1 PROBLEMA

En 1951 en la Ina Tile Company se tenía el problema de que el horno quemaba de forma dispareja debido a una variación de la temperatura en diferentes partes de este, lo cual causaba defectos en las lozas que se fabricaban. Una posibilidad de solución (imposible en ese momento) era cambiar el horno por otro que no tuviera ese problema. Otra posibilidad era reformular las lozas de manera que fueran robustas al funcionamiento “disparejo” del horno. (Pulido & Vara Salazar, 2012)

Esto último fue lo que se decidió hacer, utilizando los siguientes niveles de prueba de siete factores de la formulación de la loza:

Factor Nivel 1 Nivel 2
A: Aditivo de cal \(A_1 = 5\%\) \(A_2 = 1\%\hspace{0.2cm}(actual)\)
B: Granularidad del aditivo \(B_1 = tosca\hspace{0.2cm}(actual)\) \(B_2 = fina\)
C: Contenido de algamatolite \(C_1 = 43\%\) \(C_2 = 53\%\hspace{0.2cm}(actual)\)
D: Tipo de algamatolite \(D_1 = mezcla\hspace{0.2cm}actual\) \(D_2 = mas\hspace{0.2cm}barata\)
E: Cantidad de carga \(E_1 = 1\hspace{0.2cm}300\hspace{0.2cm}kg\) \(E_2 =1\hspace{0.2cm}200\hspace{0.2cm}kg\hspace{0.2cm}(actual)\)
F: Contenido de reciclado \(F_1 = 0\%\) \(F_2 = 4\%\hspace{0.2cm}(actual)\)
G: Contenido de feldespato \(G_1 = 0\%\) \(G_2 = 5\%\hspace{0.2cm}(actual)\)

Nótese que uno de los niveles de pruba para cada uno de los factores corresponde al nivel que se utilizaba hasta ese momento. Se tomó una muestra de 100 lozas en cada uno de los ocho tratamientos y se obtuvo el porcentaje de lozas defectuosas. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

No. de corrida A B C D E F G % de lozas defectuosas
1 1 1 1 1 1 1 1 16
2 1 1 1 2 2 2 2 17
3 1 2 2 1 1 1 2 12
4 1 2 2 2 2 2 1 6
5 2 1 2 1 2 2 2 6
6 2 1 2 2 1 1 1 68
7 2 2 1 1 2 2 1 42
8 2 2 1 2 1 1 2 26

  1. ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?

  2. Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.

  3. Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.

  4. ¿Cuál es la proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?

  5. Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

1.1 SOLUCION DE INCISOS

1.1.1 INCISO A

¿Por qué este experimento es un diseño robusto?

Este experimento es un diseño robusto ya que afecta la variable de temperatura, y esta no es controlable ya que se atribuye a una condicion ambiental, es por ello que se considera un diseño robusto, debido a que no afecta de igual manera en el horno.

1.1.2 INCISO B

Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.

library(printr)
datos=read.table(file="dataset.txt",header = TRUE)
head(datos,n=9L)
A B C D E F G DEFECTOS
1 1 1 1 1 1 1 16
1 1 1 2 2 2 2 17
1 2 2 1 1 1 2 12
1 2 2 2 2 2 1 6
2 1 2 1 2 2 2 6
2 1 2 2 1 1 1 68
2 2 1 1 2 2 1 42
2 2 1 2 1 1 2 26

Se debe escoger la señal de ruido “entre mas pequeña mejor,” puesto que se trata de reducir la variacion de temperatura existente.

info=as.matrix(datos[1:8,8:8])
signal_noise=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz))
  {
    sn[i]=-10*log((sum(matriz[i,]^2)),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise, n=8L)
## [1] -24.08240 -24.60898 -21.58362 -15.56303 -15.56303 -36.65018 -32.46499
## [8] -28.29947
media=function(matriz)
{
  prom=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    prom[i]=mean(matriz[i,])
  }
  prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media, n=8L)
## [1] 16 17 12  6  6 68 42 26

Como se observa, cada vector corresponde a una respuesta utilizada en la optimizacion en 2 pasos, a continuacion la fase de la corrida experimental determinara los efectos activos que influyen sobre las diferentes respuestas.

CALCULO DE EFECTOS ACTIVOS

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 7, factor.names = list(A=c(-1,1),B=c(-1,1),C=c(-1,1),D=c(-1,1),E=c(-1,1),F=c(-1,1),G=c(-1,1)), replications = 1)
experimento_resp=add.response(experimento, response = r_signal_noise)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")

En vista de lo anterior, se puede apreciar que en la razon señal-ruido, no existen efectos activos a un nivel de significancia de 0.05, una vez visto esto, se procede a obtener los gráficos de efectos principales para su analisis.

efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Efectos principales - Grafico")

head(efectos_principales)
A B C D E F G
- -24.46981 -27.19015 -28.24441 -21.29367 -26.60762 -20.87698 -25.52407
+ -25.23411 -22.51377 -21.45951 -28.41026 -23.09630 -28.82694 -24.17985

Ahora, teniendo los resultados y las graficas, se aprecia que el factor \(C\) es un poco mas significativo, para comfirmarlo se realizara el ANOVA para confirmar dichos valores y saber si realmente son significativos o no.

