Tercer laboratorio: Cointegración y Causalidad.

Integrantes:

APELLIDOS	NOMBRES	CARNET	PARTICIPACIÓN
CRUZ RUIZ	LINDA STEPHANIE	CR19015	\(100\%\)
FLORES MELENDEZ	JENIFER SARAI	FM19017	\(100\%\)

1. Prueba de Raíz Unitaria de Dickey & Fuller

Propósito de la prueba

Esta prueba es utilizada para comprobar si hay existencia de estacionariedad, a traves de la determinación de raices unitacias en las series de tiempo.

Hipótesis de la prueba

Las hipotesis de esta prueba son: \[ ∆y_t=αy_(t-1)+ε_t \] \[ Ho: α=0 → (∅-1)=0 → ∅=1 \]

La hipótesis nula H0 establece que si el parámetro alfa es igual a cero, la serie toma un camino aleatorio, por lo tanto es no estacionaria.

La hipótesis alternativa H1 establece que, si el parámetro alfa es destino de cero y además es negativa, la serie será estacionaria.

Sintaxis de implementación en R

Paso 1: Carga de los datos

Paso 2: Comprobación sobre la serie temporal

Paso 3: Cargar de la librería a usar, en este caso se usó “tseries”

Paso 4: Utilización del método “Cointegración en el enfoque de Dickey & Fuller” con el código que se usó “adf.test”

Paso 4: Analización en p-valor para aceptar o rechazar la hipótesis nula

Paso 5: Conclusiones

Estadístico de prueba

\[ t ̂ _ ( α ̂ )=α ̂/SE(α ̂ ) \] En esta prueba existen dos condiciones para que una serie de tiempo sea estacionaria:

Rechazar la hipótesis nula
Que el estimador sea negativo

Criterio de decisión

El criterio de decisión para rechazar \(Ho\) se toma a partir de los resultados de los estadísticos de prueba. Si el resultado es menor que el valor crítico, entonces la hipótesis nula es rechazada y no se presenta la existencia de raíz unitaria. \[t ̂_( α ̂ )=α ̂/SE(α ̂ ) <0\] \[Cuando (p-value<0.05)\]

Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis Nula de la prueba

Si se rechaza la hipótesis nula, es decir, p-value<0.05 o estadístico de prueba<0, significa que la serie estacionaria posee variables que cointegran y permanecen juntas en el tiemrpo. Caso contrario, si no se rechaza la hipótesis, la serie no es estacionaria.

Implementación de un ejemplo

Ahora, vamos a realizar algunos test estadísticos para comprobar si la serie es estacionaria o no, y para ello, se usara una base de datos que trae el programa RStudio por defecto, sobre pasajeros mensuales de las aerolíneas internacionales en el período comprendido entre 1949 y 1960, el dataset se llama “AirPassengers”.

Al observar con “class”, se comprueba que la data “ts” es de clase “time series”, lo que significa “serie temporal”.

data(AirPassengers)

Pasajeros <- AirPassengers
class(Pasajeros)

## [1] "ts"

Los estadísticos principales son:

summary(Pasajeros)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   104.0   180.0   265.5   280.3   360.5   622.0

Se grafica la serie:

plot(Pasajeros)

A partir del grafico se puede determinar que la serie posee tendendia, heterocedasticidad y un componente estacional, y para ello se aplicaran logaritmos y diferenciando la serie.

Se descompone la serie:

plot(decompose(Pasajeros))

En este gráfico se puede observar la tendencia y el componente estacional

Aplicando la Prueba de Raíz Unitaria de Dickey & Fuller

Usando la libreria “tseries”:

library(tseries)
adf.test(diff(log(Pasajeros)), alternative="stationary", k=0)

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  diff(log(Pasajeros))
## Dickey-Fuller = -9.6003, Lag order = 0, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

Luego de aplicar los logaritmos y diferenciar la serie, ahora sí se puede determinar como estacionaria; con un p-valor de 0.01, indica que se rechaza la hipótesis nula de no estacionariedad.

Ahora, se aplica el test de PP:

pp.test(diff(log(Pasajeros), alternative="stationary"))

## 
##  Phillips-Perron Unit Root Test
## 
## data:  diff(log(Pasajeros), alternative = "stationary")
## Dickey-Fuller Z(alpha) = -93.215, Truncation lag parameter = 4, p-value
## = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

Con este test, de igual forma se obtuvo un p-valor de 0.01, por tanto,se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa, y se puede decir que la serie es estacionaria.

Por último, se realiza nuevamente el gráfico donde se descompone la serie, pero esta vez la serie transformada:

plot(decompose(diff(log(Pasajeros))))

Como se puede observar, genera un p-valor = 0.01, que indica que se rechaza la hipótesis nula. No se observa tendencia en la serie transformada

2. Cointegración en el enfoque de Soren Johansen.

Propósito de la prueba

La prueba de Soren Johansen es una herramienta ora examinar para evaluar si las variables económicas tienen tendencias comunes, se ha convertido en un método muy popular para probar la existencia de cointegración en la variables I(1) y I(0), en donde I(1) y I(0) indican integración de primer y cero orden, respectivamente.

