1 Ejercicio 20

Ejercicio 20 de la página 280 del libro Análisis y Diseño de Experimentos de Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara.(Pulido & Vara Salazar, 2012)

En 1951 en la Ina Tile Company se tenía el problema de que el horno quemaba de forma dispareja debido a una variación de la temperatura en diferentes partes de éste, lo cual causaba defectos en las lozas que se fabricaban. Una posibilidad de solución (imposible en ese momento) era cambiar el horno por otro que no tuviera ese problema. Otra posibilidad era reformular las lozas de manera que fueran robustas al funcionamiento “disparejo” del horno. Esto último fue lo que se decidió hacer, utilizando los siguientes niveles de prueba en siete factores de la formulación de la loza:

Ejercicio 20

Nótese que uno de los niveles de prueba para cada uno de los factores corresponde al nivel que se utilizaba hasta ese momento. Se tomó una muestra de 100 lozas en cada uno de los ocho tratamientos y se obtuvo el porcentaje de lozas defectuosas. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Ejercicio 20

  1. ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?
  2. Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.
  3. Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.
  4. ¿Cuál es la proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?
  5. Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

1.1 Solución

library(printr)
datos=read.table("dataset.txt",header = TRUE)
str(datos)
## 'data.frame':    8 obs. of  8 variables:
##  $ A : int  1 1 1 1 2 2 2 2
##  $ B : int  1 1 2 2 1 1 2 2
##  $ C : int  1 1 2 2 2 2 1 1
##  $ D : int  1 2 1 2 1 2 1 2
##  $ E : int  1 2 1 2 2 1 2 1
##  $ F : int  1 2 1 2 2 1 2 1
##  $ G : int  1 2 2 1 2 1 1 2
##  $ LD: int  16 17 12 6 6 68 42 26
View(datos)
attach(datos)
head(datos,n=8L)
A B C D E F G LD
1 1 1 1 1 1 1 16
1 1 1 2 2 2 2 17
1 2 2 1 1 1 2 12
1 2 2 2 2 2 1 6
2 1 2 1 2 2 2 6
2 1 2 2 1 1 1 68
2 2 1 1 2 2 1 42
2 2 1 2 1 1 2 26

a) ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?

El diseño robusto es la determinación de los niveles de los parámetros o factores de proceso, de tal forma que cada característica del producto se desempeñe con variación mínima alrededor de su valor objetivo, es decir, es un experimento en el que se consideran factores de ruido, con respecto a los cuales se quiere lograr un proceso o producto robusto, a lo que nos lleva que este experimento es un diseño rousto porque su comportamiento es consistente ante la exposición a condiciones ambientales cambiantes en este caso de temperatura desde su variación el hecho de que que no afecte de la misma forma en todo el horno de la misma manera probablemente debido a las condiciones ambientales y por lo tanto se considera el experimento un diseño rousto.

b) Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.

Dado que surge el prolema de variación de temperatura que puede generar defectos procedemos a lo siguiente:

#---Proporción de defectuosos---#
info=as.matrix(datos[1:8,8:8])
signal_noise=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz))
  {
    sn[i]=-10*log((sum(matriz[i,]^2)),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise,n=8L)
## [1] -24.08240 -24.60898 -21.58362 -15.56303 -15.56303 -36.65018 -32.46499
## [8] -28.29947
media=function(matriz)
{
  prom=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    prom[i]=mean(matriz[i,])
  }
  prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media, n=8L)
## [1] 16 17 12  6  6 68 42 26

Los vectores resultantes correspondientes a cada respuesta se utilizan en la optimización de dos pasos. Por lo tanto la siguiente etapa del proceso de experimentación es identificar los efectos activos que influyen en las diferentes respuestas.

Cálculo de efectos activos para cada respuesta

Respuesta Razón S/R

En este caso determinaremos los efectos activos de la misma forma en que se determinan para un experimento factorial completo o factorial fraccionado, de la siguiente manera, para la respuesta del estadístico razón señal ruido

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 7, factor.names = list(A=c(1,2),B=c(1,2),C=c(1,2),D=c(1,2),E=c(1,2),F=c(1,2),G=c(1,2)), replications = 1, randomize = FALSE)
experimento_resp=add.response(experimento, response = r_signal_noise)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")

Al observar el gráfico se ve que para la razón S/R no hay efectos activos con un grado de significancia 0.05, por lo cual se analizaran otros gráficos y la tabla de anova, para analizar un mejor estudio.

Gráfico de efectos principales

efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Gráfica de Efectos Individuales")

head(efectos_principales)
A B C D E F G
- -23.42351 -25.22615 -21.45951 -28.82694 -22.05000 -22.33996 -27.19015
+ -26.28041 -24.47778 -28.24441 -20.87698 -27.65392 -27.36396 -22.51377

Al observar el gráfico la importancia de los componentes es bastante baja por lo que es fundamental realizar ANOVA y así poder confirmar si son importantes o no muestran importancia para el ejercicio.

