Exame 2 - Disciplina Análise de Dados

library (agricolae)
library (ggplot2)

## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 3.1.3

library (asbio)

## Loading required package: tcltk

## Warning in fun(libname, pkgname): couldn't connect to display ":0"

## Warning: loading Rplot failed

Questão 1. A resistência a tração de um determinado tipo de cimento está sendo analisada. Quatro técnicas de mistura possuem viabilidade econômica para serem utilizadas. Os seguintes dados foram coletados:

getwd()

## [1] "/Users/user/Documents"

Entrada de dados e análises preliminares:

mistura  <- read.table("dado1.txt", h=T)
mistura

##    niveis    y
## 1      T1 3129
## 2      T1 3000
## 3      T1 2865
## 4      T1 2890
## 5      T2 3200
## 6      T2 3300
## 7      T2 2975
## 8      T2 3150
## 9      T3 2800
## 10     T3 2900
## 11     T3 2985
## 12     T3 3050
## 13     T4 2600
## 14     T4 2700
## 15     T4 2600
## 16     T4 2765

boxplot (y ~ niveis, data = mistura, col="lightgray")

(a) Teste a hipótese de que as técnicas de mistura afetam a resistência a tração. Use α = 5%.

Hipóteses:
- H0: A técnica de mistura leva a média de resistência a uma tração de cimento semelhante
- H1: Existe pelo menos uma técnica de mistura que leva a uma média de resistência a tração do cimento diferente

Estimação do modelo linear

mod1  <-  aov(y ~ niveis, data = mistura)
summary (mod1)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## niveis       3 489740  163247   12.73 0.000489 ***
## Residuals   12 153908   12826                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Como Pr(>F) < 0,05, rejeita-se H0 concluímoa que as técnicas de mistura afetam a resistência na tração do cimento.

(b) Use o teste da diferença mínima significativa de Fisher com correção de bonferroni para fazer comparações entre os pares de médias.

test1 = LSD.test (mod1, "niveis", p.adj="bon", console=TRUE)

## 
## Study: mod1 ~ "niveis"
## 
## LSD t Test for y 
## P value adjustment method: bonferroni 
## 
## Mean Square Error:  12825.69 
## 
## niveis,  means and individual ( 95 %) CI
## 
##          y       std r      LCL      UCL  Min  Max
## T1 2971.00 120.55704 4 2847.624 3094.376 2865 3129
## T2 3156.25 135.97641 4 3032.874 3279.626 2975 3300
## T3 2933.75 108.27242 4 2810.374 3057.126 2800 3050
## T4 2666.25  80.97067 4 2542.874 2789.626 2600 2765
## 
## alpha: 0.05 ; Df Error: 12
## Critical Value of t: 3.152681 
## 
## Least Significant Difference 252.4675
## Means with the same letter are not significantly different.
## 
## Groups, Treatments and means
## a     T2      3156 
## a     T1      2971 
## a     T3      2934 
## b     T4      2666

bar.group(test1$groups, ylim=c(0,3800))

Médias seguidas pela mesma letra não diferem estatisticamente pelo teste de Fisher à 5% de probabilidade. Portanto, as técnicas de mistura 2, 1 e 3 podem ser consideradas semelhantes, pois levaram a valores médios de resistência à tração do cimento que não diferiram estatisticamente entre si.

(c) Construa um gráfico quantil-quantil dos resíduos do modelo, quais as conclusões sobre a validade da hipótese de normalidade?

plot (mod1, which=2) #grafico qqnorm

Observando-se o gráfico Normal qqplot, observa-se que os pontos no gráfico (resíduos do modelo) apresentam comportamento semelhante a reta; os pontos extremos 1 e 7 não afetam o comportamento da distribuição, portanto é considera-se que os resíduos do modelo seguem uma distribuição normal.

(d) Faça um gráfico dos resíduos contra os valores previstos pelo modelo e comente o resultado.

plot (mod1, which=1) #Residuos x Valores previstos

observando o gráfico dos resíduos não se pode identificar um padrão de comportamento que não seja o aleatório e nem valores muito distantes do zero para considerar um bom ajuste do modelo. Ao observar o gráfico, nota-se que os pontos estão aleatoriamente distribuídos em torno de zero, e não muito distante deste, portanto, podemos considerar um bom ajuste do modelo.

(e) Relate as conclusões finais do experimento.