En la tecnología de S. Johansen, es necesario analizar las series previamente con el fin de conocer si presentan o no raíces unitarias. Las series que presenten raíces unitarias se colocan en un vector autorregresivo a partir del cual se puede probar la existencia de una o mas combinaciones lineales J(U) o vectores de cointegración, como también se les denomina.

Hipótesis de la prueba.

Se plantea la Hipótesis nula (\(Ho\)) como NONE (Ninguna)

\(Ho:r=0\) No existen vectores de cointegración

\(H1:r=1\) Existe un vector de cointegración

Sintaxis de implementación en R

Paso 1: Carga de los datos

Paso 2: Cargar de la librería a usar, en este caso se usó “urca” y “car”

Paso 3: Utilización del método “Cointegración en el enfoque de Soren Johansen” para realizar la “prueba de de cointegración sin tendencia y constante”,“Prueba de la traza de cointegración con constante”, “Prueba de Johansen de la traza con tendencia”

Paso 4: Usar el código “ca.jo()”

Donde:

X: Matriz de datos a investigar para la cointegración.
type: La prueba a realizar, ya sea eigen o trace.
ecdet: Carácter, none para no interceptar en la cointegración, const por término constante en cointegración y trend para la variable de tendencia en cointegración
k: El orden de retraso de la serie (niveles) en el VAR.
spec: Determina la especificación del VECM de la serie,largo plazo o trasnsitorio, se refiere a la especificación del VECM.
temporada: Si se deben incluir variables ficticias estacionales, la frecuencia de los datos debe establecerse en consecuencia, es decir 4 para datos trimestrales.
dumvar: Matriz de variables estacionales, si se incluyen

Paso 5: Conclusiones de los resultados

Estadístico de prueba

Prueba de Eigenvalor máximo \[l_(r+1)-l_r=T/2 ln⁡〖(1-λ_(r+1))〗\]

Prueba de la traza \[l_A-l_0=-T/2 ∑_(i=r+1)^n▒log⁡〖(1-λ_(r+1))〗 \]

\(Ho:r=0\) Se rechaza \(H1:r=1\) Se acepta

Criterio de decisión

Rechace \(Ho\) cuando el valor del estadístico la traza al maximo valor propio sea mayor al valor crítico seleccionado, normalmente, el de 5%

Acepte \(Ho\) cuando el valor estadístico la traza o el maximo valor propio sea menos al valor crítico seleccionado

Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis Nula de la prueba

Si se rechaza la hipotesisi nula significa que existe 1 o más vectores de cointegración, en caso contrario , si no se rechaza esta hipótesis nula se concluye que no hay cointegración entre ningún vector

Implementación de un ejemplo

library(urca)
library(car)
load("C:/Users/Windows/Downloads/Consumo.RData")
lpib_mex<-log( Consumo$pib_mex)
lcp_mex<-log( Consumo$cp_mex)

#Se combinan las variables  en un solo objeto
ecb.consumo<-cbind (lcp_mex,lpib_mex)

#Se aplica la prueba de la traza de cointegración sin tendencia y constante

# Prueba Johasen de cointegracion de la traza
summary(ca.jo(ecb.consumo, type="trace",ecdet="none",spec=c("longrun"), K=4))

## 
## ###################### 
## # Johansen-Procedure # 
## ###################### 
## 
## Test type: trace statistic , with linear trend 
## 
## Eigenvalues (lambda):
## [1] 0.1751774 0.0169835
## 
## Values of teststatistic and critical values of test:
## 
##           test 10pct  5pct  1pct
## r <= 1 |  1.47  6.50  8.18 11.65
## r = 0  | 18.04 15.66 17.95 23.52
## 
## Eigenvectors, normalised to first column:
## (These are the cointegration relations)
## 
##             lcp_mex.l4 lpib_mex.l4
## lcp_mex.l4    1.000000    1.000000
## lpib_mex.l4  -1.280708   -1.037871
## 
## Weights W:
## (This is the loading matrix)
## 
##            lcp_mex.l4 lpib_mex.l4
## lcp_mex.d  -0.3578910 -0.08189816
## lpib_mex.d -0.1079621 -0.07962291

Aplicando la prueba de Soren Johansen

Prueba de cointegración sin tendencia y constante

library(urca)
summary(ca.jo(ecb.consumo,type ="trace",ecdet="none",spec=c("longrun"),K=4))

## 
## ###################### 
## # Johansen-Procedure # 
## ###################### 
## 
## Test type: trace statistic , with linear trend 
## 
## Eigenvalues (lambda):
## [1] 0.1751774 0.0169835
## 
## Values of teststatistic and critical values of test:
## 
##           test 10pct  5pct  1pct
## r <= 1 |  1.47  6.50  8.18 11.65
## r = 0  | 18.04 15.66 17.95 23.52
## 
## Eigenvectors, normalised to first column:
## (These are the cointegration relations)
## 
##             lcp_mex.l4 lpib_mex.l4
## lcp_mex.l4    1.000000    1.000000
## lpib_mex.l4  -1.280708   -1.037871
## 
## Weights W:
## (This is the loading matrix)
## 
##            lcp_mex.l4 lpib_mex.l4
## lcp_mex.d  -0.3578910 -0.08189816
## lpib_mex.d -0.1079621 -0.07962291

En la primera hipótesis no se rechaza la hipótesis alternativa de cointegración, el estadístico es mayor al valor crítico del 10%.

