En 1951 en la Ina Tile Company se tenía el problema de que el horno quemaba de forma dispareja debido a una variación de la temperatura en diferentes partes de éste, lo cual causaba defectos en las lozas que se fabricaban. Una posibilidad de solución (imposible en ese momento) era cambiar el horno por otro que no tuviera ese problema. Otra posibilidad era reformular las lozas de manera que fueran robustas al funcionamiento “disparejo” del horno. Esto último fue lo que se decidió hacer, utilizando los siguientes niveles de prueba en siete factores de la formulación de la loza:

Nótese que uno de los niveles de prueba para cada uno de los factores corresponde al nivel que se utilizaba hasta ese momento. Se tomó una muestra de 100 lozas en cada uno de los ocho trata mientos y se obtuvo el porcentaje de lozas defectuosas. Los resul tados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

  1. ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?
  2. Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.
  3. Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.
  4. ¿Cuál es la proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?
  5. Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

a) ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?

Es un diseño robusto ya que el funcionamiento que presenta al ser consistente y exponerse a condiciones cambiantes del medio, por ende, en este caso la temperatura se presenta una variación; por lo cual, el simple hecho de no afectar de la misma forma en el horno esto se puede atribuir a las condiciones ambientales. b) Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.

library(printr)
datos=read.table(file="dataset.txt",header = TRUE)
head(datos,n=9L)
A B C D E F G X._defectos
1 1 1 1 1 1 1 16
1 1 1 2 2 2 2 17
1 2 2 1 1 1 2 12
1 2 2 2 2 2 1 6
2 1 2 1 2 2 2 6
2 1 2 2 1 1 1 68
2 2 1 1 2 2 1 42
2 2 1 2 1 1 2 26

Para esto se utiliza el metodo “menor cantidad mejor”. El detalle es que se considera es la variacion de la temperatura produciendo defectos, dicho esto sera la característica que se procede a realizar tal como se muestra a continuación:

info=as.matrix(datos[1:8,2:8])
signal_noise=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz))
  {
    sn[i]=-10*log((sum(matriz[i,]^2)),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise, n=8L)
## [1] -24.18301 -24.87138 -22.01397 -17.55875 -17.32394 -36.66143 -32.50176
## [8] -28.39478
media=function(matriz)
{
  prom=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    prom[i]=mean(matriz[i,])
  }
  prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media, n=8L)
## [1]  3.142857  3.857143  3.000000  2.428571  2.285714 10.857143  7.285714
## [8]  5.000000
varianza=function(matriz)
{
  v=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    v[i]=var(matriz[i,])
  }
  v[]
}
r_varianza=varianza(matriz = info)
r_desv_est=sqrt(varianza(matriz = info))
head(r_desv_est, n=8L)
## [1]  5.669467  5.814596  4.000000  1.618347  1.704336 25.202041 15.315725
## [8]  9.273618

Los analisis muestran que los vectores resultantes corresponde a cada una de las respuestas que se utilizan en la Optimización de Dos Pasos, por lo tanto, dicho esto la siguiente fase de la corrida experimental es determinar los efectos activos que influyen sobre las diferentes respuestas.

Cálculo de efectos activos para cada respuesta

Respuesta razón S/R

Se determinan los efectos activos de la misma forma en que se determinan para un experimento factorial completo o factorial fraccionado, de la siguiente manera, para la respuesta del estadístico razón señal ruido:

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 7, factor.names = list(A=c(-1,1),B=c(-1,1),C=c(-1,1),D=c(-1,1),E=c(-1,1),F=c(-1,1),G=c(-1,1)), replications = 1)
experimento_resp=add.response(experimento, response = r_signal_noise)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")

El analisis realizado determina que para la razón señal ruido, no existen efectos activos a un nivel de significancia de 0.05. Se procede a ejecutar los demás gráficos y análisis, como lo son, la gráfica de efectos principales, la gráfica de interacciones y el ANOVA para comprobar que lo mostrado en la gráfica sea correcto y para poder tener obtener un mejor análisis.

Gráfica de efectos principales

efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Efectos principales para el experimento")

head(efectos_principales)
A B C D E F G
- -27.81330 -23.20972 -22.09808 -25.81864 -26.81288 -21.86512 -23.38952
+ -23.06396 -27.66754 -28.77918 -25.05861 -24.06437 -29.01214 -27.48773

En analisis se visualiza en la gráfica y resultados obtenidos, como es muy poca la significancia de los factores, será mejor confirmar en el ANOVA si realmente se consideran significativos o no representan importancia en realidad para el problema planteado.

