Objetivo

Determinar predicciones de datos bajo el modelo de regresión lineal simple.

Descripción

De un conjunto de datos con dos variables (bivariable) en donde una de ellas es \(X\) variable independiente y otra de ellas \(Y\) variable dependiente, predecir el valor de Y conforme la historia de X.

Fundamento teórico

Coeficiente de Correlación \(r\)

La utilidad principal de los análisis correlacionales es saber cómo se puede comportar un concepto o una variable al conocer el comportamiento de otras variables vinculadas, por ejemplo: a mayor estudio mejor rendimiento; a mayor cantidad de sol mayor temperatura de ambiente; a mayor frecuencia de actividad social mayor porcentaje de contagios, entre muchos otros (hernandez_sampieri_metodologiinvestigacion_2014?).

La importancia de la correlación es conocer el grdo de relación entre variables y ayuda a las técnicas de predicción, es decir, intentar predecir el valor aproximado que tendrá un grupo de individuos o casos en una variable, a partir del valor que poseen en las variables relacionadas (hernandez_sampieri_metodologiinvestigacion_2014?).

La correlacion puede ser positiva o negativa de entre \(-1\) a \(1\) y significa que el coeficiente r de Pearson puede variar de −1.00 a +1.00, donde:

−1.00 = correlación negativa perfecta. (“A mayor X, menor Y,” de manera proporcional. Es decir, cada vez que X aumenta una unidad, Y disminuye siempre una cantidad constante). Esto también se aplica “a menor X, mayor Y.”

  • −0.90 = Correlación negativa muy fuerte.
  • −0.75 = Correlación negativa considerable.
  • −0.50 = Correlación negativa media.
  • −0.25 = Correlación negativa débil.
  • −0.10 = Correlación neg ativa muy débil.
  • 0.00 = No existe correlación alguna entre las variables.
  • +0.10 = Correlación positiva muy débil.
  • +0.25 = Correlación positiva débil.
  • +0.50 = Correlación positiva media.
  • +0.75 = Correlación positiva considerable.
  • +0.90 = Correlación positiva muy fuerte.
  • +1.00 = Correlación positiva perfecta (“A mayor X, mayor Y” o “a menor X, menor Y,” de manera proporcional. Cada vez que X aumenta, Y aumenta siempre una cantidad constante).

El signo indica la dirección de la correlación (positiva o negativa); y el valor numérico, la magnitud de la correlación (hernandez_sampieri_metodologiinvestigacion_2014?).

Por otra parte (walpole_probabilidad_2012?), menciona que el análisis de correlación intenta medir la intensidad de tales relaciones entre dos variables por medio de un solo número denominado coeficiente de correlación.

Para determinar el coeficiente de correlación de Pearson de una muestra se utiliza la siguiente fórmula:

Fórmula para correlación de Pearson

\[r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})\cdot(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^{2}\cdot\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^{2}}}\]

Siendo \(r\) el valor del coeficiente de correlación. La correlación de Pearson funciona bien con variables cuantitativas que tienen una distribución normal. (amat_rodrigo_correlacion_2016?)

La idea básica del análisis de correlación es identificar la asociación entre dos variables; por lo general, se puede describir la relación graficando o elaborando un diagrama de dispersión entre \(x\) y \(y\).

Regresión lineal simple

La regresión lineal simple implica aplicar una ecuación matemática de mínimos cuadrados que permite pronosticar el valor de una variable con base en el valor de otra; este procedimiento se llama análisis de regresión.

El análisis de regresión es un método para examinar una relación lineal entre dos variables; se utiliza el concepto de correlación \(r\), sin embargo, la regresión proporciona mucho más información, además de permitir estimaciones o predicciones de la relación lineal con la ecuación de mínimos cuadrados (lind_estadistica_2015?).

Fórmula de mínimo cuadrados para regresión lineal

\[Y = a + bx\]

En donde:

  • \(Y\) es el valor a predecir
  • \(a\) Es el valor del cruce del eje y
  • \(b\) Es el valor de la pendiente o inclinación.
  • \(x\) el valor de la variable independiente
Fórmulas par obtener coeficientes a y b en el método de mínimos cuadrados

\[b = r \cdot(\frac{ s_{y}}{s_x}) = \frac{\sum(x_i - \bar{x})\cdot(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}\] En donde:

  • r es el coeficiente de correlación.

  • \(S_y\) es la desviación estándar de \(y\).

