1 Enunciado

En 1951 en la Ina Tile Company se tenía el problema de que el horno quemaba de forma dispareja debido a una variación de la temperatura en diferentes partes de éste, lo cual causaba defectos en las lozas que se fabricaban. Una posibilidad de solución (imposible en ese momento) era cambiar el horno por otro que no tuviera ese problema. Otra posibilidad era reformular las lozas de manera que fueran robustas al funcionamiento “disparejo” del horno. Esto último fue lo que se decidió hacer, utilizando los siguientes niveles de prueba en siete factores de la formulación de la loza (Pulido & Vara Salazar, 2012):

Factor Nivel 1 Nivel 2
A: Aditivo de cal \(A_1=\) 5% \(A_2=\) 1%
B: Granularidad del aditivo \(B_1=\) tosca (actual) \(B_2=\) fina
C: Contenido de algamatolite \(C_1=\) 43% \(C_2=\) 53% (actual)
D: Tipo de algamatolite \(D_1=\) mezcla actual \(D_2=\) mas barata
E: Cantidad de carga \(E_1=\) 1300kg \(E_2=\) 1200 kg (actual)
F: Contenido de reciclado \(F_1=\) 0% \(F_2=\) 4% (actual)
G: Contenido de feldepasto \(G_1=\) 0% \(G_2=\) 5% (actual)

Nótese que uno de los niveles de prueba para cada uno de los factores corresponde al nivel que se utilizaba hasta ese momento. Se tomó una muestra de 100 lozas en cada uno de los ocho trata mientos y se obtuvo el porcentaje de lozas defectuosas. Los resul tados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Núm. de corrida A B C D E F G % de lozas defectuosas
1 1 1 1 1 1 1 1 16
2 1 1 1 2 2 2 2 17
3 1 2 2 1 1 1 2 12
4 1 2 2 2 2 2 1 6
5 2 1 2 1 2 2 2 6
6 2 1 2 2 1 1 1 68
7 2 2 1 1 2 2 1 42
8 2 2 1 2 1 1 2 26
  1. ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?
  2. Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.
  3. Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.
  4. ¿Cuál es la proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?
  5. Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

1.1 a) ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?

Esto es debido a el funciona que este muestra, por ser consitente cuando se expone a situaciones cambiantes en el medio, en esta ocasión la temperatura es muy variable, entonces no afecta de la misma manera el horno, y esto es gracias a las condiciones ambientales las cuales no pueden ser controladas.

1.2 b) Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.

library(printr)
## Registered S3 method overwritten by 'printr':
##   method                from     
##   knit_print.data.frame rmarkdown
datos=read.table(file="dataset.txt",header = TRUE)
head(datos,n=9L)
a b c d e f g defectos
1 1 1 1 1 1 1 16
1 1 1 2 2 2 2 17
1 2 2 1 1 1 2 12
1 2 2 2 2 2 1 6
2 1 2 1 2 2 2 6
2 1 2 2 1 1 1 68
2 2 1 1 2 2 1 42
2 2 1 2 1 1 2 26

Lo que se considera es la variación de la temperatura produciendo defectos, entonces se utilizara el metodo “menor cantidad mejor”, así como se muestra a continuación:

info=as.matrix(datos[1:8,8:8])
signal_noise=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz))
  {
    sn[i]=-10*log((sum(matriz[i,]^2)),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise, n=8L)
## [1] -24.08240 -24.60898 -21.58362 -15.56303 -15.56303 -36.65018 -32.46499
## [8] -28.29947
media=function(matriz)
{
  prom=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    prom[i]=mean(matriz[i,])
  }
  prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media, n=8L)
## [1] 16 17 12  6  6 68 42 26

Luego de analizar, se observa que los vectores pertenecen a cada una de las respuestas que son utilizadas en la optimización de dos pasos, entonces lo que procede es determinar los efectos activos que influyen sobre las distintas respuestas.

Cálculo de efectos activos para cada respuesta

Respuesta razón S/R

Para determinar la respuesta del estadístico razon señal ruido, se calculan los efectos activos de la misma forma que en un experimentos factorial completo, el cual se muestra acontinuación:

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 7, factor.names = list(a=c(-1,1),b=c(-1,1),c=c(-1,1),d=c(-1,1),e=c(-1,1),f=c(-1,1),g=c(-1,1)), replications = 1)
experimento_resp=add.response(experimento, response = r_signal_noise)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")

Despues de analizar se ve que para la razón S/R no hay efectos activos con un nivel de significancia 0.05, pero procederemos a realizar otros gráficos y análisis, así como: Grafica de efectos principales, la grafica de interacciones y el ANOVA. Todo esto se realizara para poder obtener un mejor analisis y comprobar que lo obtenido anteriormente sea correcto.

