Identificar los valores de la función de probabilidad bajo la fórmula de distribución de Poisson.
Realizar distribuciones de probabilidad conforme a la distribución de probabilidad de * Poisson * a partir del valor medio dado en ejercicios.
Se generan las tablas de probabilidad conforme a distribución * Poisson * , se identifican los valores de probabilidad cuando la variable discreta $ x $ tenga algún valor exactamente, $ l eq $ a algún valor o $ g t $ o $ g eq $, entre otros.
Otra variable aleatoria discreta que tiene numerosas aplicaciones prácticas es la variable aleatoria de * Poisson * . Su distribución de probabilidad da un buen modelo para datos que representan el número de sucesos de un evento especificado en una unidad determinada de tiempo o espacio [ @ mendenhall_introduccion_2006 ].
Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X, el número de resultados que ocurre durante un intervalo dado o en una región específica, se llaman experimentos de Poisson. [ @ Walpole_probabilidad_2012 ]
Esta distribución, usa para estimar el número de veces que sucede un hecho determinado (ocurrencias) en un intervalo de tiempo o de espacio. Por ejemplo,
La variable de interés va desde el número promedio de automóviles que llegan (llegan) a un lavado de coches en una hora o
El número medio de reparaciones necesarias en 10 kms. de una autopista o,
El número promedio de fugas de agua en tubería en un lapso 3 meses.
El número de focos promedio que fallan en una cantidad de lote de 1000 focos.
El número medio de fugas en 100 kms. De tubería, entre otros [ @ anderson_estadistica_2008 ].
\[ f (x) = \ f rac {{e ^ {- \ m u} \ c punto \ m u ^ x}} {{x!}} \] en donde:
$ f (x) $ es la función de probabilidad para valores de $ x = 0,1,2,3 .., n $.
$ m u $ es el valor medio esperado en cierto lapso de tiempo. Algunas veces expresado como $ l ambda $
$ x $ es la variable aleatoria. Es una variable aleatoria discreta $ (x = 0, 1, 2,…) $
$ e $ valor constante, es la base de los logaritmos naturales $ 2.71728 $.
Propiedades de un evento Poisson:
Los valores de la esperanza (o media) y de la varianza para la distribución de Poisson son de la siguiente manera:
`{r mensaje = FALSO, advertencia = FALSO} biblioteca ( ggplot2 ) ’’
`{r} # fuente (“../ funciones / funciones.distribuciones.r”) # o fuente ( " https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Trabajos-en-R-AD2021/main/funciones/funciones.para.distribuciones.r " ) ’’
Se describe ejercicios en donde se encuentra la función de distribución
Suponga que desea saber el número de acabados, en un lapso de ** 15 minutos **, a la rampa del cajero automático de un banco. [ @ anderson_estadistica_2008 ]
Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automóviles es la misma en cualquiera de dos lapsos de la misma duración y si la llegada o no - llegada de un automóvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o no - llegada de un automóvil en cualquier otro lapso, se puede aplicar la función de probabilidad de Poisson.
Dichas condiciones se satisfacen y en un análisis de datos pasados encuentra que el número promedio de automóviles que llegan en un lapso de ** 15 minutos ** es igual a ** 10 ** ;
Aquí la variable aleatoria es $ x $ número de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos.
Si la administración desea saber la probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en 15 minutos, $ x = 5 $, y se obtiene:
Inicializando variables y valores
`{r} medios <- 10 x <- 5 ’’
Utilizando la función creada conforme a la fórmula
`{r} prob <- round (f.prob.poisson ( media = media , x = x ), 4 ) paste ( " La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de: " , prob ) ’’
Utilizando la función * dpois () *
`{r} prob2 <- redondo (dpois ( x = 5 , lambda = media ), 4 ) paste ( " La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de: " , prob2 ) ’’
`{r} opciones ( scipen = 999 ) # Notación normal tabla <- data.frame ( x = 0 : 25 , f.prob.x = round (dpois ( x = 0 : 25 , lambda = media ), 4 )) tabla <- cbind ( tabla , f.acum.x = ppois ( q = 0 : 25 , lambda = media )) tabla ’’
`{r} ggplot ( datos = tabla , aes ( x , f.prob.x )) + geom_point ( color = " rojo " ) + geom_line ( color = ’ azul ’ ) ’’
\[ P (x \ l eq10) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) + ... + P (x = 10) \]
`{r} yo <- 10 tabla $ f.acum [ i + 1 ] paste ( " La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: " , tabla $ f.acum [ i + 1]) ’’
`{r} prob <- redondo (ppois ( q = 10 , lambda = media ), 4 ) paste ( " La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: " , prob ) ’’
En el ejemplo anterior se usó un lapso de 15 minutos, pero también se usan otros lapsos. Suponga que desea calcular la probabilidad de una llegada en un lapso de 3 minutos.