  • \(S_x\) es la desviación etándar de la variable \(x\).

Y para determinar a:

\[a = \bar{y} - b \cdot\bar{x}\]

  • Se requiere la media de y \(\bar{y}\)
  • Se necesita la media de x \(\bar{x}\) (lind_estadistica_2015?).

Un valor que es importante destacar en la regresión lineal, es el coeficiente de determinación también representado por \(r^{2}\) que se puede sacar elevando al cuadrado el coeficiente de correlación previamente determinado.

Cuando el coeficiente \(r\) de Pearson se eleva al cuadrado \(r^{2}\), se obtiene el coeficiente de determinación y el resultado indica la variabilidad de factores comunes. Esto es, el porcentaje de la variación de una variable debido a la variación de la otra variable y viceversa (o cuánto explica o determina una variable la variación de la otra) (hernandez_sampieri_metodologiinvestigacion_2014?).

El coeficiente de determinación es la proporción y la explicación de la variación total de la variable dependiente \(y\) con respecto a la variabe independiente \(x\). (lind_estadistica_2015?).

Desarrollo

Las librerías

library(dplyr)
library(mosaic)
library(readr)
library(ggplot2)  # Para gráficos
library(knitr)    # Para formateo de datos

Ejercicio llamadas y ventas

Cargar los datos

Datos de llamadas que hacen vendedores y las ventas que realizan.

vendedores <- paste("V",1:15, sep="")
llamadas <- c(96, 40, 104, 128, 164, 76, 72, 80 , 36, 84, 180, 132, 120, 44, 84) 
ventas <- c(41, 41, 51, 60, 61, 29, 39, 50, 28, 43, 70, 56, 45, 31, 30)
datos <- data.frame(vendedores, llamadas, ventas)
datos
##    vendedores llamadas ventas
## 1          V1       96     41
## 2          V2       40     41
## 3          V3      104     51
## 4          V4      128     60
## 5          V5      164     61
## 6          V6       76     29
## 7          V7       72     39
## 8          V8       80     50
## 9          V9       36     28
## 10        V10       84     43
## 11        V11      180     70
## 12        V12      132     56
## 13        V13      120     45
## 14        V14       44     31
## 15        V15       84     30

Valor de correlación entre las variables

  • Se determina la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; ‘x’ son los llamadas y ‘y’ las ventas.
r <- cor(datos$llamadas, datos$ventas)
r
## [1] 0.8646318

Gráfica de dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = llamadas, y = ventas)) +
  geom_point(colour = 'blue')

Generar el modelo regresión lineal \(Y = a + bx\)

  • Determinar los coeficientes a y b por medio de la función lineal lm()
  • El caracter ‘~’ en la fórmula de la función lm() de regresión se interpreta como que la variable ‘y’ está en función de la variable ‘x.’
modelo <- lm(data = datos, formula = ventas~llamadas)
modelo
## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ llamadas, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)     llamadas  
##     19.9800       0.2606

Encontrar el coeficiente de determinación

  • Elevando al cuadrado el coeficiente de correlación. \[r^{2}\]
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ llamadas, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -11.873  -2.861   0.255   3.511  10.595 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  19.9800     4.3897   4.552 0.000544 ***
## llamadas      0.2606     0.0420   6.205 3.19e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6.72 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7476, Adjusted R-squared:  0.7282 
## F-statistic:  38.5 on 1 and 13 DF,  p-value: 3.193e-05
paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación: ", r^2)
## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación:  0.747588134135855"
  • El coeficiente de determinación \(r^{2}\) con valor de 0.7476 significa que el valor de solido representa el 74.76 % del oxígeno.

Determinar los valores de a y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b
## (Intercept) 
##       19.98
## llamadas 
## 0.260625

Gráfica de tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = llamadas, y = ventas), colour='blue') +
  geom_line(aes( x = datos$llamadas, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Comerciales") + 
  ylab("Ventas") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

Predecir conforme al modelo

  • Para predecir se puede usar la ecuación \(y=a+bx\) o utilizar la función predict()
  • Predecir para valores 100, 130 y 160
x <- c(100, 130, 160)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(llamadas = x))
prediccion
##        1        2        3 
## 46.04250 53.86125 61.68000
# Comprobar
y = a + b * x
y
## [1] 46.04250 53.86125 61.68000

Interpretar el ejercicio

  • Se utilizó la función lm() para crear el modelo de regresión lineal y determinar los coeficientes de a y b.
  • Se utilizó la función predict() para predecir nuevos valores de x o comerciales.
  • Se comprobó las predicciones
  • Por ejemplo para un valor de 4 en comerciales la predicción de ventas es de 55.99.

