\0 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 8\\1 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 8\\2 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 8\\3 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 8\\4 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 8\\5 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 8\\6 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 8\\7 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 8\\8 \end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{ll} 9\\0 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 9\\1 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 9\\2 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 9\\3 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 9\\4 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 9\\5 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 9\\6 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 9\\7 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 9\\8 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} 9\\9 \end{array}\right)\)
\(\ldots\) \(\ldots\) \(\ldots\) \(\ldots\) \(\ldots\) \(\ldots\) \(\ldots\) \(\ldots\) \(\ldots\) \(\ldots\) \(\ldots\)
\(\left(\begin{array}{ll} n\\0 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} n\\1 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} n\\2 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} n\\3 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} n\\4 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} n\\5 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} n\\6 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} n\\7 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} n\\8 \end{array}\right)\) \(\left(\begin{array}{ll} n\\9 \end{array}\right)\) \(\ldots\) \(\left(\begin{array}{ll} n\\n \end{array}\right)\)

Calculando os valores dos números Binomiais, o triângulo de Pascal fica como na Tabela 2.

Propriedades do Triângulo de Pascal

  • Para facilitar a interpretação, nós começamos na linha zero;
  • Todos os elementos da \(1^{\underline{a}}\) coluna são iguais a \(1\), pois \(\left(\begin{array}{ll} n\\0 \end{array}\right)=1, \forall n \in \mathbb{N}\);
  • O último elemento de cada linha é igual a \(1\), pois \(\left(\begin{array}{ll} n\\n \end{array}\right)=1, \forall n \in \mathbb{N}\);
  • Numa linha qualquer, dois binomiais equidistantes dos extremos são iguais;
  • Cada binomial \(\left(\begin{array}{ll} n\\0 \end{array}\right)\) da \(n\)-ésima linha é igual a soma de dois binomiais da linha anterior;
  • A soma dos números binomiais de qualquer linha é uma potência de \(2\) com expoente igual ao número que está no numerador do binomial.
Linha
Números Binomiais
Soma da Linha
Potência de 2
Tabela 2: Cálculos dos números binomiais
linha zero 1 1 \(2^0\)
1ª linha 1 1 2 \(2^1\)
2ª linha 1 2 1 4 \(2^2\)
3ª linha 1 3 3 1 8 \(2^3\)
4ª linha 1 4 6 4 1 16 \(2^4\)
5ª linha 1 5 10 10 5 1 32 \(2^5\)
6ª linha 1 6 15 20 15 6 1 64 \(2^6\)
7ª linha 1 7 21 35 35 21 7 1 128 \(2^7\)
8ª linha 1 8 28 56 70 56 28 8 1 256 \(2^8\)
9ª linha 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 512 \(2^9\)
… 1 … … … … … … … … … 1 … …
n-ésima linha 1 n … … … … … … … … … 1 … \(2^n\)

Exemplo 3: Uso do Triângulo de Pascal:

  • Observe a \(9^{\underline{a}}\) linha,
    • o primeiro elemento é igual a 1, pois \(\left(\begin{array}{ll} 9\\0 \end{array}\right)=1\)
    • o segundo elemento é igual a 9, pois \(\left(\begin{array}{ll} 9\\1 \end{array}\right)=9\)
    • o último elemento é igual a 1, pois \(\left(\begin{array}{ll} 9\\9 \end{array}\right)=1\)
    • \(9=1+8\), sendo que \(1\) e \(8\) estão na linha anterior;
    • \(36=8+28\), sendo que \(8\) e \(28\) estão na linha anterior;
    • Os números equidistantes dos extremos (à esquerda e à direita) são iguais;
    • A soma da linha é uma potência de \(2\) com expoente igual a \(9\): \(1 +9 +36+ 84+ 126+ 126+ 84+ 36 +9 +1=512=2^9\);

Binômio de Newton

Binômio de Newton é qualquer expressão da forma \((a+b)^n\), com \(a,b \in \mathbb{R}\) e \(n\in \mathbb{N}\). A Tabela 3 mostra os Binômios de Newton para vários valores de \(n\).

  • Quando desenvolvemos o Binômio, os coeficientes que acompanham os termos \(a\) e \(b\) são idênticos aos números binomiais do Triângulo de Pascal, basta escolher o valor de \(n\) e olhar na Tabela;
  • Os expoentes de \(a\) vão diminuindo de unidade em unidade, variando de \(n\) até \(0\);
  • Os expoentes de \(b\) vão aumentando de unidade em unidade, variando de \(0\) até \(n\);
  • A soma dos expoentes de \(a\) e \(b\) é igual a \(n\);
  • O expoente de \(b\) é sempre igual ao denominador do número binomial que o acompanha;
  • O desenvolvimento de \((a+b)^n\) possui \(n+1\) termos.
Tabela 3: Binômio de Newton para vários valores de n
Valor de n Fórmula do Binômio Expansão do Binômio Quantidade de termos
0 \((a+b)^0\) 1 1
1 \((a+b)^1\) \(1.a+1.b\) 2
2 \((a+b)^2\) \(1.a+2.a.b+1.b^2\) 3
3 \((a+b)^3\) \(1.a^3+3.a^2.b+3.a.b^2+1.b^3\) 4
4 \((a+b)^4\) \(1.a^4 + 4.a^3.b+6.a^2.b^2+4.a.b^3+1.b^4\) 5
\(\ldots\) \(\ldots\) \(\ldots\) \(\ldots\)
\(n\) \((a+b)^n\) \(\left(\begin{array}{ll} n\\0 \end{array}\right).a^n.b^0 \left(\begin{array}{ll} n\\1 \end{array}\right).a^{n-1}.b^1+ \left(\begin{array}{ll} n\\2 \end{array}\right).a^{n-2}.b^2+\ldots+ \left(\begin{array}{ll} n\\n \end{array}\right).a^0.b^n\) \(n+1\)

