Caso 21: Distribucion T Student

Objetivo

Utilizar funciones de una distribución T Student para calcular función de densidad, probabilidades e identificar valores de t e intervalo de confianza.

Descripción

Antes de todo, se cargan las librerías.

En el sustento teórico, se da a conocer un panorama de la importancia de la distribución T Student comparando la campana de gauss de una distribución normal estándar y distribuciones t; se identifica la fórmula de densidad t y se mencionan las funciones de paquete base de R: dt(), pt(), qt y rt() y la función xpt() y visualize.t de la librería mosaic y visualize()para graficar T Student y para el tratamiento de este tipo de distribuciones. [@tdistribution].

De igual forma el caso ofrece visualización de T Student mediante gráficos programados usando funciones de la librería ggplot2().

En el desarrollo, se resuelven e interpretan algunos ejercicios con datos bajo la distribución T Student,, se identifican ntervalos de confianza con de una distribución T Student.

Fundamento teórico

Cargar librerías

Se cargan librerías usadas a lo largo del caso.

library(dplyr)
library(mosaic)
library(ggplot2)  # Para gráficos
library(cowplot) #Imágenes en el mismo renglón
library("visualize")
options(scipen=999) # Notación normal

Cargar funciones

source ("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Trabajos-en-R-AD2021/main/funciones/funciones.para.distribuciones.r")

Fórmula para encontrar el valor de T Student

Existe la fórmula para calcular el valor de t en la distribuciones T Student.. Se usa la siguiente fórmula para transformar distribuciones normales a t.

\[ t = \frac{(\bar{x}-\mu)}{s / \sqrt{n}} = \frac{\text{diferencia a probar}}{\text{ee =error estándar}} \]

\[ \bar{x} = \text{media muestral} \\ \mu = \text{media poblacional} \\ s = \text{desviación estándar de la muestra} \\ n = \text{número de elementos de la muestra} \]

Para muestras aleatorias de tamaño \(n\) desde una población normal[@mendenhall2010].

El numerador representa la diferencia a probar y el denominador la desviación estándar de la diferencia llamado también Error Estándar.

En esta fórmula \(t\) representa al valor estadístico que se estará buscando \(\bar{x}\) es el promedio de la variable analizada de la muestra, y \(\mu\) es el promedio poblacional de la variable a estudiar.

En el denominador se tiene a \(s\) como representativo de la desviación estándar de la muestra y \(n\) el tamaño de ésta.

La distribución t es más útil para tamaños muestrales pequeños, cuando la desviación estándar de la población no se conoce o ambos en comparación con la distribución normal estándar.

Características de T Student

La T Student tiene estas características:

• Tiene forma de montículo o campana de gauss y es simétrica alrededor de \(t = 0\), igual que \(z\) la normal estándar.

• Es más variable que \(z\), con “colas más pesadas”; esto es, la curva \(t\) no aproxima al eje horizontal con la misma rapidez que \(z\). Esto es porque el estadístico \(t\) abarca dos cantidades aleatorias, \(\bar{x}\) y \(s\), en tanto que el estadístico \(z\) tiene sólo la media muestral, \(\bar{x}\). Ver curvas de T Student y Normal Estándar \(z\).

• La forma de la distribución \(t\) depende del tamaño muestral \(n\). A medida que \(n\) aumenta, la variabilidad de \(t\) disminuye porque la estimación \(s\) de \(\sigma\) está basada en más y más información.

• Cuando \(n\) sea infinitamente grande, las distribuciones \(t\) y \(z\) son idénticas. [@mendenhall2010a].

Funciones en R para T Student

Al igual que otras distribuciones como la binomial, Poisson uniforme, normal, entre otras, se disponen de las funciones dt(), pt(), qt() y rt() para el tratamiento de distribuciones T Student.

