Eliminasi Gauss-Jordan

Universitas : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Eliminasi Gauss-Jordan

Berbeda dengan metode eliminasi Gauss yang telah dijelaskan pada Chapter 6.3.1, metode eliminasi Gauss-Jordan membentuk matriks menjadi bentuk reduced row echelon form. Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, dimana matriks sebelah kiri augmented matrix diubah menjadi matriks diagonal (lihat Persamaan (6.17)).

6.17

Contoh 6.3 Selesaikan sistem persamaan berikut:

Dari algoritma tersebut, kita dapat membangun sebuah fungsi menggunakan R. Fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

gauss_jordan <- function (a){
    m <- nrow (a)
    n <- ncol (a)
    piv <- 1
    
# cek elemen diagonal utama apakah bernilai nol
    for(row_curr in 1:m){
        if(piv <= n){
            i <- row_curr
            while(a[i, piv] == 0 && i < m){
                i <- i + 1
                if(i > m){
                    i <- row_curr
                    piv <- piv + 1
                    if(piv > n)
                        return (a)
                }
            }

# jika diagonal utama bernilai nol,lakukan row swapping
            if(i != row_curr)
                a <- swap_row(a, i, row_curr)
            
# proses pembentukan matriks reduced row echelon form
            piv_val <- a[row_curr , piv]
            a <- scale_row (a, row_curr , 1 / piv_val)
            for(j in 1: m){
                if(j != row_curr){
                    k <- a[j, piv]/a[row_curr, piv]
                    a <- replace_row (a, row_curr, j, -k)
                }
            }
            piv <- piv + 1
        }
    }
    return (a)
}(cars)

Dengan menggunakan fungsi gauss_jordan(), sistem persamaan linier pada Contoh 6.3:

(m <- matrix(c(1,2,1,4,3,8), nrow=2))

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    1    3
## [2,]    2    4    8

gauss_jordan(m)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    2
## [2,]    0    1    1

Contoh 6.4 Dengan menggunakan fungsi gauss_jordan(), carilah penyelesaian sistem persamaan linier pada Contoh 6.1 dan Contoh 6.2:

Jawab:

Untuk Contoh 6.1:

am <- c(1,1,2,
        1,2,1,
        1,-1,2,
        6,2,10)
m <- matrix(am, nrow=3)

gauss_jordan(m)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    0    0    1
## [2,]    0    1    0    2
## [3,]    0    0    1    3

Untuk Contoh 6.2:

m <- matrix(c(2,3,1,1,2,-5,
              -1,-2,4,1,1,3), 
            nrow=3)
gauss_jordan(m)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    0    0    1
## [2,]    0    1    0    2
## [3,]    0    0    1    3

Daftar Pusaka

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/calculation.html#assigningvar