Ejercicio ventas en función de comerciales

Cargar o generar los datos

De un conjunto de datos para una empresa que invierte dinero en comerciales se tienen un historial de ventas de doce semanas.

semanas <- c(1:12)
comerciales <- c(2,5,1,3,4,1,5,3,4,2,3,2)
ventas <- c(50,57,41,54,54,38,63,48,59,46, 45, 48 )
datos <- data.frame(semanas,comerciales,ventas)
kable(datos, caption = "Ventas en función de inversión en comerciales")
Ventas en función de inversión en comerciales
semanas comerciales ventas
1 2 50
2 5 57
3 1 41
4 3 54
5 4 54
6 1 38
7 5 63
8 3 48
9 4 59
10 2 46
11 3 45
12 2 48

Valor de correlación entre las variables

  • Se determina la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; ‘x’ son los comerciales y ‘y’ las ventas.
r <- cor(datos$comerciales, datos$ventas)
r
## [1] 0.9006177

Gráfica de dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = comerciales, y = ventas)) +
  geom_point(colour = 'blue')

Generar el modelo regresión lineal \(Y = a + bx\)

  • Determinar los coeficientes a y b por medio de la función lineal lm()
  • El caracter ‘~’ en la fórmula de la función lm() de regresión se interpreta como que la variable ‘y’ está en función de la variable ‘x.’
modelo <- lm(data = datos, formula = ventas~comerciales)
modelo
## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ comerciales, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)  comerciales  
##      36.131        4.841

Encontrar el coeficiente de determinación

  • Elevando al cuadrado el coeficiente de correlación. \[r^{2}\]
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ comerciales, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -5.6534 -2.7331  0.1076  2.8357  4.1873 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  36.1315     2.3650  15.278 2.93e-08 ***
## comerciales   4.8406     0.7387   6.553 6.45e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.378 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8111, Adjusted R-squared:  0.7922 
## F-statistic: 42.94 on 1 and 10 DF,  p-value: 6.449e-05
paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación: ", r^2)
## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación:  0.811112191696598"
  • El coeficiente de determinación \(r^{2}\) con valor de 0.8111 significa que el valor de solido representa el 81.11 % del oxígeno.

Determinar los valores de a y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b
## (Intercept) 
##    36.13147
## comerciales 
##    4.840637

Gráfica de tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = comerciales, y = ventas), colour='blue') +
  geom_line(aes( x = datos$comerciales, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Comerciales") + 
  ylab("Ventas") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

Predecir conforme al modelo

  • Para predecir se puede usar la ecuación \(y=a+bx\) o utilizar la función predict()
  • Predecir para valores 4, 3.5, 2, 0 y 1
x <- c(4, 3.5, 2, 0,1)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(comerciales = x))
prediccion
##        1        2        3        4        5 
## 55.49402 53.07371 45.81275 36.13147 40.97211
# Comprobar
y = a + b * x
y
## [1] 55.49402 53.07371 45.81275 36.13147 40.97211

Interpretar el ejercicio

  • Se utilizó la función lm() para crear el modelo de regresión lineal y determinar los coeficientes de a y b.
  • Se utilizó la función predict() para predecir nuevos valores de x o comerciales.
  • Se comprobó las predicciones
  • Por ejemplo para un valor de 4 en comerciales la predicción de ventas es de 55.99.

Ejercicio. Medidas de los sólidos contaminantes y la demanda de oxígeno bioquímico.

Uno de los problemas más desafiantes que se enfrentan en el área del control de la contaminación del agua lo representa la industria de la peletería (dedicada a la elaboración de indumentaria, cuero y piel animal).

Los desechos de ésta tienen una complejidad química. Se caracterizan por valores elevados de demanda de oxígeno bioquímico, sólidos volátiles y otras medidas de la contaminación. (walpole_probabilidad_2007?)

Tal vez si existen contaminantes sólidos se requiera mayor oxígeno bioquímico.