Grados de libertad

El número de grados de libertad es igual al tamaño de la muestra \(n\) (número de observaciones independientes) menos 1 [@estadística2016].

\[ gl = df = (n – 1) \\ \therefore \\ df = \text{grados de libertad} \\ n = \text{total de elementos de la muestra de t} \]

El divisor \((n-1)\) en la fórmula para la varianza muestral \(s^2 = \sum(\frac{x_i-\bar{x}}{n-1})\) se denomina número de grados de libertad (df) asociado con \(s^2\) determina la forma de la distribución \(t\). El origen del término grados de libertad es teórico y se refiere al número de desviaciones independientes elevadas al cuadrado en \(s^2\) existentes para estimar \(\sigma^2\).

Estos grados de libertad pueden cambiar para diferentes aplicaciones y como especifican la distribución t correcta a usar, es necesario recordar que hay que calcular los grados de libertad correctos para cada aplicación. [@mendenhall2010a].

Si la muestra tiene un valor de \(t\) en el rango del nivel de confianza entonces se acepta la hipótesis de lo contrario de rechaza.

Ejemplo

Calcular el valor de t.

Se aplica una prueba de autoestima a 25 personas quienes obtienen una calificación promedio de 62.1 con una desviación estándar de 5.83. Se sabe que el valor correcto de la prueba debe ser mayor a 60. Calcular el valor de t.

\[ n=25; \bar{x}=62.1; s=5.83; \mu=60 \]

n <- 25; media.m <- 62.1; desv.m <- 5.83; media.p <- 60
t <- f.devolver.t(media.muestra = media.m, media.pob = media.p, desv.muestra = desv.m, n = n)
t

## [1] 1.801029

Se tiene 1.8010 como valor de t pero ¿qué significa ese valor?.

En la gráfica siguiente significa el punto que hace la diferencia entre el color morado y amarillo en la gráfica siguiente y se interpreta para comparar con un punto crítico y evaluar evaluar intervalos e hipótesis.

xpt <- xpt(q = t , df = n-1, xlab = "t's")

xpt

## [1] 0.957861

El valor de xpt= 0.957861 es el área bajo la curva a un valor de t de 1.8010 o sea 95.78%

Usando pt() para área bajo la curva

Representa el área bajo la curva desde su parte izquierda hasta el punto 1.8010.

pt(q = 1.8010 , df = 24)

## [1] 0.9578586

Obtener el valor de t.critico con 95% de confianza

Se obtiene mediante función qt() de R el valor del punto crítico al 95% de confianza. Puede ser para cualquier nivel de confianza 0.90, 0.95, 0.99 o cualquier otro.

Al igual que en distribución normal de z se obtiene \(\alpha = 1 - 0.95\) y el valor critico sería \(\alpha/2\).

t.critico <- abs(qt(p = (1 - 0.95) / 2, df = n-1))
t.critico

## [1] 2.063899

Si el valor de t es mayor que el valor de t.critico entonces se interpreta que está dentro de un intervalo de confianza o región de aceptación en relación a la curva y se acepta una tentativa hipótesis de lo contrario cae en región de no aceptación y se rechaza. Se verán las pruebas de hipótesis en casos más adelante.

Gráfica con visualize

Se utiliza función visualize de librería previamente instalada

visualize.t(stat = c(-t.critico, t.critico), df = 24, section = "tails") +
  abline(v = t, col = "red", lwd = 3, lty = 2) +
  text(0, 0.2, expression(0.95), col = "black")

## integer(0)

Gráfica de campana normal Stándar y T Student

Se presenta una muestra pequeña de 28 valores, se generan valores de una secuencia alrededor de cero, esto se hace porque la distribución T Student, los valores de la variable aleatoria \(x\) se centran con media igual a cero y por supuesto desviación igual a \(1\).