Regla de tres:
\[ 10 = 15 \] \[? = 3 \]
Entonces, la probabilidad de $ x = 4 $ suben en un lapso de 3 minutos con $ μ = 2 $ está dada por la siguiente nueva función de probabilidad de Poisson.
\[ \ m u = 2 \]
\[ f (x) = \ f rac {{e ^ {- \ m u} \ c punto \ m u ^ x}} {{x!}} \]
Entonces ….
`{r} medios <- 2 x <- 4 ’’
`{r} prob <- redondo (dpois ( x = 4 , lambda = media ), 4 ) paste ( " La probabilidad cuando x = 4 y media igual a 2 es del: " , prob * 100 , " % " ) ’’
Regresando a la media $ m u = 10 t ext {o} l ambda = 10 $, entonces la esperanza media es igual a: $ 10 $
La varianza es igual a $ 10 $
La raiz cuadrada de $ s qrt {10} $
`{r} sqrt ( medios ) ’’
Como interpretación se vio que existe una probabilidad de que el valor de sea menor o igual a 10 de igual manera la probabilidad cuando x = 4 y media igual a 2 es del 9.02 %.
En ciertas instalaciones industriales los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es $ 0.005 $ y los accidentes son independientes entre sí [ @ walpole_probabilidad_2012 ].
¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días habrá un accidente en un día?
Se multiplica la cantidad la de dias por su probabilidad para encontrar la media. Esta media será el parámetro para la distribución * Poisson * .
`{r} n <- 400 problema <- 0,005 media <- n * prob medios de comunicación ’’
La variable aleatoria son los días desde $ x = 0 $ … hasta $ x = n $
`{r} tabla <- data.frame ( x = 0 : 10 , f.prob.x = round (dpois ( x = 0 : 10 , lambda = media ), 4 )) tabla <- cbind ( tabla , f.acum.x = ppois ( q = 0 : 10 , lambda = medios )) tabla ’’
`{r} ggplot ( datos = tabla , aes ( x , f.prob.x )) + geom_point ( color = " rojo " ) + geom_line ( color = ’ azul ’ ) ’’
$ P (x = 1) $
Recordar que el índice de la tabla empieza en el valor cero de tal forma que se necesita el siguiente valor $ x + 1 $ en la tabla:
`{r} yo <- 1 prob <- tabla $ f.prob.x [ i + 1 ] paste ( " La probabiidad del valor de x = 1 es: " , prob ) ’’
`{r} paste ( " La probabiidad del valor de x = 1 es: " , round (dpois ( x = 1 , lambda = media ), 4 )) ’’
`{r} yo <- 3 prob <- round ( tabla $ f.acum.x [ i + 1 ], 4 ) paste ( " La probabiidad del valor de x <= 3 es: " , prob ) ’’
`{r} paste ( " La probabilidad acumulada del valor de x <= 3 es: " , round (ppois ( q = 3 , lambda = media , lower.tail = TRUE ), 4 )) ’’
En este ejercicio la interpretacion que se tiene es que se busca la la probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días habrá un accidente en un día? P(x=1) en el cual podemos deducir que es 27.07 y lo que proceda de 3 dias corresponde a 85.71
Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. La falla puede causar en raras ocasiones una catástrofe a alta velocidad. Suponga que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson con $ l ambda = 5 $ [ @ walpole_probabilidad_2012 ].
`{r} medios <- 5 tabla <- data.frame ( x = 0 : 20 , f.prob.x = round (dpois ( x = 0 : 20 , lambda = media ), 8 )) tabla <- cbind ( tabla , f.acum.x = ppois ( q = 0 : 20 , lambda = media )) tabla ’’
`{r} ggplot ( datos = tabla , aes ( x , f.prob.x )) + geom_point ( color = " rojo " ) + geom_line ( color = ’ azul ’ ) ’’
\[ P (X \ l eq 3) \]
\[ P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) \]
`{r} yo <- 3 prob <- tabla $ f.acum.x [ i + 1 ] paste ( " La probabilidad del valor de x <= 3 es: " , round ( prob * 100 , 4 ), " % " ) ’’
`{r} paste ( " La probabilidad del valor de x <= 3 es: " , round (ppois ( q = 3 , lambda = media ), 4 ) * 100 , " % " ) ’’
\[ 1 - P (X \ l eq 1) \] \[ 1 - (P (X = 0) + P (x = 1)) \]
`{r} yo <- 1 problema <- 1 - tabla $ f.acum.x [ i + 1 ] paste ( " La probabilidad del valor de x> 1 es: " , round ( prob * 100 , 4 ), " % " ) ’’
`{r} prob <- ppois ( q = 1 , lambda = media , lower.tail = FALSE ) paste ( " La probabiidad del valor de x> 1 es: " , round ( prob * 100 , 4 ), " % " ) ’’
Cuál es la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una catástrofe, por lo cual la respuesta es 26.5%, ademas la probabilidad para que un auto al año sufra un accidente es del 95.05%
Lo que se vio fue la visualización de poisson que corresponde a una probabilidad discreta, al igual se realizaron ejercicios de automóviles de accidentes,etc. En donde pusimos en marcha como tablas y gráficas.
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2006. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13a Edición. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. 2007. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Octava Edición. México: Pearson Education.