Cargar o generar los datos

seq <- c(1:33)
solido <- c(3,7,11,15,18,27,29,30,30,31,31,32,33,33,34,36,36,36,37,38,39,39,39,40,41,42,42,43,44,45,46,47,50)
oxigeno <- c(5,11,21,16,16,28,27,25,35,30,40,32,34,32,34,37,38,34,36,38,37,36,45,39,41,40,44,37,44,46,46,49,51 )
datos <- data.frame(seq,solido,oxigeno)
kable(datos, caption = "Contaminante oxígeno en función de sólidos contaminantes")
Contaminante oxígeno en función de sólidos contaminantes
seq solido oxigeno
1 3 5
2 7 11
3 11 21
4 15 16
5 18 16
6 27 28
7 29 27
8 30 25
9 30 35
10 31 30
11 31 40
12 32 32
13 33 34
14 33 32
15 34 34
16 36 37
17 36 38
18 36 34
19 37 36
20 38 38
21 39 37
22 39 36
23 39 45
24 40 39
25 41 41
26 42 40
27 42 44
28 43 37
29 44 44
30 45 46
31 46 46
32 47 49
33 50 51

Valor de correlación entre las variables

  • Se determina la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; ‘x’ son los valores de sólido y ‘y’ el porcentaje de oxígeno.
r <- cor(datos$solido, datos$oxigeno)
r
## [1] 0.9554794

Gráfica de dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = solido, y = oxigeno)) +
  geom_point(colour = 'blue')

Generar el modelo regresión lineal \(Y = a + bx\)

  • Determinar los coeficientes a y b por medio de la función lineal lm()
  • El caracter ‘~’ en la fórmula de la función lm() de regresión se interpreta como que la variable ‘y’ está en función de la variable ‘x.’
modelo <- lm(data = datos, formula = oxigeno~solido)
modelo
## 
## Call:
## lm(formula = oxigeno ~ solido, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)       solido  
##      3.8296       0.9036

Encontrar el coeficiente de determinación \(r^{2}\)

summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = oxigeno ~ solido, data = datos)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -5.939 -1.783 -0.228  1.506  8.157 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  3.82963    1.76845   2.166   0.0382 *  
## solido       0.90364    0.05012  18.030   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.23 on 31 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9129, Adjusted R-squared:  0.9101 
## F-statistic: 325.1 on 1 and 31 DF,  p-value: < 2.2e-16
paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación :", r^2)
## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación : 0.912940801014387"
  • El coeficiente de determinación \(r^{2}\) con valor de 0.9129 significa que el valor de solido representa el 91.29 % del oxígeno.

Determinar los valores de a y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b
## (Intercept) 
##    3.829633
##    solido 
## 0.9036432

Gráfica de tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = solido, y = oxigeno), colour='blue') +
  geom_line(aes( x = datos$solido, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Reducción de sólido") + 
  ylab("% Oxígeno") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

Predecir conforme al modelo

  • Para predecir se puede usar la ecuación \(y=a+bx\) o utilizar la función predict()
  • Predecir para valores \(x=15,20,35,40,50\)
x <- c(15,20,35,40,50)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(solido = x))
prediccion
##        1        2        3        4        5 
## 17.38428 21.90250 35.45715 39.97536 49.01179
# Comprobar
y = a + b * x
y
## [1] 17.38428 21.90250 35.45715 39.97536 49.01179

Ejercicio Caso de mediciones del cuerpo humano (Peso y Estatura)

Mediciones del cuerpo humano en donde se buscar identificar el coeficiente de correlación \(r\), el coeficiente de determinación \(r^2\) y el modelo de regresión lineal para predecir peso en relación a la estarura de una persona.

Cargar los datos

  • La variable x independiente será la estatura
  • La variable y dependiente será la peso
datos <- read.table("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/datos/body.dat.txt", quote="\"", comment.char="")
datos <- as.data.frame(datos)

Estructura de los datos

Son 507 observaciones y 25 variables. Se identifican todas las variables de datos. Las variables de interés son las variables numéricas (columnas 23 y 24) y la columna 25 de género solo para ubicar género Masculino (1) o Femenino (2).