Se construyen gráficas:

• g1 es una distribución normal estándar,

• g2 distribución t student con 27 grados de libertad,

• g3 t student con 5 grados de libertad y

Se visualizan las tres gráficas con una forma de campana o gauss, simétricas, solo que la distribución \(t\) se achata en relación a la distribución normal estándar \(z\) y se observa diferencia de dispersión con los grados de libertad en las gráficas \(t\).

# Grafica Normal Z con media igual a 0 y desv igual a 1
n <- 25
x <- seq(from = -3, to = 3, length.out = n)
media <- 0 #, round(mean(x),2)
desv <- 1 #round(sd(x), 2)
dens.z  <- dnorm(x = x, mean = media, sd = desv)
tabla <- data.frame(x = x, y = dens.z)
#tabla.normal
g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x = x, y = dens.z)) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Normal Estándar(Z)", subtitle = paste("media = ", media, "sd=", desv)) +
  labs(x = "Z's", y= "Densidad")
# Distribución T Aproximada a Distribución t con 24 grados de libertad
denst.24  <- dt(x = x, df = n - 1)
# Se vuelve a generar la tabla
tabla <- data.frame(x = x, y = denst.24)
g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x = x, y = denst.24)) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'green') +
  ggtitle("T Student", subtitle = paste(n-1, " grados de libertad")) +
  labs(x = "t's", y= "Densidad")
# Distribución T Aproximada a Distribución t con 5 grados de libertad
denst.5  <- dt(x = x, df = 5)
# Se vuelve a generar la tabla nuevamente
tabla <- data.frame(x = x, y = denst.5)
g3 <- ggplot(data = tabla, aes(x = x, y = denst.5)) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'yellow') +
  ggtitle("T Student", subtitle = paste(5, " grados de libertad")) +
  labs(x = "t's", y= "Densidad")
plot_grid(g1, g2, g3, nrow = 1, ncol = 3)

Construyendo una tabla con las tres distribuciones incluyendo los valores de \(z's; t's\) y de las densidades juntas

# Gráficas juntas con una misma tabla
tabla <- data.frame(x, dens.z, denst.24, denst.5)
g4 <- ggplot(data = tabla) 
g4 <- g4 + geom_line(aes(x= x, y = dens.z), colour = "blue") 
g4 <- g4 + geom_line(aes(x= x, y = denst.24), colour = "green") 
g4 <- g4 + geom_line(aes(x= x, y = denst.5), colour = "yellow") 
g4 <- g4 + ggtitle("Normal Stándar(Z) y T Student", subtitle = paste("media = 0, sd = 1; ", (n-1)," y 5", " grados de libertad") )
g4 <- g4 + labs(x = "Z's y t's", y= "Densidad")
g4

Intervalo de confianza t student

Fórmula

\[ IC = \bar{x} \pm t \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \]

Determinar el intervalo de confianza con el valor real de t. El valor al 95% de los datos al rededor de la media, el resto 5% se reparte a ambos lados de la curva.

\[ \alpha = (1 - 95\%) / 2 \\ \alpha = (0.05) / 2 = 0.025 \]

paste("n=", n)

## [1] "n= 25"

confianza <- 0.95
t.a <- qt(p = (1 - confianza) / 2, df = n-1) # dos colas
t.a

## [1] -2.063899

t.b <- qt(p = (1 - confianza) / 2, df = n-1, lower.tail = FALSE)
t.b

## [1] 2.063899

# Tomar cualquiera de las dos t t.a o t.b en su valor absoluto
t <- abs(t.b)

visualize.t(stat = c(-t, t), df = n-1, section = "tails") +
  text(0, 0.2, expression("95%"), col = "red") 

## integer(0)

paste("Media muestra = ", media.m)

## [1] "Media muestra =  62.1"

paste("Desv. muestra", desv.m)

## [1] "Desv. muestra 5.83"

print("Intervalo de confianza al 95%")

## [1] "Intervalo de confianza al 95%"

paste("t.critico",t.critico)

## [1] "t.critico 2.06389856162803"

li <- media.m - t * (desv.m /sqrt(n) )
ls <- media.m + t * (desv.m /sqrt(n) )
print("intervalo")

## [1] "intervalo"

intervalo <- c(li, ls)
intervalo

## [1] 59.69349 64.50651

El intervalo de confianza 59.6934943, 64.5065057 sirve para evaluar si la media de la población está en dicho intervalo de tal forma que se acepta o se rechaza una tentativa hipótesis en relación a la región o área de aceptación o si está en el intervalo de confianza.

