1 Objetivo

Realizar pruebas de significancia del coeficiente de correlación y el coeficiente la pendiente en modelos de regresión lineal simple.

2 Descripción

Se construyen unos datos relacionados con el caso anterior de llamadas y ventas y en otros datos aleatorios x e y.

Se determina el coeficiente de correlación de Pearson $r$

Se determina el valor del coeficiente de determinación $r^2$

Se hace la prueba de significancia para determinar si la correlación estimada de una población es diferente de cero para rechazar o aceptar una hipótesis nula.

Se construye el modelo de regresión linea con la ecuación de mínimos cuadrados $Y = a + bx$

Se determinan los coeficiente $a$ y $b$

Se hace una prueba de significancia para evaluar si el valor de la pendiente o valor de $b$ tiene un significado estadístico de manera tal que se pueda rechazar una hipótesis nula.

3 Fundamento teórico

Como los datos provienen de una muestra es necesario contemplar pruebas de significancia para estimar parámetros poblacionales con los que se pueda confiar que las estadísticos son significativos.

Las pruebas de significancia implica determinar un valor de $t$ que van a ser comparados con valores críticos a partir de los cuantiles qt() de distribuciones t student a ciertos grados de libertar y con el nivel de confianza requerido.

De tal forma que se debe utilizar e interpretar en caso de que el valor de $t$ esté en una zona de confianza se acepta una hipótesis nula y si está fuera se rechaza la hipótesis nula y se acepta hipótesis alternativa.

Hay dos pruebas que se describen en este caso:

Prueba de significancia para correlación $r$ para saber si la correlación sería diferente de cero en una población.
Prueba de significancia para la pendiente $b$ para saber si estadísticamente el valor de la pendiente de la recta de estimación en una regresión lineal simple es aceptada con valores de una población.

Desarrollo

3.1 Cargar librerías

library(dplyr)
library(mosaic)
library(readr)
library(ggplot2)  # Para gráficos
library(knitr)    # Para formateo de 
library(PerformanceAnalytics) # Para coorelaciones gráficas
library(visualize)

3.2 Caso Llamadas y ventas

3.2.1 Crear los datos

Datos de llamadas que hacen vendedores y las ventas que realizan.

vendedores <- paste("V",1:15, sep="")
llamadas <- c(96, 40, 104, 128, 164, 76, 72, 80 , 36, 84, 180, 132, 120, 44, 84) 
ventas <- c(41, 41, 51, 60, 61, 29, 39, 50, 28, 43, 70, 56, 45, 31, 30)

datos <- data.frame(vendedores, llamadas, ventas)
datos

##    vendedores llamadas ventas
## 1          V1       96     41
## 2          V2       40     41
## 3          V3      104     51
## 4          V4      128     60
## 5          V5      164     61
## 6          V6       76     29
## 7          V7       72     39
## 8          V8       80     50
## 9          V9       36     28
## 10        V10       84     43
## 11        V11      180     70
## 12        V12      132     56
## 13        V13      120     45
## 14        V14       44     31
## 15        V15       84     30

3.2.2 Determinar correlación de Pearson

\[ r = \frac{S_{xy}}{S_x \cdot S_y} \]

chart.Correlation(datos[,2:3], histogram = TRUE)

r <- cor(x = datos$llamadas, y = datos$ventas)
r

## [1] 0.8646318

3.2.3 Determinar COEFICIENTE de Determinación r SQUARE

Significa elevar al cuadrado el coeficiente de correlación e interpretar que tanto afecta o representa la variable llamadas a la variable ventas.

\[ \text{coeficiente de determinación} = r^2 \]

c.determinacion <- r^2
c.determinacion

## [1] 0.7475881

3.2.4 Prueba de significancia del valor de la correlación

3.2.4.1 Establecer hipótesis

Se establecen hipótesis nula y alternativa con respecto al coeficiente de correlación.

La hipótesis nula $H_0$ establece que el coeficiente de correlación en una población de donde proviene la muestra sería cero.

La hipótesis alternativa $H_1$ establece que el coeficiente de correlación en una población de donde proviene la muestra sería diferente de cero.

