Dosen Pengampu : Prof.Dr. Suhartono M.kom

Jurusan Teknik Informatika

Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Mengenal Metode Numerik

Metode numerik merupakan teknik penyelesaian permsalahn yang diformulasikan secara matematis dengan menggunakan operasi hitungan (aritmatik) yaitu operasi tambah, kurang, kali, dan bagi. Metode ini digunakan karena banyak permasalahan matematis tidak dapat diselesaikan menggunakan metode analitik. Jikapun terdapat penyelesaiannya secara analitik, proses penyelesaiaannya sering kali cukup rumit dan memakan banyak waktu sehingga tidak efisien.

Terdapat keuntungan dan kerugian terkait penggunaan metode numerik.

Keuntungan dari metode ini antara lain:
1. Solusi persoalan selalu dapat diperoleh.
2. Dengan bantuan komputer, perhitungan dapat dilakukan dengan cepat serta hasil yang diperoleh dapat dibuat sedekat mungkin dengan nilai sesungguhnya.
3. Tampilan hasil perhitungan dapat disimulasikan.

Kerugian dari metode ini antara lain:
1. Nilai yang diperoleh berupa pendekatan atau hampiran.
2. Tanpa bantuan komputer, proses perhitungan akan berlangsung lama dan berulang-ulang.

Perbedaan Antara Metode Numerik dan Analitik

Perbedaan antara metode numerik dan metode analitik dapat dijelaskan sebagai berikut:

- Solusi metode numerik selalu berbentuk angka, sedangkan solusi metode analitik dapat berbentuk fungsi matematik yang selanjutnya dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka.
- Solusi dari metode numerik berupa hampiran, sedangkan metode analitik berupa solusi sejati. Kondisi ini berakibat pada nilai error metode analitik adalah 0, sedangkan metode numerik ≠ 0.
- Metode analitik cocok untuk permasalahan dengan model terbatas dan sederhana, sedangkan metode numerik cocok dengan semua jenis permasalahan.

Tahapan Penyelesaian Menggunakan Metode Numerik

Terdapat beberapa tahapan dalam menyelesaikan suatu permasalahan dengan metode numerik. Tahapan-tahapan tersebut antara lain:

Pemodelan Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam persamaan matematika. Persamaan matematika yang terbentuk dapat berupa persamaan linier, non-linier, dan sebagainya sesuai dengan persoalan yang dihadapi.

Penyederhanaan Model Semakin kompleks suatu model, semakin rumit penyelesaiaannya, sehingga model perlu disederhanakan. Model yang terlalu sederhana akan tidak cocok digunakan untuk digunakan sebagai pendekatan sistem nyata atau lingkungan yang begitu kompleks. Penyederhanaan dapat berupa asumsi sejumlah variabel yang terlibat tidak signifikan, atau asumsi kondisi reaktor (steady atau non-steady).

Formulasi Numerik Tahapan ini terdiri atas: + menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan analisis galat (error) awal. + menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.

Pemprograman Pada tahapan ini pembaca bisa memilih bahasa pemrograman yang pembaca kuasai.Pembaca hanya perlu memperhatikan bagaimana penulis membangun algoritma penyelesaian dan memtransfernya menjadi bentuk sintaks R.

Operasional Sebelum digunakan dengan data sesungguhnya, program komputer perlu dilakukan uji coba dengan data simulasi dan dievaluasi hasilnya. jika hasil keluaran diyakini sudah sesuai, baru dioperasikan dengan data yang sesungguhnya.

Evaluasi Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya, maka hasil yang diperoleh dilakukan interpretasi, meliputi analisis hasil keluaran dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empriik untuk menaksir kualitas soluasi numerik termasuk keputusan untuk menjalankan kembali progrma dengan memperoleh hasil yang lebih baik.

Error pada Numerik

Kesalahan numerik merupakan error atau kesalahan yang timbul akibat adanya proses pendekatan atau hampiran. Kesalahan numerik terjadi karena tiga hal, antara lain:

- *Kesalahan bawaan (inherent error)*, merupakan kesalahan data yang timbul akibat adanya pengkuran, human error seperti kesalahan pencatatan, atau tidak memahami hukum-hukum fisik dari data yang diukur.
- *Kesalahan pembulatan (round-off error)*, adalah kesalahan yang terjadi karena adanya pembulatan. Contoh: 3,142857143… menjadi 3,14.
- *Kesalahan pemotongan (truncation error)*, adalah kesalahan yang ditimbulkan pada saat dilakukan pengurangan jumlah angka signifikan.

DIferensial pada Metode Numerik

Diferensiasi adalah proses mencari slope atau kemiringan suatu garis pada titik yang diberikan. Secara umum proses diferensiasi dinyatakan melalui persamaan dapat kita lihat pada persamaan dibawah ini.

 f`(x) = f(x+h)-f)

Untuk dapat melakukan sebuah program menghitung turunan pertama sebuah fungsi pada RStudio aktifkan operasi turunan terlebih dahulu melalui sintaks berikut :

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

Contoh Soal

  1. Hitunglah turunan pertama y = 3x4 + 2x2 + ax
findiff(function(x)
3*(x^4) + 5*(x^2) + 5*x, x=4, h=0.05,
  method="central")
## [1] 813.12
  1. Hitunglah turunan pertama y = abx3 + 3x2
findiff(function(x)
5*5*(x^3) + 3*(x^2), x=4, h=0.05,
  method="central")
## [1] 1224.062

Referensi :

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/numericmethod.html#referensi-4