Objetivo

Calcular densidad y probabilidades de cualquier distribuciones Binomial, Poisson Hipergeométrica Normal, Normal Estándar y T Student

Descripción

Calcular densidad y probabilidades de las distribuciones con variables continuas continuas Binomial, Poisson Hipergeométrica con variables discretas y Normal, Normal Estándar, T Student con variables continuas continuas

Desarrollo

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Binomial

¿Cuál es el valor de x = 5, cuando la probabilidad de éxito es de 60% de una distribución binomial que tiene 10 observaciones?

dens <- dbinom(x = 5, size = 10, prob = 0.60)
dens
## [1] 0.2006581
plotDist('binom', params=list( 10, .60))

¿Cuál es el valor de x = 7, cuando la probabilidad de éxito es de 60% de una distribución binomial que tiene 10 observaciones?

dens <- dbinom(x = 7, size = 10, prob = 0.60)
dens
## [1] 0.2149908
plotDist('binom', params=list( 10, .60))

¿Cuál es el valor de x = 6, cuando la probabilidad de éxito es de 40% de una distribución binomial que tiene 12 observaciones?

dens <- dbinom(x = 6, size = 12, prob = 0.40)
dens
## [1] 0.1765791
plotDist('binom', params=list( 12, .40))

La probabilidad de que una persona de en el blanco con un arco es del 0.25% (éxito).

¿Cuál es la probabilidad de que haciendo 10 intentos le atine al tercer intento x = 3

dens <- dbinom(x=3, size = 10, prob = 0.25)
dens
## [1] 0.2502823
plotDist('binom', kind = "cdf", params=list( 10, .25))

¿Cuál es la probabilidad de que haciendo 10 intentos le atine cuando mucho a tres o le atine máximo en tres ocasiones? \(x \le 3\)

prob <- pbinom(q = 3, size = 10, prob = 0.25)
prob
## [1] 0.7758751
plotDist('binom', kind = "cdf", params=list( 10, .25))

¿Cuál es la probabilidad de que haciendo 10 intentos le atine cuando menos a 4 ocasiones? \(x \ge 4\)

prob <- pbinom(q = 4, size = 10, prob = 0.25, lower.tail = FALSE)
prob
## [1] 0.07812691
plotDist('binom', params=list( 10, .25))

Poisson

¿Cuál es el valor de la densidad de x=2 en una distribución de Poisson cuando la media es igual a 4?

dens <- dpois(x = 2, lambda = 4)
dens
## [1] 0.1465251
plotDist(dist = "pois", kind = "density", params=list(4))

¿Cuál es el valor de la densidad de x=5 en una distribución de Poisson cuando la media es igual a 4?

dens <- dpois(x = 5, lambda = 4)
dens
## [1] 0.1562935
plotDist(dist = "pois", kind = "density", params=list(4))

¿Cuál es el valor de la probabilidad acumulada \(x \le5\) en una distribución de Poisson cuando la media (lambda \(\lambda\)) es igual a 4?

prob <- ppois(q = 5, lambda = 4)
prob
## [1] 0.7851304
plotDist(dist = "pois", kind = "cdf", params=list(4))

¿Cuál es el valor de la probabilidad acumulada \(x \le7\) en una distribución de Poisson cuando la media (lambda \(\lambda\)) es igual a 4?

prob <- ppois(q = 7, lambda = 4)
prob
## [1] 0.9488664
plotDist(dist = "pois", kind = "cdf", params=list(4))

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba,

  • cuatro cheques sin fondo en un día dado, \(P(x=4)\)
media <- 6
dpois(x = 4, lambda = media)
## [1] 0.1338526
plotDist(dist = "pois", kind = "density", params = media)

  • 10 cheques o menos sin fondos en un dia? \(P(x\le10)\)
media <- 6
ppois(q = 10, lambda = media)
## [1] 0.9573791
plotDist(dist = "pois", kind = "cdf", params = media)

  • mas de siete cheques sin fondos en un dia? \(P(x\ge7)\)
media <- 6
ppois(q = 7, lambda = media, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.2560202
plotDist(dist = "pois", kind = "cdf", params = media)

Hipergeométrica

Diez refrigeradores de cierto tipo han sido devueltos a un distribuidor debido al a presencia de un ruido oscilante agudo cuando el refrigerador está funcionando.

Supongamos que 4 de estos 10 refrigeradores tienen compresores defectuosos y los otros 6 tienen problemas más leves.

Si se examinan al azar 5 de estos 10 refrigeradores, y se define la variable aleatoria X: “el número entre los 5 examinados que tienen un compresor defectuoso”.