La idea es demostrar y rechazar la $H_0$

\[ \text{Hipótesis nula}: H_0: Correlación = 0 \\ \text{Hipótesis alternativa}: H_1: Correlación \neq 0 \]

3.2.4.2 Determinar un valor de t

Utilizar funciones de la distribución t student para encontrar valores críticos de $t$ a un valor de confianza que puede ser $0.90, 0.95, 0.99$.

Luego recordar que si se va a evaluar diferente de cero entonce el valor de alfa es: $\alpha = (1 - confianza) / 2$. A esto se le llama prueba de dos colas.

Se va a utilizar la función qt() para estimar los valores de t.critico.

Se debe calcular el valor de t con respecto a la correlación $r$ de la siguiente manera:

\[ t = r \cdot \frac{\sqrt{n-2}}{\sqrt{1 - r^2}} \]

\[ r \text{ el valor de la correlación} \\ (n-2) \text{ grados de libertad} \]

3.2.4.3 Calcular el valor de t

A partir de la fórmula

n <- nrow(datos)
t <-   r * (sqrt(n-2) / sqrt(1 - r^2))
t

## [1] 6.205089

3.2.4.4 Determinar el valor crítico de t

Se toma un nivel de confianza al $95\%$ usando la función de qt()

confianza = 0.95
t.critico <- qt(p = (1 - confianza) / 2, df = n-2, lower.tail = FALSE)
t.critico

## [1] 2.160369

3.2.4.5 Gráfica de densidad t student

Con la gráfica se ubica el valor de $t$ con respecto al valor de $t.critico$ y se estima si está en una zona de aceptación rechazo para concluir que se acepta o se rechaza la $H_0$.

visualize.t(stat = c(-t.critico, t.critico), section = "tails", df = (n-2)) +
  abline(v = t, col = "red", lwd = 3, lty = 2) +
  text(0, 0.2, paste(confianza * 100, "%", sep = ""), col = "red") +
  xlim(-6,6)

## NULL

3.2.4.6 Rechazo de $H_0$ para prueba de significancia de la correlación

El valor de $t = 6.205089$ está muy a la derecha del valor crítico (no se visualiza por la escala) de $t = 2.160369$ de tal forma que se entiende o interpreta que está en zona de rechazo.

Al estar en zona de rechazo (azul) se rechaza la $H_0$ y se acepta $H_1$

Entonces con esto se asegura y se prueba que el valor del coeficiente de correlación que se obtuvo de la muestra sería absolutamente diferente de cero en una población con un nivel de confianza del 95% .

3.2.5 Prueba de significancia del valor de la pendiente

Para evaluar es valor de una pendiente se tiene que construir un modelo de regresión lineal, en este caso sería bajo el modelo de la ecuación de mínimos cuadrados $Y = a+bx$ , de la regresión lineal simple.

Con el modelo se determina el valor del coeficiente de l abcisa $a$ y el valor de la pendiente $b$ en la fórmula.

La prueba de significancia del valor de la pendiente $b$

Se interpreta de que si este valor de la ecuación obtenido de una muestra tiene significado estadístico en una población y se pudiera utilizar en la fórmula para estimaciones.

Ahora bien, es necesario obtener el valor de t con la siguiente fórmula:

\[ t = \frac{b-0}{S_b} \therefore \]

\[ S_b = \frac{\sqrt{\frac{\sum(y_i - Y)^2}{(n-2)}}}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2}} \]

\[ S_b \text{ es el error estándar de la estimación de la pendiente o varianza de residuos} \\ b \text{ es el valor de la pendiene} \]

3.2.5.1 Modelo de regresión lineal simple

Se construye el modelo

modelo <- lm(data = datos, formula = ventas ~ llamadas)
modelo

## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ llamadas, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)     llamadas  
##     19.9800       0.2606

resumen <- summary(modelo)
resumen

## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ llamadas, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -11.873  -2.861   0.255   3.511  10.595 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  19.9800     4.3897   4.552 0.000544 ***
## llamadas      0.2606     0.0420   6.205 3.19e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6.72 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7476, Adjusted R-squared:  0.7282 
## F-statistic:  38.5 on 1 and 13 DF,  p-value: 3.193e-05

