Macam-Macam Metode Terbuka
Muhammad Amirul muttaqin, Prof. Dr. Suhartono, M.kom
12/3/2021
Universitas : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
Jurusan : Teknik Informatika
Pengertian Metode Terbuka
Metode terbuka merupakan metode yang menggunakan satu atau dua tebakan awal yang tidak memerlukan rentang sejumlah nilai. Metode terbuka terdiri dari beberapa jenis yaitu metode iterasi titik tetap, metode Newton-Raphson, dan metode Secant.
Metode Iterasi Titik Tetap
Metode iterasi titik tetap merupakan metode penyelesaian persamaan non-linier dengan cara menyelesaikan setiap variabel xx yang ada dalam suatu persamaan dengan sebagian yang lain sehingga diperoleh x=g(x)x=g(x) untuk masing-masing variabel xx. Sebagai contoh, untuk menyelesaikan persamaan x+ex=0x+ex=0, maka persamaan tersebut perlu diubah menjadi x=exx=ex atau g(x)=exg(x)=ex. Secara grafis metode ini diilustrasikan seperti Gambar dibawah
FUngsi root_fpi() dapat digunakan untuk melakukan iterasi dengan argumen fungsi berupa persamaan non-linier, nilai tebakan awal, nilai toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. Berikut adalah sintaks fungsi tersebut:
root_fpi <- function(f, x0, tol=1e-7, N=100){
iter <- 1
xold <- x0
xnew <- f(xold)
while(abs(xnew-xold)>tol){
iter <- iter+1
if(iter>N){
stop("No solutions found")
}
xold <- xnew
xnew <- f(xold)
}
root <- xnew
return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}Metode Newton-Raphson
Metode Newton-Raphson merupakan metode penyelesaian persamaan non-linier dengan menggunakan pendekatan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien. titik pendekatan dinyatakan pada Persamaan (7.7).
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)(7.7)(7.7)xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
Ilustrasi metode Newton-Raphson disajikan pada Gambar dibawah
Dalam penerapannya metode Newton-Raphson dapat mengalami kendala. Kendala yang dihadapi adalah sebagai berikut:
- titik pendekatan tidak dapat digunakan jika merupakan titik ekstrim atau titik puncak. Hal ini disebabkan pada titik ini nilai f′(x)=0f′(x)=0. Untuk memahaminya perhatikan ilustasi yang disajikan pada Gambar 7.9. Untuk menatasi kendala ini biasanya titik pendekatan akan digeser.
- Sulit memperoleh penyelesaian ketika titik pendekatan berada diantara 2 titik stasioner. Untuk memahami kendala ini perhatikan Gambar 7.10. Untuk menghindarinya, penentuan titik pendekatan dapat menggunakan bantuan metode tabel.
- Turunan persamaan sering kali sulit untuk diperoleh (tidak dapat dikerjakan dengan metode analitik).
Metode Secant
Metode Secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan Newton Raphson, dimana kemiringan dua titik dinyatakan secara diskrit dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik. Persamaan yang dihasilkan disajikan pada Persamaan (7.8).
y−y0=m(x−x0)(7.8)(7.8)y−y0=m(x−x0)
Nilai mm merupakan transformasi persamaan tersebut.
mn=f(xn)−f(xn−1)xn−xn−1(7.9)(7.9)mn=f(xn)−f(xn−1)xn−xn−1
Bila y=f(x)y=f(x) dan ynyn dan xnxn diketahui, maka titik ke n+1n+1 adalah:
yn+1−yn=mn(xn+1−xn)(7.10)(7.10)yn+1−yn=mn(xn+1−xn)
Bila titik xn+1xn+1 dianggap akar persamaan maka nilai yn+1=0yn+1=0, sehingga diperoleh:
−yn=mn(xn+1−xn)(7.11)(7.11)−yn=mn(xn+1−xn)
mnxn−ynmn=xn+1(7.12)(7.12)mnxn−ynmn=xn+1
atau
xn+1=xn−yn1mn(7.13)(7.13)xn+1=xn−yn1mn
xn+1=xn−f(xn)xn−xn+1f(xn)−f(xn+1)(7.14)(7.14)xn+1=xn−f(xn)xn−xn+1f(xn)−f(xn+1)
Berdasarkan Persamaan (7.14) diketahui bahwa untuk memperoleh akar persamaan diperlukan 2 buah titik pendekatan. Dalam buku ini akan digunakan titik pendekatan kedua merupakan titik pendekatan pertama ditambah sepuluh kali nilai toleransi.
x1=x0+10∗tol(7.15)(7.15)x1=x0+10∗tol
Algoritma Metode Secant
Definisikan f(x)f(x) dan f′(x)f′(x)
Tentukan nilai toleransi ee dan iterasi masimum (N)
Tentukan tebakan awal x0x0 dan x1x1
Hitung f(x0)f(x0) dan f(x1)f(x1)
Untuk iterasi i=1i=1 s/d NN atau |f(x)|≥e|f(x)|≥e, hitung xx menggunakan Persamaan (7.14)
Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.
Fungsi root_secant() merupakan fungsi yang penulis buat untuk melakukan iterasi menggunakan metode Secant. Berikut merupakan sintaks dari fungsi tersebut:
root_secant <- function(f, x, tol=1e-7, N=100){
iter <- 0
xold <- x
fxold <- f(x)
x <- xold+10*tol
while(abs(x-xold)>tol){
iter <- iter+1
if(iter>N)
stop("No solutions found")
fx <- f(x)
xnew <- x - fx*((x-xold)/(fx-fxold))
xold <- x
fxold <- fx
x <- xnew
}
root<-xnew
return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}Secara umum metode Secant menawarkan sejumlah keuntungan dibanding metode lainnya. Pertama, seperti metode Newton-Raphson dan tidak seperti metode tertutup lainnya, metode ini tidak memerlukan rentang pencarian akar penyelesaian. Kedua, tidak seperti metode Newton-Raphson, metode ini tidak memerlukan pencarian turunan pertama persamaan non-linier secara analitik, dimana tidak dapat dilakukan otomasi pada setiap kasus.
Adapun kerugian dari metode ini adalah berpotensi menghasilkan hasil yang tidak konvergen sama seperti metode terbuka lainnya. Selain itu, kecepatan konvergensinya lebih lambat dibanding metode Newton-Raphson.