Unidade IV - Fatorial

Fatorial

Sendo \(n\) um número inteiro maior do que \(1\) (um), define-se fatorial de \(n\), à expressão: \[ n! = n\times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1, \text{ com } n \in \mathbb{N} \text{ e } n>1. \] Casos especiais: \(0!=1\) e \(1!=1\).

Exemplo 1: Aplicação no R com n=8. Deseja-se calcular: \[1 \times 2 \times \ldots 8\] - e o resultado é 40320.

n=8 #atribuímos um valor para n
termos=1:n #listando os termos para multiplicar
termos

## [1] 1 2 3 4 5 6 7 8

prod(termos) #multiplicando os termos

## [1] 40320

factorial(n) #utilizando o comando de fatorial - dá o mesmo resultado

## [1] 40320

Exemplo 2: Casos especiais: 0!=1, 1!=1, e não existe fatorial de número negativo!

factorial(0)

## [1] 1

factorial(1)

## [1] 1

factorial(-1)

## Warning in gamma(x + 1): NaNs produzidos

## [1] NaN

Exemplo 3: Efetuando cálculos com fatorial:

• 1. \(4! = 4.3.2.1 = 24\), donde lê-se: “fatorial de \(4\) é igual a \(24\)”;
• 2. \(7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040\), donde lê-se: “\(7\) fatorial é igual a \(5040\)”;
• 3. \(2! = 2.1=2\), donde lê-se: “fatorial de \(2\) é igual a 2”.

• E os resultados conferem com o R:

factorial(4)

## [1] 24

factorial(7)

## [1] 5040

factorial(2)

## [1] 2

Exemplo 4: Simplificando expressões com fatorial: - Desenvolve-se o fatorial até poder “cortar” o numerador com denominador; - A expressão com fatorial “vira” sem fatorial depois de simplificar.
a) \(\frac{n!}{(n-3)!} = \frac{n . (n-1) . (n-2) . (n-3)!}{(n-3)!}=n . (n-1) . (n-2)\);
b) \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!} = \frac{(n+2)(n+1)!}{(n+1)!} = n+2\);
c) \(\frac{(n+1)!-n!}{n!} = \frac{(n+1)n!-n!}{n!} = \frac{n![(n+1)-1]}{n!}=n\);
d) \(\frac{(2n+2)!}{(2n+1)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)!}{(2n+1)!} = 2n+2\).

Exemplo 5: Aplicação com vários valores de \(n\geq 3\):.

• Criando uma função para aplicar nos valores de n:

f=function(n){
a=factorial(n)/factorial(n-3)
b=factorial(n+2)/factorial(n+1)
c=(factorial(n+1)-factorial(n))/factorial(n)
d=factorial(2*n+2)/factorial(2*n+1)
c(a,b,c,d) 
}

• Cálculos para n=3:
  • 1. Temos que \(\frac{3!}{(3-3)!}=3(3-1)(3-2)=6\).
  • 2. Temos que \(\frac{(3+2)!}{(3+1)!}=3+2=5\).
  • 3. Temos que \(\frac{(3+1)!-3!}{3!}=3\).
  • 4. Temos que \(\frac{(2.3+2)!}{(2.3+1)!} =2.3+2=8\).
• E os resultados conferem com o R:

f(3)

## [1] 6 5 3 8

• Cálculos para n=10:
  • 1. Temos que \(\frac{10!}{(10-3)!}=10(10-1)(10-2)=720\).
  • 2. Temos que \(\frac{(10+2)!}{(10+1)!}=10+2=12\).
  • 3. Temos que \(\frac{(10+1)!-10!}{10!}=10\).
  • 4. Temos que \(\frac{(2.10+2)!}{(2.10+1)!} =2.10+2=22\).
• E os resultados conferem com o R:

f(10)

## [1] 720  12  10  22

• Cálculos para n=15:
  • 1. Temos que \(\frac{15!}{(15-3)!}=15(15-1)(15-2)=2730\).
  • 2. Temos que \(\frac{(15+2)!}{(15+1)!}=15+2=17\).
  • 3. Temos que \(\frac{(15+1)!-15!}{15!}=15\).
  • 4. Temos que \(\frac{(2.15+2)!}{(2.15+1)!} =2.15+2=32\).
• E os resultados conferem com o R:

f(15)

## [1] 2730   17   15   32