Jurusan : Teknik Informatika

Dosen Pembimbing : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Iterasi adalah sebuah mekanisme untuk mengontrol abstraksi yang memungkinkan prosedur untuk menerapkan iteratif kepada semua anggota koleksi di beberapa perintah tertentu.

Metode iterasi dimulai dengan estimasi nilai akhir. Setelah menerapkan beberapa perlakuan pada nilai estimasi, hasil perlakuan selanjutnya menjadi nilai estimasi untuk iterasi berikutnya. Proses tersebut akan berlangsung secara terus-menerus hingga ambang batas dipenuhi. Nilai ambang batas dapat berupa jumlah iterasi maksimum atau selisih antara nilai estimasi baru dan estimasi semula lebih kecil dari suatu nilai toleransi yang ditetapkan.

Jumlah kuadrat merupakan metode yang sering digunakan untuk mengecek apakah selisih nilai estimasi baru terhadap estimasi lama lebih kecil dari nilai toleransi yang ditetapkan.

Metode iterasi adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh : x=g(x)

Misalkan untuk menyelesaikan persamaan x-exp(x)=0 maka maka persamaan dirubah menjadi x=exp(x) atau g(x)=exp(x).

Iterasi Jacobi

Untuk menyelesaikan matriks menggunakan metode iterasi, kita dapat mulai dengan premis terdapat matriks AA dan vektor xx dan b, sehingga Ax=bAx=b. Dengan menggunakan metode Jacobi, pertama-tama kita dapat amati bahwa terdapat matriks RR dan DD yang memiliki hubungan A=R+DA=R+D.

Contoh:

Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan iterasi Jacobi!

Berdasarkan matriks AA (matriks koefisien), kita dapat memastikan bahwa matriks tersebut memiliki nilai dominan pada elemen diagonal utama. Sebagai contoh:

Untuk mempermudah proses iterasi, kita akan menggunakan bantuan R untuk melakukan komputasi. Langkah pertama yang perlu dilakukan adalah menyiapkan matriks AA, vektor bb, dan vektor xx (nilai taksiran awal).

    (A <- matrix(c(5,2,1,2,7,3,3,4,8), 3))
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    5    2    3
## [2,]    2    7    4
## [3,]    1    3    8

Algoritma Iterasi Jacobi:

Masukkan matriks  
A dan vektor  B beserta ukurannya  n.

Hitung invers matriks  D, dimana nilai invernya merupakan matriks diagonal dari satu per diagonal utama matriks  A.

Hitung matriks  R, dimana  R merupakan selisih matriks  A dikurangi dengan matriks diagonal dengan entri dari diagonal utama matriks  A.

Tetapkan vektor  x estimasi.
Tetapkan nilai toleransi maksimum yang dapat diterima.

Lakukan iterasi 
Hitung akar jumlah kuadrat dari vektor  
xn+1 dan vektor  xn.
Jadikan nilai  xn+1

sebagai nilai taksiran  x untuk iterasi berikutnya.
Hentikan proses iterasi jika telah memenuhi syarat.

Iterasi Gauss-Seidel

Metode iterasi Gauss-Seidel melakukan dekomposisi pada matriks A menjadi matriks segitiga atas U dan matriks segitiga bawah L. Dekomposisi ini tidak sama dengan dekomposisi LU pada Chapter 6.4.1. Matriks U pada metode Gauss-Seidel merupakan elemen (entri) matriks A pada bagian atas diagonal utama, sedangkan matriks L merupakan elemen diagonal utama dan bagian bawah diagonal utama matriks A.

Elemen selain yang penulis sebutkan pada kedua matriks tersebut akan bernilai nol.

Referensi:

http://zai.lecturer.pens.ac.id/Kuliah/Workshop%20Metode%20Numerik/Teori/Metode%20Iterasi.pdf

https://rpubs.com/ummiku/841844?fbclid=IwAR3m6DJAGHduuyJUeHL7FKqTbvOmBYPzcWDFWuQ6R7lg9FRj7Vs5KOOYuTs