La variable aleatoria es \(x={0,1,2,3.... \text{compresor defectuoso}}\)

N <- 10  # Total de refrigeradores
k <-5    # Los que se extraen
m <- 4   # Los que posiblemente están con problema de compresor
n <- N - m # Los que no tienen problemas

¿Cuál es la probabilidad de que más de uno incluyendo el uno tenga fallas de compresor? \(P(x\ge0)\)

phyper(q = 0, m = m, n = n, k = k, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.9761905
plotDist(dist = "hyper", kind = "density", params = list(m = m, n= n, k=k))

La probabilidad de que a lo mas 1 tenga fallas de compresor \(P(x\le1)\)

phyper(q = 1, m = m, n = n, k = k)
## [1] 0.2619048
plotDist(dist = "hyper", kind = "cdf", params = list(m = m, n= n, k=k))

Normal

La media de los pesos de \(500\) estudiantes de un colegio es \(70kgs\) y la desviación típica \(3kgs\). Los datos se distribuyen normalmente.

¿Cuál es la probabilidad de encontrar estudiantes que pesen entre 65 y 75 \(P(65\le x\le75)\)

media <- 70
desv <- 3
pnorm(q = 75, mean = media, sd = desv) - pnorm(q = 65, mean = media, sd = desv)
## [1] 0.9044193
plotDist(dist = "norm", mean=media, sd= desv, groups = x >=65 & x<=75, type = "h")

¿Cuál es la probabilidad de encontrar estudiantes que pesen mas de 75 kgs \(P(x\ge75)\)

pnorm(q = 75, mean = media, sd = desv, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.04779035
plotDist(dist = "norm", mean=media, sd= desv, groups = x >=75, type = "h")

¿Cuál es la probabilidad de encontrar estudiantes que pesen menos o igual a 65 \(P(x\le65)\)

pnorm(q = 65, mean = media, sd = desv)
## [1] 0.04779035
plotDist(dist = "norm", mean=media, sd= desv, groups = x<=65, type = "h")

Normal Estándar Z

Del ejercicio anterior de una distribución normal con media igual a 70 y desviación igual a 3 \(\mu=0; \sigma = 3\), convertir o transformar los valores de \(x={60, 61, 62...78, 79,80}\) a valores en \(z\) y determianar probabilidades

media <- 70
desv <- 3
# xs <- 60:80
xs <- seq(from = 60, to=80, by = 5)
#xs
zs <- (xs - media) / desv 
#zs
tabla <- data.frame(xs, zs) 
tabla
##   xs        zs
## 1 60 -3.333333
## 2 65 -1.666667
## 3 70  0.000000
## 4 75  1.666667
## 5 80  3.333333

¿Cuál es la probabilidad de encontrar personas entre 65 y 75 convertidos a valores en z?

x1 = 65; x2 = 75
z1 = (x1 - media) / desv; 
z2 = (x2 - media) / desv;
pnorm(q = z2) - pnorm(q = z1)
## [1] 0.9044193
plotDist(dist = "norm", groups = x >=z1 & x<=z2, type = "h")

¿Cuál es la probabilidad de encontrar estudiantes que pesen mas de 75 kgs \(P(x\ge75)\) valores en z

x <- 75
z <- (x - media) / desv; 
pnorm(q = z, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.04779035
plotDist(dist = "norm", groups = x >=z , type = "h")

¿Cuál es la probabilidad de encontrar estudiantes que pesen menos o igual a 65 \(P(x\le65)\) convertidos a z

x <- 65
z <- (x - media) / desv; 
pnorm(q = z)
## [1] 0.04779035
plotDist(dist = "norm", groups = x >=z , type = "h")

T Student

Cuál es el intervalo de confianza y el valor estimado de una media poblacional que esté dentro de ese intervalo a un \(90\)% de confianza con 10 grados de libertad, de una muestra t Student con media = 5, y desviación = 1.5. \(gd=10; \bar{x}=5, S=1.5\)

Los datos

media.m <- 5
desv.m <- 1.5
n <- 11
confianza <- 0.90

Tabla con los datos

tabla <- data.frame(variables = c("n", "Grados libertad", "Media muestra", "Desv.Std muestra", "Media Pob.", "Confianza"), datos = c(n, (n-1), media.m, desv.m, NA, confianza)) 
tabla
##          variables datos
## 1                n  11.0
## 2  Grados libertad  10.0
## 3    Media muestra   5.0
## 4 Desv.Std muestra   1.5
## 5       Media Pob.    NA
## 6        Confianza   0.9

Valor de t

t <- qt(p = (1 - confianza) / 2, df = n-1) # dos colas
t <- abs(t)
t
## [1] 1.812461

Intervalo de confianza

li <- media.m - t * (desv.m /sqrt(n) )
ls <- media.m + t * (desv.m /sqrt(n) )
print("intervalo")
## [1] "intervalo"
intervalo <- c(li, ls)
intervalo
## [1] 4.180284 5.819716

El intervalo de confianza con valores entre 4.1802836 y 5.8197164 con un 90% de confianza se interpreta que la media de la población debe estar en ese intervalo.

Visualizar gráfica Gauss

visualize.t(stat = c(-t, t), df = n-1, section = "tails") +
  text(0, 0.2, paste(confianza*100, "%"), col = "red") 

## integer(0)

Interpretación

Bibliografía