Gráfica de interacciones

efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main="Gráfica de interacciones para el experimento")

head(efectos_interaccion)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- -25.20438 -23.09849 -30.42222 -32.52811 -26.28890 -29.33770 -23.44268 -21.21507 -26.63308 -22.97676 -19.78636 -24.52720 -21.09766 -20.75348 -19.66895 -30.76641 -20.87088 -27.11009 -22.85936 -26.99269 -17.44134
+:- -21.21507 -21.09766 -21.21507 -21.09766 -17.44134 -17.44134 -20.75348 -30.42222 -26.99269 -20.75348 -26.99269 -27.11009 -32.52811 -22.97676 -27.11009 -22.85936 -22.85936 -19.66895 -20.87088 -19.78636 -29.33770
-:+ -30.42222 -32.52811 -25.20438 -23.09849 -29.33770 -26.28890 -22.97676 -25.20438 -19.78636 -23.44268 -26.63308 -19.66895 -23.09849 -23.44268 -24.52720 -20.87088 -30.76641 -24.52720 -30.76641 -26.63308 -26.28890
+:+ -24.91285 -25.03025 -24.91285 -25.03025 -28.68657 -28.68657 -34.58160 -24.91285 -28.34239 -34.58160 -28.34239 -30.44827 -25.03025 -34.58160 -30.44827 -27.25787 -27.25787 -30.44827 -27.25787 -28.34239 -28.68657

Posteriormente se realiza el anova del modelo.

modelo_sr=lm(r_signal_noise~(A+B+C+D+E+F+G),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## A            1  86.16   86.16   0.843  0.527
## B            1   0.83    0.83   0.008  0.943
## C            1  33.59   33.59   0.329  0.669
## D            1  16.43   16.43   0.161  0.757
## E            1  45.11   45.11   0.442  0.627
## G            1  41.87   41.87   0.410  0.637
## Residuals    1 102.16  102.16

se muestra que existe un 95% de confianza, que los factores individuales no tienen un efecto significativo en la variable de respuesta razón señal ruido, a pesar que en la gráfica se puedan interpretar como relevantes, con los valores y el ANOVA se puede comprobar que no, sin embargo, se procede a analizar la respuesta media del proceso para un mejor análisis.

Respuesta media del proceso

Por otra lado, para el caso de la variable de respuesta promedio, se utiliza con el fin de llevar al proceso a su valor esperado, se eligirán los efecto activos que lleven al proceso a las condiciones, no robustas, que más se acerquen al valor esperado del proceso:

library(FrF2)
experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main="Grafico de Daniel para la respueta media del proceso")

En el analisis muestra que no hay interacciones activas para el proceso en términos de la media, por lo tanto, se procederá a realizar las gráficas de efectos principales y de interacciones:

graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Grafica de efectos principales para el valor nominal esperado")

head(graf_efectos_individuales_media)
A B C D E F G
- 5.500000 3.571429 3.071429 5.071429 5.500000 3.214286 4.642857
+ 3.964286 5.892857 6.392857 4.392857 3.964286 6.250000 4.821429 
interac_media=IAPlot(experimento_media,main="Grafica de interacciones para el valor nominal esperado")

head(interac_media)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- 4.000000 3.071429 7.000000 7.928571 4.071429 6.928571 3.428571 3.142857 4.428571 3.714286 2.714286 3.500000 3.071429 2.714286 2.642857 7.357143 2.785714 6.642857 3.642857 6.571429 2.357143
+:- 3.142857 3.071429 3.142857 3.071429 2.357143 2.357143 2.714286 7.000000 6.571429 2.714286 6.571429 6.642857 7.928571 3.714286 6.642857 3.642857 3.642857 2.642857 2.785714 2.714286 6.928571
-:+ 7.000000 7.928571 4.000000 3.071429 6.928571 4.071429 3.714286 4.000000 2.714286 3.428571 4.428571 2.642857 3.071429 3.428571 3.500000 2.785714 7.357143 3.500000 7.357143 4.428571 4.071429
+:+ 4.785714 4.857143 4.785714 4.857143 5.571429 5.571429 9.071429 4.785714 5.214286 9.071429 5.214286 6.142857 4.857143 9.071429 6.142857 5.142857 5.142857 6.142857 5.142857 5.214286 5.571429 
modelo_BC=lm(r_media~(B*C),data=datos)
anova_BC=aov(modelo_BC)
summary(anova_BC)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## B            1   0.74   0.737   0.074  0.799
## C            1   0.06   0.064   0.006  0.940
## B:C          1  21.13  21.125   2.125  0.219
## Residuals    4  39.77   9.941

Finalmente, se comprueba mediante los resultados obtenidos que los efectos no son significativos.

c) Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.

Los analisis realizados muestran como ninguno de los factores son significativos en gran escala,sin embargo, la combinación actual presenta uno de los menores porcentajes de lozas defectuosas, la combinación adecuada sería, en terminos del ejercicio, el aditivo de cal en un 5%, la granularidad del aditivo fina, el contenido de algamatolite en 53%, el tipo barato de algamatolite, 1299 kg de carga, 4% contenido de reciclado y un 0% de contenido de fedespato.

d) ¿Cuál es la proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?

Presente a la combinación mencionada representa la corrida 4 de la tabla proporcionada con la combinación: 1,2,2,2,2,2,1 el % de lozas defectuosas sería la cantidad de 6%.

e) Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

Se obtuvo un 6% en la proporción de loza defectuosa anterior debido a que pertenece a la combinación en la corrida 5, y la proporción de loza defectuosa esperada en el nuevo tratamiento es de 6% ya que es la perteneciente a la corrida 4, por lo cual no existen diferencias, y con ambos tratamientos se obtiene el mismo % de defectos. Se observa en tabla es la cantidad menor de entre las posibles opciones,por ende, se puede determinar que a pesar de que no exista significancia por parte de los factores al hacer cambios en los niveles si es importante analizar los cambios.