str(datos)
## 'data.frame':    507 obs. of  25 variables:
##  $ V1 : num  42.9 43.7 40.1 44.3 42.5 43.3 43.5 44.4 43.5 42 ...
##  $ V2 : num  26 28.5 28.2 29.9 29.9 27 30 29.8 26.5 28 ...
##  $ V3 : num  31.5 33.5 33.3 34 34 31.5 34 33.2 32.1 34 ...
##  $ V4 : num  17.7 16.9 20.9 18.4 21.5 19.6 21.9 21.8 15.5 22.5 ...
##  $ V5 : num  28 30.8 31.7 28.2 29.4 31.3 31.7 28.8 27.5 28 ...
##  $ V6 : num  13.1 14 13.9 13.9 15.2 14 16.1 15.1 14.1 15.6 ...
##  $ V7 : num  10.4 11.8 10.9 11.2 11.6 11.5 12.5 11.9 11.2 12 ...
##  $ V8 : num  18.8 20.6 19.7 20.9 20.7 18.8 20.8 21 18.9 21.1 ...
##  $ V9 : num  14.1 15.1 14.1 15 14.9 13.9 15.6 14.6 13.2 15 ...
##  $ V10: num  106 110 115 104 108 ...
##  $ V11: num  89.5 97 97.5 97 97.5 ...
##  $ V12: num  71.5 79 83.2 77.8 80 82.5 82 76.8 68.5 77.5 ...
##  $ V13: num  74.5 86.5 82.9 78.8 82.5 80.1 84 80.5 69 81.5 ...
##  $ V14: num  93.5 94.8 95 94 98.5 95.3 101 98 89.5 99.8 ...
##  $ V15: num  51.5 51.5 57.3 53 55.4 57.5 60.9 56 50 59.8 ...
##  $ V16: num  32.5 34.4 33.4 31 32 33 42.4 34.1 33 36.5 ...
##  $ V17: num  26 28 28.8 26.2 28.4 28 32.3 28 26 29.2 ...
##  $ V18: num  34.5 36.5 37 37 37.7 36.6 40.1 39.2 35.5 38.3 ...
##  $ V19: num  36.5 37.5 37.3 34.8 38.6 36.1 40.3 36.7 35 38.6 ...
##  $ V20: num  23.5 24.5 21.9 23 24.4 23.5 23.6 22.5 22 22.2 ...
##  $ V21: num  16.5 17 16.9 16.6 18 16.9 18.8 18 16.5 16.9 ...
##  $ V22: num  21 23 28 23 22 21 26 27 23 21 ...
##  $ V23: num  65.6 71.8 80.7 72.6 78.8 74.8 86.4 78.4 62 81.6 ...
##  $ V24: num  174 175 194 186 187 ...
##  $ V25: int  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

Selección de variables de interés

Se seleccionan las columnas que tienen valores de peso en kilogramso y estaturas en centímetros de personas así como el género, Se muestran los primeros 10 y últimos 10 registros.

colnames(datos)[23:25] <- c("peso", "estatura", "genero")
# Solo interesan las tres últimas columnas
datos <- select(datos, estatura, peso, genero)
kable(head(datos, 10), caption = "Datos de pesos y estaturas de personas")
Datos de pesos y estaturas de personas
estatura peso genero
174.0 65.6 1
175.3 71.8 1
193.5 80.7 1
186.5 72.6 1
187.2 78.8 1
181.5 74.8 1
184.0 86.4 1
184.5 78.4 1
175.0 62.0 1
184.0 81.6 1 
kable(tail(datos, 10), caption = "Datos de pesos y estaturas de personas")
Datos de pesos y estaturas de personas
estatura peso genero
498 169.5 67.3 0
499 160.0 75.5 0
500 172.7 68.2 0
501 162.6 61.4 0
502 157.5 76.8 0
503 176.5 71.8 0
504 164.4 55.5 0
505 160.7 48.6 0
506 174.0 66.4 0
507 163.8 67.3 0

Valor de correlación entre las variables

  • Se determina la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; \(x\) estatura y \(y\) peso de una persona.
r <- cor(datos$estatura, datos$peso)
r
## [1] 0.7173011
  • El coeficiente de correlación con valor de 0.7173011 significa el grado de relación entre las variables y su valor se interpreta siendo \(0.50 \le r \le 0.75\) una correlación positiva de media a considerable (hernandez_sampieri_metodologiinvestigacion_2014?).

