Metode Simpson membagi subinterval
[ a , b] menjadi
n subinterval, dimana
n merupakan bilangan genap. Untuk setiap pasang subinterval, luas area di bawah fungsi
f ( x ) ditaksir menggunakan polinomial berderajat 2.
Misalkan
u < v < w merupakan titik sembarang pada suatu fungsi yang akan dicari integralnya yang terpisah sejauh
h . Untuk
x ∈ [ u , w] kita ingin menaksir
f ( x ) menggunakan parabola yang melalui titik
( u , f ( u ) ) ,
( v , f ( v ) ) , dan
( w , f ( w ) ) . Terdapat tepat 1 parabola
p ( x ) yang dapat dibentuk dari ketiga titik koordinat tersebut yang ditunjukkan melalui Persamaan (9.12).
p ( x ) = f ( u ) ( x − v ) ( x − w ) ( u − v ) ( u − w ) + f ( v ) ( x − u ) ( x − w ) ( v − u ) ( v − w ) + f ( w ) ( x − u ) ( x − v ) ( w − u ) ( w − v )
(9.12)
Sebagai taksiran luas di bawah kurva
y = f ( x ) digunakan
∫ u w p ( x ) d x . Hasil integrasi kurva Persamaan (9.12) disajikan pada Persamaan (9.13).
∫ u w p ( x ) d x = h 3 ( f ( u ) + 4 f ( v ) + f ( w ) )
(9.13)
Sekarang asumsikan
n merupakan bilangan genap, maka kita perlu menambahkan taksiran untuk subinterval
[ x 2 i , x 2 i + 2] untuk memperoleh taksiran
S pada integral
∫ b a f ( x ) d x yang disajikan pada Persamaan (9.14).
S ≈ h 3 ( f 0 + 4 n − 1 ∑ i = 1 , 3 , 5. …
f i + 2 n − 2 ∑ i = 2 , 4 , 6 , …
f i + f n )
(9.14)
Persamaan (9.14) disebut sebagai kaidah Simpson 1/3 karena terdapat koefisien 1/3 pada bagian depan persamaan tersebut. Persamaan tersebut juga mudah diingat mengingat pola koefisien persamaan tersebut adalah
1 , 4 , 2 , 4 , 2 , … , 2 , 4 , 1 . Namun penggunaan kaidah 1/3 Simpson mengharuskan jumlah subinterval
n genap. Kondisi tersebut jelas berbeda dengan metode trapezoida yang tidak mensyaratkan jumlah selang.
Error dari metode Simpson 1/3 dapat dihitung menggunakan Persamaan (9.14).
∫ b a h ( x ) d x = −
( b − a ) 5 180 m 4 f ( 4 ) ( ξ )
(9.15)
dimana
ξ merupakan nilai antara
a dan
b .
Algoritma Metode Simpson
Tentukan fungsi
f ( x ) dan selang integrasinya
[ a , b] . Tentukan jumlah subinterval
n . Hitung nilai selang subinterval
h ,
h = b − a n . Tentukan awal integrasi
x 0 = a dan akhir
x n = b dan hitung nilai
f ( a ) dan
f ( b ) . Untuk
x = 1 , 2 , … , n − 1 , jika ganjil, hitung:
4 × f ( x )
jika genap, hitung:
2 × f ( x )
Jumlahkan nilai-nilai taksiran tersebut menggunakan Persamaan (9.14).