Memahami Interpolasi Piecewise
Ummi Kunhayati
12/3/2021
Jurusan : Teknik Informatika
Dosen Pembimbing : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom
Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
Interpolasi dengan polinomial sering memberikan hasil yang tidak dapat diterima. Interpolasi polinomial yang dihasilkan dari sejumlah besar data titik biasanya berderajat tinggi. Polinomial berderajat tinggi pada umumnya bersifat osilatif (grafiknya naik turun secara cepat). Akibatnya, perubahan data pada interval kecil dapat menyebabkan fluktuasi besar pada keseluruhan interval. Karena alasan ini, biasanya interpolasi hanya menggunakan polinomial berderajat rendah.
Interpolasi piecewise menawarkan alternatif lain. Pada interpolasi piecewise, pada titik yang berbeda sepanjang kurva, nilai fungsi lebih mungkin lebih baik didekati menggunakan dua atau lebih interpolasi. Pada metode ini kita akan membuat fungsi interpolasi ditiap antara dua titik observasi.
Ada dua metode interpolasi piecewise, yaitu: interpolasi linier piecewise dan interpolasi kubik spline. interpolasi linier piecewise menggunakan persamaan linier, sehingga kurva yang terbentuk bukan kurva kontinu. Interpolasi kubik spline.menggunakan persamaan polinomial berderajat tinggi sehingga kurva yang dihasilkan lebih halus (tidak ada sudut siku pada setiap titik).
Interpolasi Linier Piecewise
Interpolasi linier piecewise merupakan interpolasi yang menggunakan pendekatan interpolasi linier. Fungsi linier akan dibentuk pada setiap dua titik observasi.
Algoritma Interpolasi Linier Piecewise
Tentukan set titik berpasangan (x,y)(x,y) yang telah diurutkan berdasarkan nilai sumbu 𝓍.
Hitung 𝒎 pada setiap dua titik berdekatan
Hitung 𝒷 pada setiap dua titik berdekatan
Definiskan fungsi linier berdasarkan nilai 𝒎 dan 𝒷
Hitung 𝐲 dengan cara substitusi nilai 𝓍 pada persamaan linier untuk melakukan interpolasi nilai 𝐲 yang ingin dicari.
Untuk melakukan ekstrapolasi dengan titik observasi diluar rentang titik diketahui, gunakan persamaan linier yang berada pada bagian ujung terdekat dengan nilai 𝓍 yang hendak dicari nilai 𝐲-nya.
Contoh:
Interpolasi Spline Kubik
Jika menggunakan interpolasi polinomial berderajat satu (sebuah garis) lebih dari beberapa interval merupakan peningkatan dari satu baris interpolasi, dan jika menggunakan polinomial berderajat tinggi juga merupakan peningkatan dari satu garis interpolasi tunggal, maka dapat disimpulkan bahwa penggunaan polinomial berderajat tinggi pada selang beberapa interval juga akan menjadi peningkatan dalam proses interpolasi. Dalam beberapa kasus, hal tersebut benar, tetapi kita masih menghadapi sudut tajam di mana masing-masing kurva interpolasi tergabung (interpolasi linier piecewise). Sudut tajam ini mencegah diferensiasi dan pada prakteknya tidak dapat digunakan untuk memodelkan beberapa fungsi di dunia nyata, seperti roller coaster span.
Interpolasi spline kubik memecahkan masalah ini. Interpolasi ini akan memberikan kurva tergabung yang halus. Hal tersebut juga membuat spline terintegrasi. Karena setiap bagian individu diwakili oleh kurva kubik (polinomial derajat 3), maka masing-masing bagian individu juga dapat dianalisis sebagai kurva kubik. Dengan asumsi ada nn titik data untuk interpolasi, kita akan mendefinisikan SiSi sebagai fungsi polinomial kubik yang mewakili kurva pada domain [xi;xi+1]\[xi;xi+1\]. Kemudian untuk nn titik observasi, ada n−1n−1 interpolasi polinomial kubik.
Algoritma Interpolasi Spline Kubik
Tentukan set titik berpasangan (x,y)(x,y).
Tentukan koefisien aiai , dimana ai=yiai=yi.
Hitung elemen diagonal bawah (lili) dan elemen diagonal atas (uiui) matriks tridiagonal , dimana u0=ln=0u0=ln=0.
Hitung elemen diagonal utama (mimi) , dimana d0=dn=1d0=dn=1.
Hitung elemen vektor VV , dimana v0=vn=0v0=vn=0.
Susunlah elemen lili, uiui, dan mimi menjadi matriks tridiagonal AA.
Deifinisikan persamaan linier
Selesaikan sistem persamaan linier, sehingga diperoleh vektor CC yang merupakan kumpulan koefisien cc.
Hitung koefisien bibi menggunakan Persamaan
Hitung koefisien didi menggunakan Persamaan
Bentuk seri persamaan polinomial menggunakan elemen koefisien aa, bb, cc, dan dd yang telah dihitung.
Untuk melakukan ekstrapolasi dengan titik observasi diluar rentang titik diketahui, gunakan persamaan polinomial yang berada pada bagian ujung terdekat dengan nilai xx yang hendak dicari nilai yy-nya.
Referensi:
https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/interpolation.html#pwinter