1. David Krackhardt recopiló datos relacionales acerca de la estructura social cognitiva de 21 miembros del personal administrativo de una empresa de fabricación de maquinaria de alta tecnología para evaluar los efectos de un programa reciente de intervención administrativa. Una de las relaciones consultada fue “¿Quién es amigo de X?”. Cada persona indicó no solo sus relaciones de amistad, sino también las relaciones que percibió entre todos los demás empleados, generando una matriz de adyacencia de \(21 \times 21\) involucrando cada persona en el grupo.

    El conjunto de datos se encuentra disponible en http://vlado.fmf.uni-lj.si/pub/networks/data/ucinet/krackfr.dat. Este archivo contiene la estructura social cognitiva completa de dimensión 21, es decir, veintiuna matrices de adyacencia de 21 × 21, donde la matriz \(j\) contiene la percepción del actor \(j\) acerca de las relaciones de amistad del sistema social en el que se encuentra inmerso, con \(j=1,\ldots,21\). Además, el archivo krackhardt21c.txt contiene información acerca de cada uno de los actores: age (edad en años cumplidos), tenure (tiempo de trabajo en la compañía en años cumplidos), level (cargo; 1: presidente, 2: vicepresidente, 3: gerente) dept (departamento de la compañía en el que trabaja; el presidente no pertenece a ningún departamento).

  1. Obtener la red de consenso cuya matriz de adyacencia \(\mathbf{Y}=[y_{i,j}]\) está dada por \(y_{i,j}=1\) si \(\frac{1}{I}\sum_{k=1}^I y_{i,j,k} > 0.5\) y \(y_{i,j}=0\) en otro caso, donde \(I\) el número de actores en el sistema, y \(y_{i,j,k}\) es la percepción \(k\) acerca de la relación entre los actores \(i\) y \(j\).
  2. Ajustar el modelo de grafos aleatorio a la red de consenso \(\mathbf{Y}\). Para ello calcule el MLE de \(\theta\), \(\hat\theta_{\text{MLE}}=\textsf{den}(\mathbf{Y})\). Evaluar la bondad de ajuste del modelo por medio de simulación Monte Carlo (con \(B=1200\) réplicas) utilizando como estadísticos de prueba la densidad, la transitividad, la asortatividad, la distancia geodésica promedio, y el grado promedio. Reportar los resultados gráficamente junto con los valores \(p\) correspondientes.
  3. Ajustar el modelo de grafos aleatorio generalizado (fijando la distribución del grado) a la red de consenso \(\mathbf{Y}\). Para ello calcule la distribución del grado de \(\mathbf{Y}\). Evaluar la bondad de ajuste del modelo como en la parte b.
  4. Ajustar el modelo de mundo pequeño con \(d=1\) a la red de consenso \(\mathbf{Y}\). Para ello utilice \(r=\text{arg max}_{i}\,d_i\) (i.e., \(r\) es el valor que maximiza la distribución del grado) y \(p=\textsf{den}(\mathbf{Y})\) (i.e., \(p\) es el MLE del modelo grados aleatorio). Evaluar la bondad de ajuste del modelo como en la parte b. ¿La red de consenso parece satisfacer la propiedad de mundo pequeño?
  5. Ajustar el modelo de fijación preferencia a la red de consenso \(\mathbf{Y}\). Para ello utilice \(m = 1\), \(\beta = 1\) (power), y \(\gamma = 0\) (zero.appeal). Evaluar la bondad de ajuste del modelo como en la parte b. ¿La red de consenso parece satisfacer la propiedad de fijación preferencial?