Diseño robusto

1 Diseño robusto

1.1 Ejercicio

20.- En 1951 en la Ina Tile Company se tenía el problema de que el horno quemaba de forma dispareja debido a una variación de la temperatura en diferentes partes de éste, lo cual causaba defectos en las lozas que se fabricaban. Una posibilidad de solución (imposible en ese momento) era cambiar el horno por otro que no tuviera ese problema. Otra posibilida era reformular las lozas de manera que fueran robustas al funcionamiento “disparejo” del horno. Esto último fue lo que se decidió hacer, utilizando los siguientes niveles de prueba en siete factores de la formulación de a loza:

Extracto del libro Análisis y Diseño de Experimentos-Humberto Gutierrez Pulido-Román de la Vara Salazar

Nótese que uno de los niveles de prueba para cada uno de los factores corresponde al nivel que se utilizaba hasta ese momento. Se tomó una muestra de 100 lozas en cada uno de los ocho tratamientos y se obtuvo el porcentaje de lozas defectuaosas. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla: (Pulido, De la Vara Salazar, González, Martı́nez, & Pérez, 2012)

Extracto del libro Análisis y Diseño de Experimentos-Humberto Gutierrez Pulido-Román de la Vara Salazar

a) ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?
b) Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.
c) Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.
d) ¿Cuál es la proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?
e) Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

1.2 Solución del ejercicio

a) ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?

Se considera que es un diseño robusto a todo proceso o producto insensible o resistente a factores de ruido que bajo las condiciones vigentes no se pueden controlar, y dado lo que se presenta en este caso, es que están teniendo un cambio en las lozas que se fabricaban debido a la variación de la temperatura de un horno (expuosicion a condiciones variables del medio), y algunas de estas no perjudican del todo al entorno debido a la caracteristica del diseño.

b) Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.

Datos

library(printr)
datos=read.table(file = "dataset.txt",header = TRUE)
head(datos,n=8L)

A	B	C	D	E	F	G	X.lozas_defectuosas
1	1	1	1	1	1	1	16
1	1	1	2	2	2	2	17
1	2	2	1	1	1	2	12
1	2	2	2	2	2	1	6
2	1	2	1	2	2	2	6
2	1	2	2	1	1	1	68
2	2	1	1	2	2	1	42
2	2	1	2	1	1	2	26

View(datos)
str(datos)

## 'data.frame':    8 obs. of  8 variables:
##  $ A                  : int  1 1 1 1 2 2 2 2
##  $ B                  : int  1 1 2 2 1 1 2 2
##  $ C                  : int  1 1 2 2 2 2 1 1
##  $ D                  : int  1 2 1 2 1 2 1 2
##  $ E                  : int  1 2 1 2 2 1 2 1
##  $ F                  : int  1 2 1 2 2 1 2 1
##  $ G                  : int  1 2 2 1 2 1 1 2
##  $ X.lozas_defectuosas: int  16 17 12 6 6 68 42 26

Como el objetivo del ejercicio es minimizar el exceso de temperatura que se está provocando, se utiliza la fórmula “Mientras más pequeña mejor”, la cual es la siguiente:

#---- Mientras más pequeña mejor----#
info=as.matrix(datos[1:8,8:8])
signal_noise=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz))
  {
    sn[i]=-10*log((sum(matriz[i,]^2)),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise, n=8L)

## [1] -24.08240 -24.60898 -21.58362 -15.56303 -15.56303 -36.65018 -32.46499
## [8] -28.29947

#----------Media----------#
media=function(matriz)
{
  prom=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    prom[i]=mean(matriz[i,])
  }
  prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media, n=8L)

## [1] 16 17 12  6  6 68 42 26

Una vez que se hayan analizado los datos, se puede ver que, en efecto, los vectores corresponden a las respuestas que se utilizan para la optimizacion de dos pasos, por lo que se puede continuar a realizar los efectos activos que inflyen en las respuestas obtenidas.

