1 Ejercicio 20

Ejercicio 20 de la página 280 del libro Análisis y Diseño de Experimentos de Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara.(Pulido & Vara Salazar, 2012)

En 1951 en la Ina Tile Company se tenía el problema de que el horno quemaba de forma dispareja debido a una variación de la temperatura en diferentes partes de éste, lo cual causaba defectos en las lozas que se fabricaban. Una posibilidad de solución (imposible en ese momento) era cambiar el horno por otro que no tuviera ese problema. Otra posibilidad era reformular las lozas de manera que fueran robustas al funcionamiento “disparejo” del horno. Esto último fue lo que se decidió hacer, utilizando los siguientes niveles de prueba en siete factores de la formulación de la loza:

Ejercicio 20

Nótese que uno de los niveles de prueba para cada uno de los factores corresponde al nivel que se utilizaba hasta ese momento. Se tomó una muestra de 100 lozas en cada uno de los ocho tratamientos y se obtuvo el porcentaje de lozas defectuosas. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Ejercicio 20

  1. ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?
  2. Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.
  3. Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.
  4. ¿Cuál es la proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?
  5. Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

1.1 Solución

library(printr)
datos=read.table("dataset.txt",header=TRUE)
str(datos)
## 'data.frame':    8 obs. of  8 variables:
##  $ A : int  1 1 1 1 2 2 2 2
##  $ B : int  1 1 2 2 1 1 2 2
##  $ C : int  1 1 2 2 2 2 1 1
##  $ D : int  1 2 1 2 1 2 1 2
##  $ E : int  1 2 1 2 2 1 2 1
##  $ F : int  1 2 1 2 2 1 2 1
##  $ G : int  1 2 2 1 2 1 1 2
##  $ LD: int  16 17 12 6 6 68 42 26
View(datos)
attach(datos)
head(datos,n=8L)
A B C D E F G LD
1 1 1 1 1 1 1 16
1 1 1 2 2 2 2 17
1 2 2 1 1 1 2 12
1 2 2 2 2 2 1 6
2 1 2 1 2 2 2 6
2 1 2 2 1 1 1 68
2 2 1 1 2 2 1 42
2 2 1 2 1 1 2 26

a) ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?

Es un diseño robusto por que forma parte de un diseño robusto ya que su desempeño es consistente al exponerse a las condiciones variables del medio, en esta situación a la temperatura, el hecho de que no perjudique del mismo modo a lo largo del horno se debería a la condición ambiental y esta en la importancia de lo cual es un diseño robusto.

b) Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.

Dado que surge el prolema de variación de temperatura que puede generar defectos procedemos a lo siguiente:

#---Proporción de defectuosos---#
info=as.matrix(datos[1:8,8:8])
signal_noise=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz))
  {
    sn[i]=-10*log((sum(matriz[i,]^2)),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise,n=8L)
## [1] -24.08240 -24.60898 -21.58362 -15.56303 -15.56303 -36.65018 -32.46499
## [8] -28.29947
media=function(matriz)
{
  prom=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    prom[i]=mean(matriz[i,])
  }
  prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media, n=8L)
## [1] 16 17 12  6  6 68 42 26

Después de examinar, se observa que los vectores pertenecen a todas las respuestas que son usadas en la mejora de 2 pasos, entonces lo cual proviene es establecer los efectos activos que influyen sobre las diversas respuestas.

Cálculo de efectos activos para cada respuesta

Respuesta Razón S/R

En este caso determinaremos los efectos activos de la misma forma en que se determinan para un experimento factorial completo o factorial fraccionado, de la siguiente manera, para la respuesta del estadístico razón señal ruido

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 7, factor.names = list(A=c(-1,1),B=c(-1,1),C=c(-1,1),D=c(-1,1),E=c(-1,1),F=c(-1,1),G=c(-1,1)), replications = 1, randomize = FALSE)
experimento_resp=add.response(experimento, response = r_signal_noise)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")

Una vez que se hizo el analisis nos damos cuenta que en la señal ruido no existen efectos activos con un nivel de significancia de 0.05, Una vez hecho el analisis se procedera a realizar las demas pruebas y analisis para corroborar los resultados.

Gráfico de efectos principales

efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Gráfica de Efectos Individuales")

head(efectos_principales)
A B C D E F G
- -23.42351 -25.22615 -21.45951 -28.82694 -22.05000 -22.33996 -27.19015
+ -26.28041 -24.47778 -28.24441 -20.87698 -27.65392 -27.36396 -22.51377

En el presente analisis se puede visualizar la gráfica y resultados obtenidos, como es muy poca la significancia de los factores, será mejor confirmar en el ANOVA si realmente se consideran significativos o no representan importancia en realidad para el problema planteado.

Gráfico de interraciones

efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main="Gráfica de Interacciones")

head(efectos_interaccion)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- -19.82271 -22.83301 -27.02431 -24.01401 -18.57333 -28.27369 -24.34569 -30.62958 -20.08600 -26.10660 -30.36629 -23.09630 -20.08600 -18.57333 -19.82271 -28.53698 -29.11690 -34.55758 -15.56302 -24.01401 -26.10660
+:- -30.62958 -20.08600 -30.62958 -20.08600 -26.10660 -26.10660 -18.57333 -27.02431 -24.01401 -18.57333 -24.01401 -34.55758 -24.01401 -26.10660 -34.55758 -15.56302 -15.56302 -19.82271 -29.11690 -30.36629 -28.27369
-:+ -27.02431 -24.01401 -19.82271 -22.83301 -28.27369 -18.57333 -26.10660 -19.82271 -30.36629 -24.34569 -20.08600 -19.82271 -22.83301 -24.34569 -23.09630 -29.11690 -28.53698 -23.09630 -28.53698 -20.08600 -18.57333
+:+ -21.93125 -32.47482 -21.93125 -32.47482 -26.45422 -26.45422 -30.38223 -21.93125 -24.94155 -30.38223 -24.94155 -21.93125 -32.47482 -30.38223 -21.93125 -26.19093 -26.19093 -21.93125 -26.19093 -24.94155 -26.45422

Con los gráfico basados anterior, se reafirma que los componentes no son de gran importancia, sin embargo, se aplicará una tabla ANOVA para realizar exitosamente este ejercicio.