Pelo que foi observado e considerando o bom ajuste do modelo, conclui-se que as técnicas de mistura levaram a diferenças na resistência de tração do cimento, sendo que as técnicas 1, 2 e 3, não diferiram estatisticamente a 5% de probabilidade pelo teste de Fisher, apresentando maiores valores para resistência a tração. Já a técnica de mistura 4, foi estatisticamente diferente das demais, apresentando menores valores de resistência na tração, conforme pode ser observado no gráfico acima (Letra b). Logo, se uma maior resistência a tração do cimento for requerida pelo usuário, deve-se optar pelas técnicas 1, 2 ou 3, em detrimento a técnica 4.

Questão 2 Um fabricante de ligas de alumınio produz refinadores de grãos em forma de lingote. A empresa produz usando em quatro fornos. Cada forno é conhecido por ter características operacionais únicas, portanto, qualquer experimento executado na fundição que envolva mais de um forno, irá considerá-los como um fator de perturbação. Os engenheiros responsáveis pelo processo de produção suspeitam que a velocidade de agitação afeta o tamanho de grãos do produto. Cada forno pode ser executado em quatro taxas de agitação diferentes. Um delineamento em blocos aleatorizados foi feito para um refinador particular e o tamanho do grão resultante é exibido no quadro abaixo:

Entrada de dados e análises preliminares:

refin  <- read.table("dado2.txt", h=T)
refin

##    rpm forno  y
## 1   r5    f1  8
## 2   r5    f2  4
## 3   r5    f3  5
## 4   r5    f4  6
## 5  r10    f1 14
## 6  r10    f2  5
## 7  r10    f3  6
## 8  r10    f4  9
## 9  r15    f1 14
## 10 r15    f2  6
## 11 r15    f3  9
## 12 r15    f4  2
## 13 r20    f1 17
## 14 r20    f2  9
## 15 r20    f3  3
## 16 r20    f4  6

# Boxplot: y x rpm
ggplot (refin, aes(x=rpm, y=y, fill=rpm)) + geom_boxplot ( )

# Boxplot: y x forno
ggplot (refin, aes(x=forno, y=y, fill=forno)) + geom_boxplot ( )

interaction.plot (refin$rpm, refin$forno, refin$y, fixed=TRUE)

(a) Há alguma evidência de que as taxas de agitação afetam o tamanho do grão?

# Estimacao do Modelo com blocagem dos fornos
mdbca  <- aov (y~rpm + forno, data = refin)
summary (mdbca)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## rpm          3  22.19    7.40   0.853 0.4995  
## forno        3 165.19   55.06   6.348 0.0133 *
## Residuals    9  78.06    8.67                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

A Análise da Variância não fornece evidências (α = 5%) de que as taxas de agitação afetam o tamanho do grão.

(b) Faça os gráficos apropriados e execute testes para verificar a normalidade e homogeneidade de variância dos resíduos. Comente os resultados.

# Analise Grafica da Normalidade e Homogeneidade das Variancias
plot (mdbca, which=1) #Residudos x Valores previstos

plot (mdbca, which=2) # grafico qqplot

# Teste de Shapiro Wilks
shapiro.test (mdbca$residuals)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  mdbca$residuals
## W = 0.9301, p-value = 0.2447

Pelo gráfico de resíduos x valores previstos, nota-se que os pontos se distribuem aleatoriamente em torno de zero e não muito distante deste, com exceção do ponto 1 que por não ter outros pontos na mesma região acima de zero acaba exercendo maior força na linha de tendência de homogeneidade de residuos, porém, ainda assim, é aceitável considerar um bom ajuste do modelo, pois apenas este ponto está destoando dos demais. O teste de Bartlett não é executado pois são necessárias pelo menos 2 observações em cada bloco.
Pelo gráfico Normal qqplot observamos que os pontos no gráfico (resíduos do modelo) tendem a seguir a reta padrão; alguns pontos como o 1 e 15 afastam-se um pouco da reta, porém não afetam o comportamento geral da distribuição, portanto é aceitável considerar que os resíduos do modelo seguem uma distribuição normal. Tal observação é comprovada pelo teste de Shapiro Wilk, onde p-valor > 0,05, logo não se rejeita H0, ou seja, os dados seguem uma distribuição normal.

(c) O que os engenheiros deveriam recomendar em relação a escolha da taxa de agitação e do forno para este refinador de grão em particular, se deseja-se um pequeno tamanho para o grão produzido?

