Taller # 6

1. Una línea de producción se basa en mediciones precisas de un algoritmo de reconocimiento de imágenes en la primera etapa del proceso. Se sabe que el algoritmo es insesgado, así que es razonable asumir que las mediciones siguen una distribución normal con media cero, \(y_i\mid\sigma^2 \stackrel{\text{iid}}{\sim} \textsf{N}(0,\sigma^2)\), para \(i=1,\ldots,n\). Algunos errores están permitidos, pero si se excede un umbral \(c\), entonces el algoritmo se debe reemplazar. Se hacen \(n = 20\) mediciones y se observa que \(\sum_{i=1}^n y_i = -2\) y \(\sum_{i=1}^n y_i^2=15\). Asumiendo que \(\sigma^2\sim\textsf{GI}(a,b)\), calcule la probabilidad posterior de que \(\sigma > c\), esto es \(\textsf{Pr}(\sigma > c\mid\boldsymbol{y})\), en las siguientes instancias:

• \(c=1\) y \(a=b=0.1\).

• \(c=1\) y \(a=b=10\).

• \(c=2\) y \(a=b=0.1\).

• \(c=2\) y \(a=b=10\).

  ¿Cuáles de los resultados, si es que hay alguno, son sensibles a la distribución previa?

2. Sea \(y_i\mid\theta \stackrel{\text{iid}}{\sim} \textsf{N}(\theta,1)\), para \(i=1,\ldots,n\). Considere una distribución previa para \(\theta\) impropia de la forma \(p(\theta) = 1\) para todo \(\theta\) (una distribución previa de esta forma se denomina impropia porque \(\int_\Theta p (\theta)\,\text{d}\theta\) diverge). Halle la distribución posterior de \(\theta\) y muestre que es una función de densidad propia.

3. Considere el modelo \(y_i\mid\sigma_i^2 \stackrel{\text{iid}}{\sim} \textsf{N}(0,\sigma_i^2)\), para \(i=1,\ldots,n\), con \(\sigma_i^2\mid\beta\sim\textsf{GI}(10,\beta)\) y \(\beta\sim\textsf{G}(1,1)\).

• Halle las distribuciones condicionales completas de \(\sigma^2_i\), para \(i=1,\ldots,n\), y \(\beta\).
• Escriba su propio código implementando un muestrador de Gibbs para obtener muestras de la distribución posterior de \((\sigma^2_1,\ldots,\sigma^2_n,\beta)\), asumiendo que \(n = 10\) y que \(y_i=i\) para todo \(i\).
• Evalue la convergencia de su algoritmo.
• Grafique la densidad posterior marginal y haga inferencia sobre cada parámetro.

4. Considere el modelo \(y_i\mid\theta,\sigma^2 \stackrel{\text{iid}}{\sim} \textsf{N}(\theta,\sigma^2)\), para \(i=1,\ldots,n\), y \(y_i\mid\theta,\delta,\sigma^2 \stackrel{\text{iid}}{\sim} \textsf{N}(\theta+\delta,\sigma^2)\), para \(i=n+1,\ldots,n+m\), donde \(\theta\sim\textsf{N}(0,100^2)\), \(\delta\sim\textsf{N}(0,100^2)\), y \(\sigma^2\sim\textsf{GI}(0.01,0.01)\).

• Dé un ejemplo de un experimento real para el que esto sería un modelo apropiado.
• Halle las distribuciones condicionales completas de \(\theta\), \(\delta\), y \(\sigma^2\).
• Simule un conjunto de datos de acuerdo con este modelo con \(n=m=50\), \(\theta=10\), \(\delta=1\), y \(\sigma^2=4\).
• Escriba su propio código implementando un muestrador de Gibbs para obtener muestras de la distribución posterior de \((\theta,\delta,\sigma^2)\).
• Evalue la convergencia de su algoritmo.
• Grafique la densidad posterior marginal y haga inferencia sobre cada parámetro. ¿Puede recuperar los valores originales de los parámetros razonablemente bien?

5. Utilice un modelo Normal semiconjugado con \(\mu_0 = 5\), \(\tau^2_0 = 2.5\), \(\nu_0 = 2\), \(\sigma_0^2 = 4\) para llevar a cabo el análisis de datos propuesto en el taller #5.