Cálculo de los efectos activos para las respuestas

Respuesta razón S/R

En esta sección, para saber cual tomar de las respuestas del estadistico razon señal/ruido, se pasa a calcular los efectos activos, asi como el de experimentos factorial completo.

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 7, factor.names = list(A=c(1,2),B=c(1,2),C=c(1,2),D=c(1,2),E=c(1,2),F=c(1,2),G=c(1,2)), replications = 1, randomize = FALSE)
experimento_resp=add.response(experimento, response = r_signal_noise)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")

En base a los resultados obtenidos y después de haber hecho un análisis, se puede observar que para la razón señal/ruido no existen efectos activos contando con un nivel de significancia del 0.05.

En la siguiente sección se realiza una gráfica de efectos principles, gráfica de interacciones y el ANOVA, con la finalidad de obtener mejores resultados u análisis y de esta forma comprobar que lo que se desarrollo anteriomente sea aceptable.

Gráfica de efectos principales

efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main= "Gráfica de Efectos Principales")

head(efectos_principales)

	A	B	C	D	E	F	G
-	-23.42351	-25.22615	-21.45951	-28.82694	-22.05000	-22.33996	-27.19015
+	-26.28041	-24.47778	-28.24441	-20.87698	-27.65392	-27.36396	-22.51377

Lo que se puede observar en la gráfica obtenida es que su significancia es pequeña, y será necesario realizar un ANOVA para demostrar si estos son significativos o son trascendentes para el problema.

Gráfica de interacciones

efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main= "Gráfica de Interacciones")

head(efectos_interaccion)

	A:B	A:C	A:D	A:E	A:F	A:G	B:C	B:D	B:E	B:F	B:G	C:D	C:E	C:F	C:G	D:E	D:F	D:G	E:F	E:G	F:G
-:-	-19.82271	-22.83301	-27.02431	-24.01401	-18.57333	-28.27369	-24.34569	-30.62958	-20.08600	-26.10660	-30.36629	-23.09630	-20.08600	-18.57333	-19.82271	-28.53698	-29.11690	-34.55758	-15.56302	-24.01401	-26.10660
+:-	-30.62958	-20.08600	-30.62958	-20.08600	-26.10660	-26.10660	-18.57333	-27.02431	-24.01401	-18.57333	-24.01401	-34.55758	-24.01401	-26.10660	-34.55758	-15.56302	-15.56302	-19.82271	-29.11690	-30.36629	-28.27369
-:+	-27.02431	-24.01401	-19.82271	-22.83301	-28.27369	-18.57333	-26.10660	-19.82271	-30.36629	-24.34569	-20.08600	-19.82271	-22.83301	-24.34569	-23.09630	-29.11690	-28.53698	-23.09630	-28.53698	-20.08600	-18.57333
+:+	-21.93125	-32.47482	-21.93125	-32.47482	-26.45422	-26.45422	-30.38223	-21.93125	-24.94155	-30.38223	-24.94155	-21.93125	-32.47482	-30.38223	-21.93125	-26.19093	-26.19093	-21.93125	-26.19093	-24.94155	-26.45422

En base a los resultados obtenidos por las gráficas, se afirma que los componentes tienen poca significancia. Por consiguiente, se va a realizar una tabla ANOVA para concluir el ejercicio.

ANOVA

modelo_sr=lm(r_signal_noise~(A+B+C+D+E+F+G),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## A            1  92.07   92.07   0.728  0.550
## B            1   1.12    1.12   0.009  0.940
## C            1  50.48   50.48   0.399  0.641
## D            1  16.32   16.32   0.129  0.780
## E            1  62.81   62.81   0.497  0.609
## G            1  43.74   43.74   0.346  0.661
## Residuals    1 126.40  126.40

Es de observarse que en la tabla ANOVA existe un 95% de confianza, por lo que se puede concluir que los factores individuales no tienen un efecto significativo en la respuesta razón señal/ruido. A continuación, se analiza la respuesta media del proceso en la que se eligen los efectos activos que lleven al proceso y condiciones, no robustas que estén más cerca al valor esperado.