# Teste de Aditividade de Tukey
# Testa H0: Nao ha efeito interacao
tukey.add.test (refin$y, refin$rpm, refin$forno)

## 
## Tukey's one df test for additivity 
## F = 2.9804177   Denom df = 8    p-value = 0.1225519

# Boxplot: y x rpm
ggplot (refin, aes(x=rpm, y=y, fill=rpm)) + geom_boxplot ( )

Pelas análises anteriores e pelo teste de aditividade de Tukey, comprovamosque não existi interação entre as taxas de agitação e os fornos utilizados para fabricação do refinador. Portanto, para esta questão, não é adequada a recomendação de uma combinação entre taxa de agitação e forno no qual o refinador foi produzido. Assim, a recomendação se baseará na taxa de agitação que produz menor tamanho de grão. Pela ANOVA, concluiu-se que não existe diferença significativa entre as taxas de agitação, portanto, a priori, pode-se recomendar qualquer taxa de agitação para o refinador. Porém, ao se observar o gráfico boxplot acima para Tamanho de grão (y) x Taxa de agitação (rpm), nota-se que quando a taxa de agitação é de 5 RPM, existe menor variabilidade no tamanho do grão processado, sendo, em média, composto por tamanhos pequenos.

Questão 3.Um engenheiro está tentando otimizar a produção de um processo químico. Ele avaliou que as duas variáveis mais importantes foram a temperatura e a pressão do processo. Três níveis de cada fator foram selecionados e um experimento fatorial com duas repetições foi executado.

Entrada de Dados e análises preliminares:

# Importando os dados
quimico  <-  read.table("dado3.txt", h=T)

# Verificando os dados
quimico

##       y pre temp
## 1  90.4 200  150
## 2  90.2 200  150
## 3  90.7 215  150
## 4  90.6 215  150
## 5  90.2 230  150
## 6  90.4 230  150
## 7  90.1 200  160
## 8  90.3 200  160
## 9  90.5 215  160
## 10 90.6 215  160
## 11 89.9 230  160
## 12 90.1 230  160
## 13 90.5 200  170
## 14 90.7 200  170
## 15 90.8 215  170
## 16 90.9 215  170
## 17 90.4 230  170
## 18 90.1 230  170

str (quimico)

## 'data.frame':    18 obs. of  3 variables:
##  $ y   : num  90.4 90.2 90.7 90.6 90.2 90.4 90.1 90.3 90.5 90.6 ...
##  $ pre : int  200 200 215 215 230 230 200 200 215 215 ...
##  $ temp: int  150 150 150 150 150 150 160 160 160 160 ...

summary (quimico)

##        y              pre           temp    
##  Min.   :89.90   Min.   :200   Min.   :150  
##  1st Qu.:90.20   1st Qu.:200   1st Qu.:150  
##  Median :90.40   Median :215   Median :160  
##  Mean   :90.41   Mean   :215   Mean   :160  
##  3rd Qu.:90.60   3rd Qu.:230   3rd Qu.:170  
##  Max.   :90.90   Max.   :230   Max.   :170

# Convertendo Pressão e Temperatura para Fatores
quimico$pre  <- as.factor (quimico$pre)
quimico$temp  <-  as.factor (quimico$temp)
str (quimico)

## 'data.frame':    18 obs. of  3 variables:
##  $ y   : num  90.4 90.2 90.7 90.6 90.2 90.4 90.1 90.3 90.5 90.6 ...
##  $ pre : Factor w/ 3 levels "200","215","230": 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 ...
##  $ temp: Factor w/ 3 levels "150","160","170": 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ...

# Analise Grafica dos Dados
interaction.plot (quimico$pre, quimico$temp, quimico$y,
                                  type="b" , pch =19 ,
                                  fixed=T, xlab="Pressão", 
                                  ylab="Resultado do Processo")

(a) Analise os dados do experimento e tire as conclusões apropriadas. Use α = 5%.

# Estimacao do Modelo
quimico.aov <- aov(y~pre * temp, data=quimico)

# Tabela da ANOVA
summary (quimico.aov)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## pre          2 0.7678  0.3839  21.594 0.000367 ***
## temp         2 0.3011  0.1506   8.469 0.008539 ** 
## pre:temp     4 0.0689  0.0172   0.969 0.470006    
## Residuals    9 0.1600  0.0178                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Pela ANOVA verifica-se que a interação entre os fatores Pressão e Temperatura não foi significativa a 5% de probabilidade. Somente os fatores isolados foram significativos (Pr < 0,05). Portanto, conclui-se, para este caso, que a produção do processo químico leva a resultados semelhantes independentemente da combinação de diferentes niveis de Temperatura e Pressão testados.

(b) Analise os resíduos do modelo ajustado e comente sobre a adequação do modelo.