3.2.5.1.1 Dispersión y recta de regresión

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = llamadas, y = ventas), colour='blue') +
  geom_point(aes(x= mean(datos$llamadas), y = mean(datos$ventas)), col = 'green') +
  geom_line(aes( x = datos$llamadas, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Llamadas") + 
  ylab("Ventas") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

3.2.5.1.2 Coeficiente a y b de la ecuación $Y = a + bx$

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]

3.2.5.2 Cálculos manuales de $S_b$

Se presentan una tabla con las columnas con los cálculos necesarios para determinar $S_b$ a partir de los valores $x$ e $y$.

tabla <- data.frame(x = llamadas, y = ventas, x.media = round(mean(llamadas),4), xi.menos.x.media = llamadas - mean(llamadas), xi.menos.x.media.cuad = round((llamadas - mean(llamadas))^2,4), Y = modelo$fitted.values, y.menos.Y = round(ventas - modelo$fitted.values, 4), y.menos.Y.cuad = round((ventas - modelo$fitted.values)^2, 4))

tabla <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))

tabla[16,c(1,2,3,6,7)] <- '*'

kable(tabla)

x	y	x.media	xi.menos.x.media	xi.menos.x.media.cuad	Y	y.menos.Y	y.menos.Y.cuad
96	41	96	0	0	45	-4	16.0000
40	41	96	-56	3136	30.405	10.595	112.2540
104	51	96	8	64	47.085	3.915	15.3272
128	60	96	32	1024	53.34	6.66	44.3556
164	61	96	68	4624	62.7225	-1.7225	2.9670
76	29	96	-20	400	39.7875	-10.7875	116.3702
72	39	96	-24	576	38.745	0.255	0.0650
80	50	96	-16	256	40.83	9.17	84.0889
36	28	96	-60	3600	29.3625	-1.3625	1.8564
84	43	96	-12	144	41.8725	1.1275	1.2713
180	70	96	84	7056	66.8925	3.1075	9.6566
132	56	96	36	1296	54.3825	1.6175	2.6163
120	45	96	24	576	51.255	-6.255	39.1250
44	31	96	-52	2704	31.4475	-0.4475	0.2003
84	30	96	-12	144	41.8725	-11.8725	140.9563
*	*	*	0	25600	*	*	587.1101

De la tabla anterior se obtienen las sumatorias de $(x_i - \bar{x})$ y de $(y_i - Y)^2$. Las sumatorias de las columnas 5 y 8 de la tabla anterior renglón 16. [16, (5,8)]

suma.xi.media.x.cuad <- tabla[16, 5]
suma.yi.menos.Y.cuad <- tabla[16, 8]

suma.xi.media.x.cuad

## [1] 25600

suma.yi.menos.Y.cuad

## [1] 587.1101

3.2.5.2.1 Determinar Sb

Ahora sólo calcular conforme a la fórmula el valor de $S_b$ y sería

n <- nrow(datos)
Sb <- sqrt(suma.yi.menos.Y.cuad / (n-2)) / sqrt(suma.xi.media.x.cuad)
Sb

## [1] 0.04200182

3.2.5.2.2 Calcular t

Y calculando el valor de $t$ conforme a la fórmula sería:

t <- (b - 0) / Sb
t

## llamadas 
## 6.205088

3.2.5.3 Identificación del los valore Sd y t en modelo

resumen

## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ llamadas, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -11.873  -2.861   0.255   3.511  10.595 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  19.9800     4.3897   4.552 0.000544 ***
## llamadas      0.2606     0.0420   6.205 3.19e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6.72 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7476, Adjusted R-squared:  0.7282 
## F-statistic:  38.5 on 1 and 13 DF,  p-value: 3.193e-05

Los valores específicos incluyendo el valor de $p$ que es la probabilidad de las regiones en color azul más adelante visto en la gráfica.