Respuesta media del proceso

library(FrF2)
experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main= "Gráfico de Daniel para la respueta media del proceso")

En base a los resultados obtenidos por la gráfica se puede concluir de que no existen interrelaciones activas en el proceso en términos de la media, por lo que para finalizar se prosigue a realizar las gráficas de efectos principales y de interacciones:

graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main= "Gráfica de efectos principales para el valor nominal esperado")

head(graf_efectos_individuales_media)

	A	B	C	D	E	F	G
-	19.00	26.75	12.75	34.75	17.75	23.00	33.00
+	29.25	21.50	35.50	13.50	30.50	25.25	15.25

interac_media=IAPlot(experimento_media,main= "Gráfica de interacciones para el valor nominal esperado")

head(interac_media)

	A:B	A:C	A:D	A:E	A:F	A:G	B:C	B:D	B:E	B:F	B:G	C:D	C:E	C:F	C:G	D:E	D:F	D:G	E:F	E:G	F:G
-:-	11.0	14.0	27.0	24.0	9.0	29.0	16.5	42.5	11.5	37.0	42.0	14.5	11.5	9.0	11.0	29.5	40.0	55.0	6.0	24.0	37.0
+:-	42.5	11.5	42.5	11.5	37.0	37.0	9.0	27.0	24.0	9.0	24.0	55.0	24.0	37.0	55.0	6.0	6.0	11.0	40.0	42.0	29.0
-:+	27.0	24.0	11.0	14.0	29.0	9.0	37.0	11.0	42.0	16.5	11.5	11.0	14.0	16.5	14.5	40.0	29.5	14.5	29.5	11.5	9.0
+:+	16.0	47.0	16.0	47.0	21.5	21.5	34.0	16.0	19.0	34.0	19.0	16.0	47.0	34.0	16.0	21.0	21.0	16.0	21.0	19.0	21.5

modelo_AC=lm(r_media~(A*C),data=datos)
anova_AC=aov(modelo_AC)
summary(anova_AC)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## A            1 1035.1  1035.1   2.002  0.230
## C            1   10.1    10.1   0.020  0.895
## A:C          1   55.1    55.1   0.107  0.760
## Residuals    4 2068.5   517.1

Por medio de un ANOVA, revisando los resultados obtenidos nuevamente se comprueba que los efectos no son significtivos.

c) Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.

Dado que los componentes que se analizaron no tienen un gran impacto en la forma de afectar de forma directa el ejercicio plateado, no es posible establecer o seleccionar una formulación, por lo que se recomienda continuar con el actual, ya que es una de las que ofrece menores porcentajes de estas lozas que estan defectuaosas, sin embargo hay otra opción por la que se podria optar, la cual puede ser:

Aditivo de cal con un 5%. Granularidad del aditivo fina. Contenido de algamatolite con un 53%. Algamatolite de 1299 kg de carga. 4% contenido reciclado. 0% de contenido de fedespato.

d) ¿Cuál es la proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?

En la mezcla actual dado que se muestra a la corrida 4 de la tabla al inicio del ejercicio se puede decir que el porcentaje de lozas defectuosas representa 6 deficiencias por cada 100 lozas.

e) Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

Lo que se puede estimar es que principalmente la cantidad de loza que se esperaba en el procedimiento tiene un valor del 6% en cuanto a lo que respecta a las lozas defectuosas, que al mismo tiempo es posible encontrarlas en la corrida 5.

Lo que se puede mencionar sobre la cantidad de loza defectuosa que se espera en el nuevo procedimiento es la misma cantidad esperada que en el anterior (6%), que corresponde a la corrida 4, por lo que se puede decir que los valores esperados son semejantes.

Y en base a todo lo mencionado anteriormente se puede finalizar diciendo que no existen diferencias ya que ambos tratamientos logran obtener el mismo porcentaje de defectos.

Bibliografía

Pulido, H. G., De la Vara Salazar, R., González, P. G., Martı́nez, C. T., & Pérez, M. del C. T. (2012). Análisis y diseño de experimentos. McGraw-Hill New York, NY, USA: