Universitas : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Pengertian Turunan Fungsi (Diferensial)

Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel). Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi. 9.1

Kita dapat menyatakan secara formal proses diferensiasi sebagai limit Persamaan (9.1) dimana hh mendekati nol. Jadi kita ingin membuat nilai hh sekecil mungkin untuk memperoleh pendekatan terbaik terhadap nilai turunan suatu fungsi. Kita membatasi nilai hh pada sejumlah nilai yang masuk akal untuk mencegah pembagian dengan nilai yang tidak biasa. Kita juga harus memastikan f(x)f(x) dan f(x+h)f(x+h) terpisah cukup jauh untuk mencegah floating point round off error mempengaruhi proses substraksi.

Terdapat 3 buah metode untuk memperoleh turunan pertama suatu fungsi dengan menggunakan metode numerik, yaitu: metode selisih maju, metode selisih mundur, dan metode selisih tengah. Error pada ketiga metode numerik tersebut ditaksir menggunakan deret Taylor. Persamaan (9.2) dan Persamaan (9.3) menunjukkan persamaan untuk memperoleh turunan pertama dan taksiran error menggunakan metode selisih maju dan metode selisih mundur

9.2

Bagaimana menentukan h ? beberapa literatur menggunakan pendekatan machine error ϵ berdasarkan program yang digunakan untuk melakukan proses perhitungan. Metode selisih maju dan selisih mundur menggunakan pendekatan yang ditunjukkan pada Persamaan (9.5).

9.5

Untuk metode selisih tengah pendekatan nilai h menggunakan Persamaan (9.6).

9.6

Kita dapat menggunakan Persamaan (9.2) sampai Persamaan (9.4) untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

Lembar Kerja mahasiswa

contoh turunan fungsi menggunakan Rstudio

Jika ƒ(x) = 3 (x^8) − 5(x^6) + x*4 − x + 11, maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah ### Penyelesaian

findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x=4, h=0.05,
  method="central")
## [1] 424385.1

Soal 1 turunan fungsi

y = 3x^4 + 2x^2 + x maka turunan dari f(x) di x = 4 adalah

penyelesaiannya

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=4, h=0.05,
  method="central")
## [1] 785.12

Soal 2 turunan fungsi

y = x3 + 3x^2 maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

penyelesaiannya

findiff(function(x)
3*x + 3*(x^2) + x , x=3, h=0.05,
  method="central")
## [1] 22

Turunan Fungsi Konstanta dan Pangkat

Beberapa pernyataan yang menjadi dasar antara lain sebagai berikut.

Jika ƒ(x) = 5x6 − 2x4 + x3 − 8x + 3, maka turunan dari fungsi f(x) adalah

penyelesaiannya

findiff(function(x)
5*(x^6)- 2*(x^4)+ x^3 - 8*x +3 , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 17.23269

Soal 1 turunan fungsi konstanta dan pangkat

y = 3(x^4) + 2(x^2) + 2*x dengan dimisalkan dengan a= 2, x= 1, h= 0.05.

penyelesaiannya

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + 2*x, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 18.03

Soal 2 turunan fungsi konstanta dan pangkat

y = abx^3 + 3x^2 dengan dimisalkan dengan a = 1, b = 2, x= 1, h= 0.05

penyelesaiannya

findiff(function(x)
1*2*(x^3) + 3*(x^2) , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 12.005

Sifat - sifat Turunan

Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :

penyelesaian secara manual

Jika ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

g(x) = 3x5 + 2x 
ℎ(x) = 4x + 7 

g′(x) = 15x4 + 2 
ℎ′(x) = 4

ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

f ’(x) = (15x4 + 2).(4x + 7) + (3x5 + 2x).4

Lembar Kerja mahasiswa

Contoh soal sifat-sifat turunan :

Jika ƒ(x) = 2*s-1 /s^2+1, maka turunan dari f(x) adalah

penyelesaian di Rstudio

Jika ƒ(x) = 2s-1 /s^2+1 dimisalkan s=x maka, 2x-1 /x^2+1 , x=1, h=0.05 sesuai dengan sifat ke 5 (y = u/v, maka y’ = u’v-u v’/v2)

langkah-langkah yang harus di lakukan:

  1. tentukan u, u’, v, v’.
u = 2*x-1
v = x^2+1
 
u'= 2
v'= 2x
  1. masukkan kedalam sifat dan operasikan ƒ(x)’ = 2(x3+1)-(2x-1)2x/x2+1 ^2
findiff(function(x)
2*(x^3+1)-(2*x-1)*2*x/ x^2+1^2 , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 3.999987

Soal 1

jika y = (3x^4+2x2+x)(x2 + 7 ) dengan x=1 h=0.0.471; ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

g(x) = 3*x^4+2*x^2+x
    ℎ(x) = x^2 + 7 

    g′(x) = 12*x^3 + 4*x
    ℎ′(x) = 2*x

    ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

    ƒ'(x) = (12*x^3 + 4*x)*(x^2 + 7) + (3*x^4+2*x^2+x)*2*x
    
    ƒ'(1) = 16*8 + 6*2= 140
findiff(function(x)
  (3*(x^4)+2*x^2+x)*(x^2) + 7  , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 29.17261

soal 2

y= (x^3 + 3x2)(4x2 + 2)

 g(x) = x^3 + 3*x^2
    ℎ(x) = 4*(x^2) + 2 

    g′(x) = 3*(x^2) + 6*x
    ℎ′(x) = 8*x

    ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

    ƒ'(x) = 3*(x^2) + 4*(x^2) + 2  + (x^3 + 3*(x^2)*8*x)
    
    ƒ'(1) = 3*(1^2) + 4*(1^2) + 2  + (1^3 + 3*(1^2)*8*1)
findiff(function(x)
x^3 + (3*(x^2)) * (4*(x^2) + 2), x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 63.1225

Soal 3

y = 1/S^2+1 Jika y = 1/S^2+1 dimisalkan s=x maka, 1/(x^2)+1 , x=1, h=0.05

findiff(function(x)
1/(x^2)+1, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] -2.010038

Soal 4

y= 1/4(S^2)–(3S)+9

Jika y = 1/4(S2)–(3S)+9 dimisalkan s=x maka, y = 1/4(x2)–(3x)+9 , x=1, h=0.05

findiff(function(x)
1/(x^2)*4 + 3*x+9, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] -5.040151

Daftar Pustaka

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/diffinteg.html#diferensiasi-metode-titik-pusat-mengggunakan-fungsidiff

Suhartono.2015.Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9.UIN Maliki Malang: Malang.