Desarrollo

Se presentan varios ejercicios relacionados con al distribución *T Student.

Mall y clientes

Un Gerente de mall desea estimar la cantidad media que gastan los clientes que visitan el centro comercial. Una muestra de 20 clientes revela las siguientes cantidades: \(48.16, 42.22, 46.82, 51.45, 23.78, 41.86, 54.86, 37.92, 52.64, 48.59, 50.82, 46.94, 61.83, 61.69, 49.17, 61.46, 51.35, 52.68, 58.84, 43.88\)

¿Cuál es la mejor estimación de la media poblacional ?. Determine un intervalo de confianza de 95%.

Los datos

cantidades <- c(48.16, 42.22, 46.82, 51.45, 23.78, 41.86, 54.86, 37.92, 52.64, 48.59, 50.82, 46.94, 61.83, 61.69, 49.17, 61.46, 51.35, 52.68, 58.84, 43.88)
media.m <- round(mean(cantidades),4)
desv.m <- round(sd(cantidades),)
n <- length(cantidades)
confianza <- 0.95

Construir una tabla de datos

tabla <- data.frame(variables = c("n", "Grados libertad", "Media muestra", "Desv.Std muestra", "Media Pob.", "Confianza"), datos = c(n, (n-1), media.m, desv.m, NA, confianza)) 
tabla

##          variables  datos
## 1                n 20.000
## 2  Grados libertad 19.000
## 3    Media muestra 49.348
## 4 Desv.Std muestra  9.000
## 5       Media Pob.     NA
## 6        Confianza  0.950

Valor de t real

t <- qt(p = (1 - confianza) / 2, df = n-1) # dos colas
t <- abs(t)
t

## [1] 2.093024

Intervalo de confianza

li <- media.m - t * (desv.m /sqrt(n) )
ls <- media.m + t * (desv.m /sqrt(n) )
print("intervalo")

## [1] "intervalo"

intervalo <- c(li, ls)
intervalo

## [1] 45.13587 53.56013

Evaluar el intervalo

La mejor estimación de una media poblacional es que tenga un valor entre 45.1358703 y 53.5601297 con un 95% de confianza.

Visualizar gráfica Gauss

visualize.t(stat = c(-t, t), df = n-1, section = "tails") +
  text(0, 0.2, expression("95%"), col = "red")

## integer(0)

Fabricante de llantas

Un fabricante de llantas desea investigar la durabilidad de sus productos. Una muestra de \(10\) llantas para recorrer 50000 millas reveló una media muestral de \(0.32\) pulgadas de cuerda restante con una desviación estándar de \(0.09\) pulgadas. [@lind2015].

Construya un intervalo de confianza de \(95%\) para la media poblacional.

Sería razonable que el fabricante concluyera que después de 50000 millas la cantidad media poblacional de cuerda restante es de \(0.30\) pulgadas?

\[ n=10; \bar{x} = 0.32; S = 0.09; confianza = 95\%; \mu = 0.30 \]

Los datos

media.m <- 0.32
desv.m <- 0.09
n <- 10
media.p = 0.30
confianza = 0.95

Construir una tabla de datos

tabla <- data.frame(variables = c("n", "Grados libertad", "Media muestra", "Desv.Std muestra", "Media Pob.", "Confianza"), datos = c(n, (n-1), media.m, desv.m, media.p, confianza)) 
tabla