Anova

modelo_sr=lm(r_signal_noise~(A+B+C+D+E+F+G),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## A            1  92.07   92.07   0.728  0.550
## B            1   1.12    1.12   0.009  0.940
## C            1  50.48   50.48   0.399  0.641
## D            1  16.32   16.32   0.129  0.780
## E            1  62.81   62.81   0.497  0.609
## G            1  43.74   43.74   0.346  0.661
## Residuals    1 126.40  126.40

Se puede concluir con un 95% de confianza que los factores individuales no influyen de manera significativa sobre la variable respuesta, mientras que en la gráfica se pueden interpretar como relevantes en cambio, con los valores y el ANOVA se puede comprobar que no.

Respuesta media del proceso

El caso de la variable de respuesta promedio, ésta se utilizará para llevar al proceso a su valor esperado. Se eligirán los efecto activos que lleven al proceso a las condiciones, no robustas, que más se acerquen al valor esperado del proceso:

library(FrF2)
experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main="Grafico de Daniel para la respueta media del proceso")

En conclusión, después de analizar la gráfica anterior se puede llegar a la conclusión que no hay interacciones activas para el proceso en términos de la media, no obstante, se realizara las gráficas de efectos principales y de interacciones.

graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Grafica de efectos principales para el valor nominal esperado")

graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Grafica de efectos principales para el valor nominal esperado")

head(graf_efectos_individuales_media)
A B C D E F G
- 19.00 26.75 12.75 34.75 17.75 23.00 33.00
+ 29.25 21.50 35.50 13.50 30.50 25.25 15.25 
interac_media=IAPlot(experimento_media,main="Grafica de interacciones para el valor nominal esperado")

head(interac_media)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- 11.0 14.0 27.0 24.0 9.0 29.0 16.5 42.5 11.5 37.0 42.0 14.5 11.5 9.0 11.0 29.5 40.0 55.0 6.0 24.0 37.0
+:- 42.5 11.5 42.5 11.5 37.0 37.0 9.0 27.0 24.0 9.0 24.0 55.0 24.0 37.0 55.0 6.0 6.0 11.0 40.0 42.0 29.0
-:+ 27.0 24.0 11.0 14.0 29.0 9.0 37.0 11.0 42.0 16.5 11.5 11.0 14.0 16.5 14.5 40.0 29.5 14.5 29.5 11.5 9.0
+:+ 16.0 47.0 16.0 47.0 21.5 21.5 34.0 16.0 19.0 34.0 19.0 16.0 47.0 34.0 16.0 21.0 21.0 16.0 21.0 19.0 21.5

Anova

modelo_AC=lm(r_media~(A*C),data=datos)
anova_AC=aov(modelo_AC)
summary(anova_AC)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## A            1 1035.1  1035.1   2.002  0.230
## C            1   10.1    10.1   0.020  0.895
## A:C          1   55.1    55.1   0.107  0.760
## Residuals    4 2068.5   517.1

De acuardo con la tabla anova, se comprueba mediante los resultados obtenidos que los efectos no son significativos.

c) Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.

Ya que ninguno de los componentes es realmente relevante en gran manera o que perjudiquen de manera directa el problema propuesto, es difícil escoger una mezcla, por lo cual lo aconsejable es optar por la actual es una de las que otorga uno de los menores porcentajes de lozas defectuosas, la exclusiva otra conjunción conveniente podría ser:

El aditivo de cal con un 5%, otra sería la granularidad del aditivo fina, otro el contenido de algamatolite con un 53%, el tipo barato de algamatolite de 1299 kg de carga, el 4% contenido reciclado y por ultimo un 0% de contenido de fedespato.

d) ¿Cuál es la proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?

Ya que la combinación mencionada anteriormente representa la corrida 4 de la tabla proporcionada con la combinación: 1,2,2,2,2,2,1 , por lo cual el % de lozas defectuosas sería la cantidad de 6%.

e) Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

Después de revisar los resultados, la cantidad de loza defectuosa esperada en el procedimiento actual nos da un valor del 6% de lozas defectuosas, y esta corresponde a la mezcla de la corrida 5, por otro lado la cantidad de loza defectuosa esperada en el nuevo procedimiento, es así mismo 6 defctos esperados, que es la correspondiente a la corrida 4. Por lo cual los valores esperados son semejantes, ya que poseen los mismos defectos por cada 100 lozas. Con base a esto se concluye que no hay diferencias debido a que ambos tratamientos consiguen el mismo porcentaje de defectos y no importa cual se elija ya que ambos dan el mismo resultados de lozas defectuosas.

Bibliografia

Pulido, H. G., & Vara Salazar, R. de la. (2012). Analisis y diseño de Experimentos (3a ed.). McGraw Hill.