En la segunda hipotesis se conlcuye que existe un vector de cointegración y se representa por (1,-1.28)

Prueba de la traza de cointegración con constante

library(urca)
summary(ca.jo(ecb.consumo,type ="trace",ecdet="const",spec=c("longrun"),K=4))

## 
## ###################### 
## # Johansen-Procedure # 
## ###################### 
## 
## Test type: trace statistic , without linear trend and constant in cointegration 
## 
## Eigenvalues (lambda):
## [1] 2.017097e-01 1.265562e-01 5.440093e-15
## 
## Values of teststatistic and critical values of test:
## 
##           test 10pct  5pct  1pct
## r <= 1 | 11.64  7.52  9.24 12.97
## r = 0  | 31.01 17.85 19.96 24.60
## 
## Eigenvectors, normalised to first column:
## (These are the cointegration relations)
## 
##             lcp_mex.l4 lpib_mex.l4  constant
## lcp_mex.l4    1.000000    1.000000  1.000000
## lpib_mex.l4  -1.255645   -1.414691 -1.064081
## constant      4.557479    7.198639  1.483342
## 
## Weights W:
## (This is the loading matrix)
## 
##            lcp_mex.l4 lpib_mex.l4      constant
## lcp_mex.d  -0.4955292  0.05574003 -1.774483e-11
## lpib_mex.d -0.2795953  0.09201028 -6.438725e-12

En la primera hipótesis se acepta la hipótesis alternativa de cointegración el estadístico es mayor al valor critico del 10%, 31.01>17.85.

En la segunda hipótesis se pueden identificar los vectores de cointegración (1, -1.25, 4.55) y (1 ,-1.41, 7.19).

Prueba de Johansen de la traza con tendencia

library(urca)
summary(ca.jo(ecb.consumo,type ="trace",ecdet="trend",spec=c("longrun"),K=4))

## 
## ###################### 
## # Johansen-Procedure # 
## ###################### 
## 
## Test type: trace statistic , with linear trend in cointegration 
## 
## Eigenvalues (lambda):
## [1] 3.007210e-01 6.711864e-02 3.632077e-18
## 
## Values of teststatistic and critical values of test:
## 
##           test 10pct  5pct  1pct
## r <= 1 |  5.98 10.49 12.25 16.26
## r = 0  | 36.74 22.76 25.32 30.45
## 
## Eigenvectors, normalised to first column:
## (These are the cointegration relations)
## 
##               lcp_mex.l4  lpib_mex.l4     trend.l4
## lcp_mex.l4   1.000000000  1.000000000  1.000000000
## lpib_mex.l4 -2.613552539 -0.740358526 -1.944486294
## trend.l4     0.008212396 -0.002968024  0.007611815
## 
## Weights W:
## (This is the loading matrix)
## 
##             lcp_mex.l4 lpib_mex.l4      trend.l4
## lcp_mex.d  -0.10989875  -0.3329111 -2.471382e-12
## lpib_mex.d  0.03206499  -0.2557477 -4.370999e-13

Concluimos que el vector de co-integración es (1 -2.61 0.008).

Bibliografía

Econometría aplicada utilizando R. Coordinado por Luis Quintana Romero y Miguel Ángel Mendoza González. Portada: D. G. Rocío Borrayo Primera edición, marzo 2016. Recuperado de: http://saree.com.mx/econometriaR/sites/default/files/Ebook_econometriaR.pdf
Chamberlain, Gary. 1982. “The General Equivalence of Granger and Sims Causality.” Econometrica: Journal of the Econometric Society, 569–81.
Durlauf, Steven, and Lawrence Blume. 2016. Macroeconometrics and Time Series Analysis. Springer.
Gujarati, Damodar, and Dawn Porter. 2010. “Econometrı́a (Quinta Edición).” México: Editorial Mc. Graw Hill.
Horacio Catalán. Curso internacional: construcción de escenarios económicos y economía avanzada.
Finanzaszone. Análisis de series temporales con R (II): Estacionariedad y raíces unitarias. Recuperado de: http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1870-66222016000100073

Tercer laboratorio

4/12/2021

Tercer laboratorio: Cointegración y Causalidad.

Integrantes:

1. Prueba de Raíz Unitaria de Dickey & Fuller

Propósito de la prueba

Hipótesis de la prueba

Sintaxis de implementación en R

Estadístico de prueba

Criterio de decisión

Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis Nula de la prueba

Implementación de un ejemplo

Aplicando la Prueba de Raíz Unitaria de Dickey & Fuller

2. Cointegración en el enfoque de Soren Johansen.

Propósito de la prueba

Hipótesis de la prueba.

Sintaxis de implementación en R

Estadístico de prueba

Criterio de decisión

Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis Nula de la prueba

Implementación de un ejemplo

Aplicando la prueba de Soren Johansen

Bibliografía