Exemplo 4: - Desenvolva o Binômio \((x+2)^7\). Na Tabela 4, com \(a=x\), \(b=2\) e \(n=7\), temos: \[ (x+2)^7 =\underbrace{\left(\begin{array}{ll} 7\\0 \end{array}\right).x^7.2^0}_{1^{\underline{o}} \text{termo}} +\underbrace{\left(\begin{array}{ll} 7\\1 \end{array}\right).x^{6}.2^1}_{2^{\underline{o}} \text{termo}} +\underbrace{\left(\begin{array}{ll} 7\\2 \end{array}\right).x^{5}.2^2 }_{3^{\underline{o}} \text{termo}} +\ldots+\underbrace{\left(\begin{array}{ll} 7\\7 \end{array}\right).x^{0}.2^7}_{8^{\underline{o}} \text{termo}} \]

  • Desenvolva o Binômio \((x-2)^n\). Basta utilizar a Tabela 4, com \(a=x\) e \(b=-2\): \[\begin{eqnarray*} (x-2)^n &=& [x+(-2)]^n\\ &=&\underbrace{\left(\begin{array}{ll} n\\0 \end{array}\right).x^n.(-2)^0}_{1^{\underline{o}} \text{termo}} +\underbrace{\left(\begin{array}{ll} n\\1 \end{array}\right).x^{n-1}.(-2)^1}_{2^{\underline{o}} \text{termo}} +\underbrace{\left(\begin{array}{ll} n\\2 \end{array}\right).x^{n-2}.(-2)^2}_{3^{\underline{o}} \text{termo}} +\ldots+\underbrace{\left(\begin{array}{ll} n\\n \end{array}\right).x^{0}.(-2)^n}_{\text{(n+1)-ésimo termo}} \end{eqnarray*}\]

Fórmula do termo geral do Binômio de Newton

A fórmula do termo geral serve para determinar um termo específico dentro da expansão do Binômio.

Exemplo 5: - Determine o \(4^{\underline{o}}\) termo do Binômio \((x+2)^7\).
Resp.: Olhando o exemplo anterior, vemos que o \(4^{\underline{o}}\) termo (denotado por \(T_4\)) é igual a \[ T_4=\left(\begin{array}{ll} 7\\3 \end{array}\right).x^{4}.2^3 = \frac{7!}{3!4!}.x^{4}.2^3 = \frac{7.6.5.4!}{3!4!}.x^{4}.2^3 = \frac{7.6.5}{3.2.1}.x^{4}.8 = 280 . x^{4}. \]

  • Determine o \(10^{\underline{o}}\) termo do Binômio \((x-2)^n\).
    Resp.: O \(10^{\underline{o}}\) termo é igual a \[ T_{10} = \left(\begin{array}{ll} n\\9 \end{array}\right).x^{n-9}.(-2)^9. \text{ Como não sabemos o valor de $n$, representamos de forma genérica.} \]
  • Em geral, o p-ésimo termo do Binômio \((a+b)^n\), com \(a,b \in \mathbb{R}\) e \(n\in \mathbb{N}\) como na Tabela \[ T_{p} = \left(\begin{array}{ll} n\\p-1 \end{array}\right).a^{n-(p-1)}.b^{p-1} \]
  • Também temos esta fórmula simplificada que facilita nos cálculos: \[ T_{p+1} = \left(\begin{array}{ll} n\\p \end{array}\right).a^{n-p}.b^p, \] ou seja, se queremos o \(5^{\underline{o}}\) termo, basta fazer \(p=4\). E a condição é que \(p\leq n\).

Exercícios - Continuação

    1. Demonstre as propriedades II) a IV) dos números binomais, assim como foram demonstradas as propriedades I) e V).
    1. Calcule
      \[ \left(\begin{array}{ll} 5\\2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} 3\\3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} 5\\0 \end{array}\right) +\left(\begin{array}{ll} 7\\1 \end{array}\right). \]
    1. Calcule \(p\), em que \(p \in \mathbb{N}\) e \(p>3\) na equação abaixo: \[ \frac{\left(\begin{array}{ll} p-1\\2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} p-1\\3 \end{array}\right)} {\left(\begin{array}{ll} p\\2 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ll} p-1\\1 \end{array}\right)}=\frac{5}{3} \]
    1. Desenvolva os Binômios abaixo
      1. \((x+3)^4\);
      1. \(\left(2x+\frac{y}{2}\right)^3\);
      1. \((2x+y)^4\);
      1. \((2x+y)^4\);
      1. \(\left(k^2-1\right)^5\);
      1. \(\left(\sqrt{5}-2\right)^4\).
    1. Determine
      1. o \(4^{\underline{o}}\) termo do Binômio \((2x+3y)^6\);
      1. o \(11^{\underline{o}}\) termo do Binômio \((x-1)^{20}\);
      1. o \(9^{\underline{o}}\) termo do Binômio \(\left(x^3+\frac{1}{y^2}\right)^{25}\);
      1. o \(5^{\underline{o}}\) termo do Binômio \((\sqrt{x}+\sqrt{y})^6\);
      1. o \(5^{\underline{o}}\) termo do Binômio \((2y-1)^6\).