Gráfica de dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = estatura, y = peso)) +
  geom_point(colour = 'blue')

Generar el modelo regresión lineal \(Y = a + bx\)

  • Determinar los coeficientes a y b por medio de la función lineal lm()
  • El caracter ‘~’ en la fórmula de la función lm() de regresión se interpreta como que la variable ‘y’ está en función de la variable ‘x.’
modelo <- lm(data = datos, formula = peso~estatura)
modelo
## 
## Call:
## lm(formula = peso ~ estatura, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)     estatura  
##    -105.011        1.018

Encontrar el coeficiente de determinación \(r^{2}\)

summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = peso ~ estatura, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -18.743  -6.402  -1.231   5.059  41.103 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -105.01125    7.53941  -13.93   <2e-16 ***
## estatura       1.01762    0.04399   23.14   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 9.308 on 505 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5145, Adjusted R-squared:  0.5136 
## F-statistic: 535.2 on 1 and 505 DF,  p-value: < 2.2e-16
paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación :", r^2)
## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación : 0.514520837538849"
  • El coeficiente de determinación \(r^{2}\) con valor de 0.5145 significa que el valor de la estatura de una persona representa el 51.45 % del peso de la misma.

Determinar los valores de a y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b
## (Intercept) 
##   -105.0113
## estatura 
## 1.017617

Gráfica de tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = estatura, y = peso), colour='blue') +
  geom_line(aes( x = datos$estatura, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Estatura") + 
  ylab("Peso") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

Predecir conforme al modelo

  • Para predecir se puede usar la ecuación \(y=a+bx\) o utilizar la función predict()
  • Predecir para valores \(x = {150, 160, 170, 175, 185, 190}\)
x <- c(150, 160, 170, 175, 185, 190)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(estatura = x))
prediccion
##        1        2        3        4        5        6 
## 47.63126 57.80743 67.98360 73.07168 83.24785 88.33593
# Comprobar
y = a + b * x
y
## [1] 47.63126 57.80743 67.98360 73.07168 83.24785 88.33593

Interpretación

La regresión lineal es una técnica de modelado estadístico que se emplea para describir una variable de respuesta continua como una función de una o varias variables predictoras. Puede ayudar a comprender y predecir el comportamiento de sistemas complejos o a analizar datos experimentales.

Ejercicio ventas en función de comerciales

Se cargan los datos de los cuales se conoce que la correlación es .9006177 y se procede a graficar la dispersión con la función \(ggplot()\). A continuación se determinan los coeficientes a y b mediante la función lineal \(lm()\), se obtiene como resultado la intercepción de los ejes X= 4.8406 e Y= 36.1314 y se gráfica mediante la función \(ggplot()\) la linea de tendencia de los datos y se usa la función \(predict()\) para predecir los valores buscados de X para posteriormente comprobarse conociendo si la suma de a y b multiplicado por X a lo que se observa que son exactamente iguales.

Contaminantes y la demanda de oxígeno bioquímico

Se cargan los datos que refieren si los contaminantes solidos requieren mayor cantidad de oxígeno mediante un data.frame. La correlación de dichos datos es .9554 la cual es considerada positiva y muy fuerte de acuerdo a los coeficientes de Pearson. Se determinan los coeficientes de a y b que equivalen a \(3.8296\) y \(.9036\) respectivamente. El coeficiente de determinación r se obtuvo de elevar al cuadrado dicho dato \(r^2= .9129\) lo cual significa que el valor de solido representa el 91.29% del oxígeno. Se gráfica la tendencia de los datos con la función \(ggplot()\) y se predice el valor de \(x=15, 20, 35, 40, 50\) y se comprueba de tal manera que se reflejan los mismos valores.

Caso de mediciones del cuerpo humano (peso y estatura)

Se cargan los datos que buscan identificar el coeficiente de correlación r, el coeficiente de determinación r^2 y el modelo de regresión lineal para predecir peso en relación a la estatura. Se seleccionan las variables de interés peso y estatura mediante las columnas correspondientes.

De acuerdo al valor obtenido para la \(correlación=.7173\) que se puede interpretar como positiva considerable de acuerdo al coeficiente de Pearson.

El valor del coeficiente determinación \(r^2= 51.45\) % nos dice que la estatura de una persona representa ese porcentaje de su peso.

Con esto se concluye que para una persona que mide 170 cms. la predicción hecha dice que su peso seria de 67.98 kgs.


Referencias bibliográficas

Amat Rodrigo, Joaquín. 2016. “Correlación Lineal y Regresión Lineal Simple. Correlación Lineal y Regresión Lineal Simple.” 2016. https://www.cienciadedatos.net/documentos/24_correlacion_y_regresion_lineal. Hernández Sampieri, Roberto, Carlos Fernández Collado, and María del Pilar Baptista Lucio. 2014. Metodología de La Investigación. Sexta. Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. 2007. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Octava Edición. México: Pearson Education.