# Verifica Variancias Homogeneas dos resíduos
plot (quimico.aov, which=1) #Residuos x Valores previstos

# Teste de Fligner Killeen: H0: Variancia dos resduos é homogenea
fligner.test (y~interaction (pre, temp), data=quimico)

## 
##  Fligner-Killeen test of homogeneity of variances
## 
## data:  y by interaction(pre, temp)
## Fligner-Killeen:med chi-squared = 14.8694, df = 8, p-value =
## 0.06174

# Verifica Normalidade dos residuos
plot (quimico.aov, which=2) #grafico qqnorm

# Teste de Shapiro Wilks: H0: os dados tem dist. aprox. normal
shapiro.test (quimico.aov$residuals)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  quimico.aov$residuals
## W = 0.8737, p-value = 0.02046

Pelo gráfico de resíduos x valores previstos, nota-se que os pontos se distribuem aleatoriamente em torno de zero e não muito distante deste, portanto é aceitável considerar um bom ajuste do modelo. Esta situação é comprovada pelo teste de Fligner Killeen que testa se a variância dos resíduos é homogênea. Como p-value > 0,05, não se rejeita H0, logo, a variãncia do residuo é considerada homogênea.
Pelo gráfico Normal qqplot observa-se que os pontos no gráfico (resíduos do modelo) não tendem a seguir a reta padrão. Ao se executar um teste para verificar a normaliade dos dados (Shapiro Wilk), observa-se que p-value < 0,05, ou seja, rejeita-se H0, logo há evidências de que os resíduos do modelo não seguem uma distribuição normal.

Adequação do Modelo: Para que a ANOVA seja corretamente empregada as seguintes pressuposições devem ser satisfeitas para proporcionar validade e nível de significância corretos aos testes de significância e estimativas eficientes dos parâmetros do modelo: Os efeitos do modelo devem ser aditivos; * Os erros experimentais devem ser normalmente distribuídos, independentes, com média zero e com variância comum;

Logo, falhas em qualquer uma das suposições da ANOVA irão alterar, de algum modo, as suas propriedades padrão. Uma maneira de contornar a situação é mudar de análise, utilizando-se de métodos não paramétricos ou análises ponderadas, ou ainda realizar uma mudança da escala de medida por uma transformação adequada. Contudo, para as análises da questão, considerou-se que tais pressuposições foram atendidas.

(c) Sob quais condições dos fatores analisados o engenheiro deveria recomendar a operação do processo?

Como observado, a ANOVA não foi significativa para a interação entre os fatores Pressão x Temperatura, portanto, podemos recomendar a operação do processo sob quaisquer combinações de Pressão x Temperatura avaliadas. Logo, o mais adequado a se fazer, por exemplo, seria utilizar uma combinação desses fatores que necessite de um menor gasto energético, o que poderia levar a uma redução no custo do processo, elevando assim a eficiência econômica do mesmo.

```

Exame 2 - Disciplina Análise de Dados

Humberto Pozzolini

27 de maio de 2015

Questão 1. A resistência a tração de um determinado tipo de cimento está sendo analisada. Quatro técnicas de mistura possuem viabilidade econômica para serem utilizadas. Os seguintes dados foram coletados:

Entrada de dados e análises preliminares:

(a) Teste a hipótese de que as técnicas de mistura afetam a resistência a tração. Use α = 5%.

Estimação do modelo linear

(b) Use o teste da diferença mínima significativa de Fisher com correção de bonferroni para fazer comparações entre os pares de médias.

(c) Construa um gráfico quantil-quantil dos resíduos do modelo, quais as conclusões sobre a validade da hipótese de normalidade?

(d) Faça um gráfico dos resíduos contra os valores previstos pelo modelo e comente o resultado.

(e) Relate as conclusões finais do experimento.

Entrada de dados e análises preliminares:

(a) Há alguma evidência de que as taxas de agitação afetam o tamanho do grão?

(b) Faça os gráficos apropriados e execute testes para verificar a normalidade e homogeneidade de variância dos resíduos. Comente os resultados.

(c) O que os engenheiros deveriam recomendar em relação a escolha da taxa de agitação e do forno para este refinador de grão em particular, se deseja-se um pequeno tamanho para o grão produzido?

Questão 3.Um engenheiro está tentando otimizar a produção de um processo químico. Ele avaliou que as duas variáveis mais importantes foram a temperatura e a pressão do processo. Três níveis de cada fator foram selecionados e um experimento fatorial com duas repetições foi executado.

Entrada de Dados e análises preliminares:

(a) Analise os dados do experimento e tire as conclusões apropriadas. Use α = 5%.

(b) Analise os resíduos do modelo ajustado e comente sobre a adequação do modelo.

(c) Sob quais condições dos fatores analisados o engenheiro deveria recomendar a operação do processo?