Los asteriscos ‘***’ significan que los coeficientes son estadísticamente significativos a niveles de confianza 0.001, 0.01 o 0.05 y que si son útiles como predictores en la ecuación.

resumen$coefficients[2, ]

##     Estimate   Std. Error      t value     Pr(>|t|) 
## 0.2606250000 0.0420018172 6.2050886762 0.0000319277

3.2.6 Determinando la probabilidad de t a dos colas

S determina la probabilidad de que exista la probabilidad mayor que t, como es a dos colas entonces se multiplica por

Los grados de libertad es el número de observaciones menos el número de variables.

El valor de prob determinado manualmente debe ser el valor de

k <- 2 # Dos variables
gd <- n - k
prob <- pt(q = t, df = gd, lower.tail = FALSE) * 2
prob

##     llamadas 
## 3.192773e-05

3.2.7 resumen$coefficients

Se verifica y es el mismo valor

resumen$coefficients

##              Estimate Std. Error  t value     Pr(>|t|)
## (Intercept) 19.980000 4.38967553 4.551589 0.0005435647
## llamadas     0.260625 0.04200182 6.205089 0.0000319277

3.2.8 Valor de t.critico con t student

Nivel de confianza del 95% con valor de t a una cola

\[ H_0: b \le 0 \\ H_1: b > 0 \]

confianza = 0.95
t.critico <- abs(qt(p = 1 - confianza, df = n-2))
t.critico

## [1] 1.770933

visualize.t(stat = c(t.critico),  df = (n-2)) +
  abline(v = t, col = "red", lwd = 3, lty = 2) +
  text(0, 0.2, paste(confianza * 100, "%", sep = ""), col = "red") +
  xlim(-6,6)

## NULL

Nivel de confianza del 95% con valor de t a dos colas

\[ H_0: b = 0 \\ H_1: b \neq 0 \]

confianza = 0.95
t.critico <- abs(qt(p = (1 - confianza) /2 , df = n-2))
t.critico

## [1] 2.160369

visualize.t(stat = c(-t.critico, t.critico), section = "tails", df = (n-2)) +
  abline(v = t, col = "red", lwd = 3, lty = 2) +
  text(0, 0.2, paste(confianza * 100, "%", sep = ""), col = "red") +
  xlim(-6,6)

## NULL

El valor de t está muy lejos a la derecha de los valores críticos.

Con estos valores de t comparados con cualquier valor de t.critico se interpreta que estos datos de la muestra a un 95% de nivel de confianza se debe rechazar la $H_0$ y aceptar la $H_1$ con lo cual se concluye que el valor de la pendiente si es un predictor significativo para la ecuación.

3.2.9 Determinando el valor de RSE

Error estándar de los residuos o RSE

\[ RSE = \sqrt{\frac{(y_i - Y)^2}{gd}} \]

3.2.10 Grados de libertad

\[ gd = n - k \\ gd = \text{número de observaciones menos número de variables de los datos} \therefore \\ gd = 15 - 2 gd = 13 \]

gd <- n-2 # Significa n - k, siend

k <- ncol(datos) - 1
n <- nrow(datos)
n ; k

## [1] 15

## [1] 2

gd <- n - k
gd

## [1] 13

3.3 RSE

suma <- sum((as.numeric(tabla$y[1:15]) - as.numeric(tabla$Y[1:15]))^2)
numerador <- suma 
denominador = gd
RSE <- sqrt(numerador / denominador)  
RSE

## [1] 6.720291

¿Qué significa el Error Estándar de los Residuos (RSE)?. Es el promedio en que difieren los valores reales de $y_i$ con respecto a las predicciones $Y$.

Para este ejemplo 6.7202907 significa que las predicciones pueden estar $\pm$ 6.7202907 del valor real de $y_i$.

Entre mas cercano a cero sea RSS mas confiable serían los predictores.