Gráfico de interraciones

efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main="Gráfica de Interacciones")

head(efectos_interaccion)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- -19.82271 -22.83301 -27.02431 -24.01401 -18.57333 -28.27369 -24.34569 -30.62958 -20.08600 -26.10660 -30.36629 -23.09630 -20.08600 -18.57333 -19.82271 -28.53698 -29.11690 -34.55758 -15.56302 -24.01401 -26.10660
+:- -30.62958 -20.08600 -30.62958 -20.08600 -26.10660 -26.10660 -18.57333 -27.02431 -24.01401 -18.57333 -24.01401 -34.55758 -24.01401 -26.10660 -34.55758 -15.56302 -15.56302 -19.82271 -29.11690 -30.36629 -28.27369
-:+ -27.02431 -24.01401 -19.82271 -22.83301 -28.27369 -18.57333 -26.10660 -19.82271 -30.36629 -24.34569 -20.08600 -19.82271 -22.83301 -24.34569 -23.09630 -29.11690 -28.53698 -23.09630 -28.53698 -20.08600 -18.57333
+:+ -21.93125 -32.47482 -21.93125 -32.47482 -26.45422 -26.45422 -30.38223 -21.93125 -24.94155 -30.38223 -24.94155 -21.93125 -32.47482 -30.38223 -21.93125 -26.19093 -26.19093 -21.93125 -26.19093 -24.94155 -26.45422

Con los gráfico basados anterior, se reafirma que los componentes no son de gran importancia, sin embargo, se aplicará una tabla ANOVA para realizar exitosamente este ejercicio.

Anova

modelo_sr=lm(r_signal_noise~(A+B+C+D+E+F+G),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## A            1  92.07   92.07   0.728  0.550
## B            1   1.12    1.12   0.009  0.940
## C            1  50.48   50.48   0.399  0.641
## D            1  16.32   16.32   0.129  0.780
## E            1  62.81   62.81   0.497  0.609
## G            1  43.74   43.74   0.346  0.661
## Residuals    1 126.40  126.40

Se puede concluir con un 95% de confianza, los factores individuales no muestran ningún efecto significativo sobre la variable de respuesta razón señal/ruido, la variación se interpreta en la gráfica con sus respectivos valores y en la tabla de anova, se verifica que no lo son, por lo cual nos lleva que los efectos no son significativos.

Respuesta media del proceso

El caso de la variable de respuesta promedio, ésta se utilizará para llevar al proceso a su valor esperado. Se eligirán los efecto activos que lleven al proceso a las condiciones, no robustas, que más se acerquen al valor esperado del proceso:

library(FrF2)
experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main="Grafico de Daniel para la respueta media del proceso")

De acuerdo a la grafica se puede concluir que no existe interacciones activas para el proceso de la media, pero se realizara las gráficas de efectos principales y interacciones:

graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Grafica de efectos principales para el valor nominal esperado")

graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Grafica de efectos principales para el valor nominal esperado")

head(graf_efectos_individuales_media)
A B C D E F G
- 19.00 26.75 12.75 34.75 17.75 23.00 33.00
+ 29.25 21.50 35.50 13.50 30.50 25.25 15.25 
interac_media=IAPlot(experimento_media,main="Grafica de interacciones para el valor nominal esperado")

head(interac_media)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- 11.0 14.0 27.0 24.0 9.0 29.0 16.5 42.5 11.5 37.0 42.0 14.5 11.5 9.0 11.0 29.5 40.0 55.0 6.0 24.0 37.0
+:- 42.5 11.5 42.5 11.5 37.0 37.0 9.0 27.0 24.0 9.0 24.0 55.0 24.0 37.0 55.0 6.0 6.0 11.0 40.0 42.0 29.0
-:+ 27.0 24.0 11.0 14.0 29.0 9.0 37.0 11.0 42.0 16.5 11.5 11.0 14.0 16.5 14.5 40.0 29.5 14.5 29.5 11.5 9.0
+:+ 16.0 47.0 16.0 47.0 21.5 21.5 34.0 16.0 19.0 34.0 19.0 16.0 47.0 34.0 16.0 21.0 21.0 16.0 21.0 19.0 21.5

Anova

modelo_AC=lm(r_media~(A*C),data=datos)
anova_AC=aov(modelo_AC)
summary(anova_AC)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## A            1 1035.1  1035.1   2.002  0.230
## C            1   10.1    10.1   0.020  0.895
## A:C          1   55.1    55.1   0.107  0.760
## Residuals    4 2068.5   517.1

De acuardo con la tabla anova, se comprueba mediante los resultados obtenidos que los efectos no son significativos.

c) Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.

En vista de que ningún factor es significativamente importante o afecta directamente a la pregunta planteada, aparte del hecho de que la combinación actual es uno de los porcentajes más bajos de lozas defectuosas, la única otra combinación adecuada es la del ejericio que seria el aditivo de cal en un 5%, la granularidad del aditivo fina, el contenido de algamatolite en 53%, el tipo barato de algamatolite, 1299 kg de carga, 4% contenido de reciclado y un 0% de contenido de fedespato.

d) ¿Cuál es la proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?

Respecto a la combinación mencionada anteriormente representa la corrida 4 de la tabla proporcionada con la combinación: 1,2,2,2,2,2,1 , por lo cual el % de lozas defectuosas sería la cantidad de 6%.

e) Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

La proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento anterior (actual), por pertenecer a la corrida 5 la proporción de lozas defectuosa se estima en un 6%, y la proporción de lozas defectuosa en el nuevo tratamiento se estima en un 6%, que ya pertenece a corrida. 4, entonces la diferencia es nula. Ambos tratamientos han obtenido el mismo porcentaje de defectos. Como se muestra en la tabla, este es el menor número de opciones posibles, por lo que se puede concluir que aunque los factores no tienen sentido cuando cambia el nivel si es importante analizar los cambios.

Bibliografia

Pulido, H. G., & Vara Salazar, R. de la. (2012). Analisis y diseño de Experimentos (3a ed.). McGraw Hill.