GRAFICA DE INTERACCIONES

efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main="Interacciones para el experimento -  Grafico")

head(efectos_interaccion)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- -30.36629 -26.10660 -18.57333 -22.83301 -19.82271 -29.11690 -34.55758 -24.01401 -28.27369 -19.82271 -26.10660 -24.01401 -30.38223 -21.93125 -32.47482 -27.02431 -15.56302 -18.57333 -26.19093 -24.94155 -21.93125
+:- -24.01401 -30.38223 -24.01401 -30.38223 -21.93125 -21.93125 -21.93125 -18.57333 -24.94155 -21.93125 -24.94155 -18.57333 -22.83301 -19.82271 -18.57333 -26.19093 -26.19093 -32.47482 -15.56302 -26.10660 -29.11690
-:+ -18.57333 -22.83301 -30.36629 -26.10660 -29.11690 -19.82271 -19.82271 -30.36629 -26.10660 -34.55758 -28.27369 -32.47482 -26.10660 -34.55758 -24.01401 -15.56302 -27.02431 -24.01401 -27.02431 -28.27369 -19.82271
+:+ -26.45422 -20.08600 -26.45422 -20.08600 -28.53698 -28.53698 -23.09630 -26.45422 -20.08600 -23.09630 -20.08600 -24.34569 -20.08600 -23.09630 -24.34569 -30.62958 -30.62958 -24.34569 -30.62958 -20.08600 -28.53698

El siguiente paso es hacer el ANOVA del modelo en cuestion.

modelo_sr=lm(r_signal_noise~(A+B+C+D+E+F+G),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## A            1  92.07   92.07   0.728  0.550
## B            1   1.12    1.12   0.009  0.940
## C            1  50.48   50.48   0.399  0.641
## D            1  16.32   16.32   0.129  0.780
## E            1  62.81   62.81   0.497  0.609
## G            1  43.74   43.74   0.346  0.661
## Residuals    1 126.40  126.40

En vista de todo lo anteiror, se puede concluir que con un 95% de confianza que los factores individuales no tienen un efecto significativo en la variable de respuesta al ruido.

A continuacion se procede a analizar la respuesta media del proceso, con el fin de obtener un mejor analisis.

Entonces para continuar, se eligen los efectos activos que lleven al proceso a las condiciones, no robustas, mas cercanas al valor esperado del proceso.

library(FrF2)
experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main="Grafico de Daniel para la respueta media del proceso")

En base a todo lo anterior, se puede conclur que los efectos no son significativo, no hay interacciones activas en el proceso en términos de la media, pero, para complementar, se procede a realizar las demás gráficas.

 graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Efectos principales para el valor nominal - Grafico")

head(graf_efectos_individuales_media)
A B C D E F G
- 25.50 33.00 35.50 16.50 24.00 13.50 28.00
+ 22.75 15.25 12.75 31.75 24.25 34.75 20.25 
interac_media=IAPlot(experimento_media,main="Grafica de interacciones para el valor nominal esperado")

head(interac_media)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- 42.0 37.0 9.0 14.0 11.0 40.0 55.0 24.0 29.0 11.0 37.0 24.0 34.0 16.0 47.0 27.0 6.0 9.0 21.0 19.0 16.0
+:- 24.0 34.0 24.0 34.0 16.0 16.0 16.0 9.0 19.0 16.0 19.0 9.0 14.0 11.0 9.0 21.0 21.0 47.0 6.0 37.0 40.0
-:+ 9.0 14.0 42.0 37.0 40.0 11.0 11.0 42.0 37.0 55.0 29.0 47.0 37.0 55.0 24.0 6.0 27.0 24.0 27.0 29.0 11.0
+:+ 21.5 11.5 21.5 11.5 29.5 29.5 14.5 21.5 11.5 14.5 11.5 16.5 11.5 14.5 16.5 42.5 42.5 16.5 42.5 11.5 29.5

1.1.3 INCISO C

Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.

Ya que los efectos no son significativos, y la combinacion actual presenta uno de los menores porcentajes de lozas defectuosas, la combinacion adecuada mas posible seria: cal en 5%, la granularidad del aditivo fina, el contenido de algamatolite en 53%, el tipo barato de algamatolite, 1299 kg de carga, 4% contenido de reciclado y un 0% de contenido de fedespato.

1.1.4 INCISO D

¿Cuál es la proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?

La corrida 4 de la tabla es la combinacion actual proporcionada al principio del ejercicio (1,2,2,2,2,2,1), el porcentaje de lozas con defectos es de 6 de cada 100 lozas

1.1.5 INCISO E

Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

6% es la proporción de loza defectuosa actual(anteiror), debido a que pertenece a la combinación en la corrida 5, y la proporción de loza defectuosa esperada en el nuevo tratamiento es de 6% ya que es la perteneciente a la corrida 4, entonces no existen diferencias, con ambos tratamientos se tiene el mismo porcentaje de defectos.

Ademas, en la tabla se aprecia que es la cantidad menor entre las posibles opciones, por eso se dice que no existe significancia, y que es importante analizar los cambios que los factores presenten al hacer cambios en los niveles.

En conclusion; no importa cual de las dos proporciones, al final, dará los mismos defectos.

BIBLIOGRAFIA

Pulido, H. G., & Vara Salazar, R. de la. (2012). Analisis y diseño de experimentos (3rd ed.). McGraw Hill.