Se verifica el valor de RSS con respeto al modelo de regresión.

resumen

## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ llamadas, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -11.873  -2.861   0.255   3.511  10.595 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  19.9800     4.3897   4.552 0.000544 ***
## llamadas      0.2606     0.0420   6.205 3.19e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6.72 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7476, Adjusted R-squared:  0.7282 
## F-statistic:  38.5 on 1 and 13 DF,  p-value: 3.193e-05

3.4 Caso datos x e y aleatorio

En este ejercicio se generan datos aleatorios de una muestra de una población x. Se desconoce el valor de la correlación y se determinan las pruebas de significancia de correlación y prueba de significancia de la pendiente en la ecuacuón de regresión lineal simple.

Se genera una semilla

set.seed(2021)

Se generan 100 registros con datos de dos variables $x, y$, la primera con media $\bar{x}=50$ y desviación estándar $S=10$, la segunda con con media $\bar{x}=100$ y desviación estándar $S=10$.

n <- 100 # cien datos
datos <- data.frame(x = rnorm(n = n, mean = 50, sd = 10), y = rnorm(n = n, mean = 100, sd = 10))
datos

##            x         y
## 1   48.77540  97.39664
## 2   55.52457 104.50340
## 3   53.48650  98.57118
## 4   53.59632  95.13279
## 5   58.98054  88.04227
## 6   30.77430 100.46941
## 7   52.61744  98.73468
## 8   59.15566  72.99285
## 9   50.13772  94.29187
## 10  67.29963 105.91598
## 11  39.17795 104.86977
## 12  47.27175  98.73200
## 13  51.81995  87.40800
## 14  65.08542 102.01292
## 15  66.04470  80.83096
## 16  31.58524 116.72739
## 17  66.23310 104.70790
## 18  51.31389 114.14115
## 19  64.81122 100.84299
## 20  65.13318  81.97696
## 21  40.57557 107.53744
## 22  48.14315  96.88057
## 23  38.98875  82.67440
## 24  62.08115  78.61437
## 25  33.75061 123.65798
## 26  51.05378 104.84757
## 27  35.44557 110.93238
## 28  46.45984 103.02908
## 29  49.06300 110.15299
## 30  61.00669 124.53593
## 31  30.36175  97.54379
## 32  35.52056 105.41519
## 33  60.19443 101.96877
## 34  35.78583  79.28838
## 35  43.95468 105.12584
## 36  34.16526  95.94238
## 37  37.14068 103.56198
## 38  35.45315  96.68429
## 39  49.12929 100.80591
## 40  55.04736  97.38468
## 41  51.16389  91.22550
## 42  67.60214 107.41309
## 43  46.54884  73.17037
## 44  71.20000  90.50522
## 45  49.65623 104.46262
## 46  42.07846  87.11171
## 47  64.75515  98.42195
## 48  42.74443 103.47816
## 49  53.12379  99.40378
## 50  56.91964 114.76729
## 51  44.99709  93.45835
## 52  27.44131  97.43185
## 53  50.43741  87.45962
## 54  46.31182 107.71043
## 55  40.39778  90.88648
## 56  51.03766  93.06695
## 57  54.27289  93.82332
## 58  48.29518 107.62123
## 59  34.50860  89.12842
## 60  34.94400  96.00200
## 61  50.16044 108.27796
## 62  48.14636 103.55420
## 63  53.91933 101.59139
## 64  42.43289 109.55395
## 65  52.31418  96.60358
## 66  40.16387  92.72619
## 67  55.65081  83.02194
## 68  66.16752 119.54138
## 69  47.48036 126.66738
## 70  39.44121 120.63379
## 71  46.51768 108.18783
## 72  49.57010  99.20350
## 73  36.02446  95.10551
## 74  64.90216 108.47719
## 75  39.60613  90.40955
## 76  47.63055 109.28687
## 77  40.00859 103.80965
## 78  36.07457 114.94604
## 79  59.82005  95.32296
## 80  53.60941 102.61157
## 81  46.62491  90.07391
## 82  43.56612  89.36619
## 83  28.33115 102.74285
## 84  56.33289 109.45343
## 85  48.55086 107.26189
## 86  37.59973  97.45487
## 87  55.33959 114.85180
## 88  34.11735 102.30286
## 89  40.09035 102.78003
## 90  54.83261 101.47041
## 91  58.10618  88.03711
## 92  47.06335 100.90136
## 93  49.46542 112.19270
## 94  57.35184  94.38507
## 95  50.14985 103.36882
## 96  48.77998  84.63200
## 97  43.53226  97.59870
## 98  41.32142 105.14865
## 99  44.91300  97.61145
## 100 29.22416 105.81819

3.4.1 La correlación

r <- cor(datos$x, datos$y)
r

## [1] -0.0875466

chart.Correlation(datos)

Se observa que es una correlación negativa con valor de -0.0875466 que significa una correlación negativa de muy débil a débil.

