Metode Simpson

Universitas : UIN Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Metode Simpson membagi subinterval [ a , b] menjadi n subinterval, dimana n merupakan bilangan genap. Untuk setiap pasang subinterval, luas area di bawah fungsi f ( x ) ditaksir menggunakan polinomial berderajat 2.

Misalkan u < v < w merupakan titik sembarang pada suatu fungsi yang akan dicari integralnya yang terpisah sejauh h . Untuk x ∈ [ u , w] kita ingin menaksir f ( x ) menggunakan parabola yang melalui titik ( u , f ( u ) ) , ( v , f ( v ) ) , dan ( w , f ( w ) ) . Terdapat tepat 1 parabola p ( x ) yang dapat dibentuk dari ketiga titik koordinat tersebut yang ditunjukkan melalui Persamaan (9.12).

p ( x ) = f ( u ) ( x − v ) ( x − w ) ( u − v ) ( u − w ) + f ( v ) ( x − u ) ( x − w ) ( v − u ) ( v − w ) + f ( w ) ( x − u ) ( x − v ) ( w − u ) ( w − v )

(9.12)

Sebagai taksiran luas di bawah kurva y = f ( x ) digunakan ∫ u w p ( x ) d x . Hasil integrasi kurva Persamaan (9.12) disajikan pada Persamaan (9.13).

∫ u w p ( x ) d x = h 3 ( f ( u ) + 4 f ( v ) + f ( w ) )

(9.13)

Sekarang asumsikan n merupakan bilangan genap, maka kita perlu menambahkan taksiran untuk subinterval [ x 2 i , x 2 i + 2] untuk memperoleh taksiran S pada integral ∫ b a f ( x ) d x yang disajikan pada Persamaan (9.14).

S ≈ h 3 ( f 0 + 4 n − 1 ∑ i = 1 , 3 , 5. …

f i + 2 n − 2 ∑ i = 2 , 4 , 6 , …

f i + f n )

(9.14)

Persamaan (9.14) disebut sebagai kaidah Simpson 1/3 karena terdapat koefisien 1/3 pada bagian depan persamaan tersebut. Persamaan tersebut juga mudah diingat mengingat pola koefisien persamaan tersebut adalah 1 , 4 , 2 , 4 , 2 , … , 2 , 4 , 1 . Namun penggunaan kaidah 1/3 Simpson mengharuskan jumlah subinterval n genap. Kondisi tersebut jelas berbeda dengan metode trapezoida yang tidak mensyaratkan jumlah selang.

Error dari metode Simpson 1/3 dapat dihitung menggunakan Persamaan (9.14).

∫ b a h ( x ) d x = −

( b − a ) 5 180 m 4 f ( 4 ) ( ξ )

(9.15)

dimana ξ merupakan nilai antara a dan b .

Algoritma Metode Simpson

Tentukan fungsi f ( x ) dan selang integrasinya [ a , b] . Tentukan jumlah subinterval n . Hitung nilai selang subinterval h , h = b − a n . Tentukan awal integrasi x 0 = a dan akhir x n = b dan hitung nilai f ( a ) dan f ( b ) . Untuk x = 1 , 2 , … , n − 1 , jika ganjil, hitung: 4 × f ( x )

jika genap, hitung: 2 × f ( x )

Jumlahkan nilai-nilai taksiran tersebut menggunakan Persamaan (9.14).