##          variables datos
## 1                n 10.00
## 2  Grados libertad  9.00
## 3    Media muestra  0.32
## 4 Desv.Std muestra  0.09
## 5       Media Pob.  0.30
## 6        Confianza  0.95

Valor de t real

t <- qt(p = (1 - confianza) / 2, df = n-1) # dos colas
t <- abs(t)
t

## [1] 2.262157

Intervalo de confianza

li <- media.m - t * (desv.m /sqrt(n) )
ls <- media.m + t * (desv.m /sqrt(n) )
print("intervalo")

## [1] "intervalo"

intervalo <- c(li, ls)
intervalo

## [1] 0.2556179 0.3843821

Evaluar el intervalo

El intervalo de confianza con valores entre 0.2556179 y 0.3843821 con un 95% de confianza se interpreta que el fabricante a un 95% de confianza puede estar seguro de que la profundidad media de las cuerdas oscila entre 0.2556179 y 0.3843821. Como el valor de la media es 0.3 es posible a un 95% que la media de la población de 0.3 esté dentro de la región de confianza.

Visualizar gráfica Gauss

visualize.t(stat = c(-t, t), df = n-1, section = "tails") +
  text(0, 0.2, expression("95%"), col = "red") 

## integer(0)

Vendedores

Se ha obtenido una muestra de \(15\) vendedores de una Editorial para estimar el valor medio de las ventas por trabajador en la Empresa. La media y la desviación de la muestra ( en miles de euros ) son \(5\) y \(1.464\), respectivamente.

Se pide deducir el intervalo de confianza al 90%

Los datos

media.m <- 5
desv.m <- 1.464
n <- 15
confianza <- 0.90

Construir una tabla de datos

tabla <- data.frame(variables = c("n", "Grados libertad", "Media muestra", "Desv.Std muestra", "Media Pob.", "Confianza"), datos = c(n, (n-1), media.m, desv.m, NA, confianza)) 
tabla

##          variables  datos
## 1                n 15.000
## 2  Grados libertad 14.000
## 3    Media muestra  5.000
## 4 Desv.Std muestra  1.464
## 5       Media Pob.     NA
## 6        Confianza  0.900

Valor de t real

t <- qt(p = (1 - confianza) / 2, df = n-1) # dos colas
t <- abs(t)
t

## [1] 1.76131

Intervalo de confianza

li <- media.m - t * (desv.m /sqrt(n) )
ls <- media.m + t * (desv.m /sqrt(n) )
print("intervalo")

## [1] "intervalo"

intervalo <- c(li, ls)
intervalo

## [1] 4.334219 5.665781

El intervalo de confianza con valores entre 4.3342192 y 5.6657808 con un 90% de confianza se interpreta que la media de la población debe estar en ese intervalo.

Visualizar gráfica Gauss

visualize.t(stat = c(-t, t), df = n-1, section = "tails") +
  text(0, 0.2, expression("90%"), col = "red") 

## integer(0)

Interpretación

En este caso vimos la distribucion t-Student la cual es es una distribucion de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una poblacion normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño y la desviacion estandar poblacional es desconocida. Por ejemplo lo visto en este caso donde se aplica una prueba de 25 personas donde se obtuvieron calificaciones promedio de 62.1 con la desviacion estandar de 5.83. Otro ejemplo que vimos fue donde un gerente de un mall queria saber la cantidad media que gastan los clientes que visitan el centro comercial, se comenzo con una muesta de 20 personas, la cual sacamos el valor de t real fue de 2.09 y el intervalo de confianza fue de 45.13. Por ultimo, el ejemplo visto fue sobre un fabricante de llantas, el cual queria sabe la durabilidad de sus productos tomamos de muestra 10 llantas para recorrer unas cuantas millas, en fin, obtuvimos que el valor de t real es de 2.26 y el intervalo de confianza de 0.25, por ultimo lo visualizamos en una grafica de Gauss.

Bibliografía

Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.

Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2010. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13th ed. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,.