3.4.2 Prueba de significancia de la correlación

3.4.2.1 Establecer hipótesis

\[ \text{Hipótesis nula}: H_0: Correlación = 0 \\ \text{Hipótesis alternativa}: H_1: Correlación \neq 0 \]

3.4.2.2 Determinar un valor de t

Utilizar funciones de la distribución t student para encontrar valores críticos de $t$ a un valor de confianza que puede ser $0.90, 0.95, 0.99$.

Se debe calcular el valor de t con respecto a la correlación $r$ de la siguiente manera:

3.4.2.3 Calcular el valor de t

A partir de la fórmula

n <- nrow(datos)
t <-   r * (sqrt(n-2) / sqrt(1 - r^2))
t

## [1] -0.8700075

3.4.2.4 Determinar el valor crítico de t

Se toma un nivel de confianza al $95\%$ usando la función de qt()

confianza = 0.95
t.critico <- qt(p = (1 - confianza) / 2, df = n-2, lower.tail = FALSE)
t.critico

## [1] 1.984467

3.4.2.5 Gráfica de densidad t student

Con la gráfica se ubica el valor de $t$ con respecto al valor de $t.critico$ y se estima si está en una zona de aceptación rechazo para concluir que se acepta o se rechaza la $H_0$.

visualize.t(stat = c(-t.critico, t.critico), section = "tails", df = (n-2)) +
  abline(v = t, col = "red", lwd = 3, lty = 2) +
  text(0, 0.2, paste(confianza * 100, "%", sep = ""), col = "red") +
  xlim(-6,6)

## NULL

3.4.2.6 Aceptación de $H_0$ para prueba de significancia de la correlación

El valor de $t = -1.456016$ está por debajo de t.critico $t = -1.984467$ de tal forma que se entiende o interpreta que está en zona de aceptación.

Al estar en zona de aceptación se acepta la $H_0$.

Entonces con esto se asegura y se prueba que el valor del coeficiente de correlación que se obtuvo de la muestra sería un valor de cero en una población con un nivel de confianza del 95% .

Por lo anterior, tal vez ¡no serían! datos para una modelo de regresión lineal simple, sin embargo se va a genera el modelo.

3.5 Prueba de significancia de b

3.5.1 Modelo de regresión simple

modelo <- lm(data = datos, formula = y ~ x)
modelo

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)            x  
##   104.32334     -0.08992

resumen <- summary(modelo)
resumen

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = datos)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -26.9672  -5.7094   0.8552   6.4709  26.6135 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 104.32334    5.09845   20.46   <2e-16 ***
## x            -0.08992    0.10336   -0.87    0.386    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 10.58 on 98 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.007664,   Adjusted R-squared:  -0.002461 
## F-statistic: 0.7569 on 1 and 98 DF,  p-value: 0.3864

3.5.1.0.1 Dispersión y recta de regresión

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = x, y = y), colour='blue') +
  geom_point(aes(x= mean(datos$x), y = mean(datos$y)), col = 'green') +
  geom_line(aes( x = datos$x, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("x") + 
  ylab("y") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

3.5.1.0.2 Coeficiente a y b de la ecuación $Y = a + bx$

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b

## (Intercept) 
##    104.3233

##           x 
## -0.08992124

Se observa que el $t$ value es -0.8700075

También se observa que el valor de $Pr(>|t|)$ del coeficiente de la pendiente $b$ no es estadísticamente significativo, no tiene algún “*” o es mayor a 0.5.

t <- resumen$coefficients[2, 3]
t

## [1] -0.8700075

3.5.2 Valor de t.critico con t student