Gráfica de efectos principales

efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Efectos principales para el experimento")

head(efectos_principales)
a b c d e f g
- -26.28041 -25.52407 -28.82694 -19.32966 -24.47778 -25.23411 -25.06030
+ -23.42351 -24.17985 -20.87698 -30.37426 -25.22615 -24.46981 -24.64362

Observando la grafica, la significancia de los factores es muy pequeña, por lo que será necesario realizar el ANOVA y así poder confirmar si son significativos o presentan importancia para el ejercicio. Gráfica de interacciones

efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main="Gráfica de interacciones para el experimento")

head(efectos_interaccion)
a:b a:c a:d a:e a:f a:g b:c b:d b:e b:f b:g c:d c:e c:f c:g d:e d:f d:g e:f e:g f:g
-:- -32.47482 -30.62958 -20.08600 -21.93125 -26.45422 -26.10660 -29.11690 -18.57333 -24.94155 -21.93125 -26.10660 -23.09630 -27.02431 -28.53698 -34.55758 -18.57333 -20.08600 -15.56302 -30.38223 -24.01401 -24.01401
+:- -18.57333 -27.02431 -18.57333 -27.02431 -24.01401 -24.01401 -28.53698 -20.08600 -24.01401 -28.53698 -24.01401 -15.56302 -21.93125 -21.93125 -15.56302 -30.38223 -30.38223 -34.55758 -20.08600 -26.10660 -26.10660
-:+ -20.08600 -21.93125 -32.47482 -30.62958 -26.10660 -26.45422 -21.93125 -32.47482 -26.10660 -29.11690 -24.94155 -34.55758 -30.62958 -29.11690 -23.09630 -20.08600 -18.57333 -23.09630 -18.57333 -24.94155 -26.45422
+:+ -28.27369 -19.82271 -28.27369 -19.82271 -22.83301 -22.83301 -19.82271 -28.27369 -24.34569 -19.82271 -24.34569 -26.19093 -19.82271 -19.82271 -26.19093 -30.36629 -30.36629 -26.19093 -30.36629 -24.34569 -22.83301

Posteriormente se realiza el anova del modelo.

modelo_sr=lm(r_signal_noise~(a+b+c+d+e+f+g),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## a            1  92.07   92.07   0.728  0.550
## b            1   1.12    1.12   0.009  0.940
## c            1  50.48   50.48   0.399  0.641
## d            1  16.32   16.32   0.129  0.780
## e            1  62.81   62.81   0.497  0.609
## g            1  43.74   43.74   0.346  0.661
## Residuals    1 126.40  126.40

Como se observa existe un 95% de confianza, esto quiere decir que los factores individuales no tienen un efecto significativo en la variable de respuesta razón S/R. Ademas que el ANOVA nos dice que no, procederemps a analizar la respuesta media del proceso para un mejor análisis.

Respuesta media del proceso

Sin embargo para la variable de respuesta promedio, se utilizara con el fin de llevar al proceso a un valor deseaso, se escogeran los efectos activos que lo lleven a las condiciones esperadas.

library(FrF2)
experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main="Grafico de Daniel para la respueta media del proceso")

El analisis muestra que no existen interacciones activas en el proceso de terminos de la media, pero se procedera a hacer las gráficas de efectos principales y de interacciones:

graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Grafica de efectos principales para el valor nominal esperado")

head(graf_efectos_individuales_media)
a b c d e f g
- 29.25 28.00 34.75 10.25 21.50 22.75 30.50
+ 19.00 20.25 13.50 38.00 26.75 25.50 17.75 
interac_media=IAPlot(experimento_media,main="Grafica de interacciones para el valor nominal esperado")

head(interac_media)
a:b a:c a:d a:e a:f a:g b:c b:d b:e b:f b:g c:d c:e c:f c:g d:e d:f d:g e:f e:g f:g
-:- 47.0 42.5 11.5 16.0 21.5 37.0 40.0 9.0 19.0 16.0 37.0 14.5 27.0 29.5 55.0 9.0 11.5 6.0 34.0 24.0 24.0
+:- 9.0 27.0 9.0 27.0 24.0 24.0 29.5 11.5 24.0 29.5 24.0 6.0 16.0 16.0 6.0 34.0 34.0 55.0 11.5 37.0 37.0
-:+ 11.5 16.0 47.0 42.5 37.0 21.5 16.0 47.0 37.0 40.0 19.0 55.0 42.5 40.0 14.5 11.5 9.0 14.5 9.0 19.0 21.5
+:+ 29.0 11.0 29.0 11.0 14.0 14.0 11.0 29.0 16.5 11.0 16.5 21.0 11.0 11.0 21.0 42.0 42.0 21.0 42.0 16.5 14.0

Para finalizar se va a comprobar por medio de los resultados obtenidos que los efectos no son significativos.

1.3 c) Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.

La combinación que estan utilizando es la que tiene uno de los porcentajes mas pequeño de lozas con defectos, entonces la otro combinación idonea seria el aditivo de cal con un 5%, otra sería la granularidad del aditivo fina, otro el contenido de algamatolite con un 53%, el tipo barato de algamatolite de 1299 kg de carga, el 4% contenido reciclado y por ultimo un 0% de contenido de fedespato.

1.4 d) ¿Cuál es la proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?

La combinación que se menciona presenta la corrida 4 de la tabla, con la combinación; 1,2,2,2,2,2,1 el % de lozas con defectos es la cantidad del 6%.

1.5 e) Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

Luego de analizar los resultados nos da un valor del 6% anteriormente de lozas defectuosas, y esta corresponde a la combinación de la corrida 5 y la proporción de loza con defectos esperada en el nuevo tratamiento es de 6% y corresponde a las corrida 4. Entonces esto quiere decir que no existen diferencias ya que los dos tratameintos consiguen el mismo porcentaje de defectos.

Bibliografía

Pulido, H. G., & Vara Salazar, R. de la. (2012). Analisis y diseño de Experimentos (3.ª ed.). McGraw Hill.