Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Mata Kuliah : Kalkulus

Prodi : Teknik Informatika

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Operasi Baris Elementer

Operasi Baris Elementer (OBE) merupakan suatu operasi yang diterapkan pada baris suatu matriks. OBE bisa digunakan untuk menentukan invers suatu matriks dan menyelesaikan suatu sistem persamaan linear (SPL).

Ilustrasi di atas menunjukkan tujuan pemecahan dengan OBE yaitu membentuk sistem baru atau merubah matriks kedalam salah satu bentuk yang paling sederhana agar mudah dipecahkan. Perlu diketahui dalam proses perubahan tersebut, mempunyai urutan operasi yang bermacam-macam, sehingga memungkin juga diperoleh sistem/matriks yang berbeda, namun mempunyai himpuan penyelesaian yang sama.

Terdapat tiga buah operasi dasar pada baris matriksoperasi baris elementer. Ketiga operasi ini akan menjadi dasar operasi sub-chapter selanjutnya. Ketiga operasi dasar tersebut antara lain:

1. *Row Scalling*. Mengalikan baris matriks dengan konstanta bukan nol.

2. *Row Swaping*. Menukar urutan baris pada sebuah matriks 
(contoh: menukar baris 1 dengan baris 2 dan sebaliknya).

3. *Row Replacement*. Baris matriks diganti dengan hasil penjumlahan atau pengurangan baris matriks tersebut dengan baris matriks lainnya, dimana baris matriks lainnya yang akan dijumlahkan/dikurangkan dengan matriks tersebut telah dilakukan proses row scalling. Luaran yang diperoleh pada umumnya adalah nilai nol pada baris matriks awal atau akhir.

Ketiga proses tersebut akan terjadi secara berulang, khusunya jika kita hendak mengerjakan sistem persamaan linier menggunakan algoritma eliminasi Gauss. Untuk mempermudah proses tersebut, kita dapat membuat masing-masing fungsi untuk masing-masing operasi tersebut. Algoritma fungsi-fungsi tersebut selanjutnya menjadi dasar penyusunan algoritma fungsi-fungsi eliminasi Gauss dan dekomposisi matriks yang akan dijelaskan pada chapter selanjutnya.

Fungsi row scalling pada R dapat dituliskan pada sintaks berikut:

scale_row <- function(m, row, k){
 m[row, ] <- m[row, ]*k
 return(m)
}

Berikut adalah contoh penerapannya:

scale_row <- function(m, row, k){
 m[row, ] <- m[row, ]*k
 return(m)
}
# membuat matriks A
(A <- matrix(1:15, nrow=5))
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    6   11
## [2,]    2    7   12
## [3,]    3    8   13
## [4,]    4    9   14
## [5,]    5   10   15
scale_row <- function(m, row, k){
 m[row, ] <- m[row, ]*k
 return(m)
}
# lakukan scaling pada row 2 dengan nilai 10
scale_row(m=A, row=2, 10)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    6   11
## [2,]   20   70  120
## [3,]    3    8   13
## [4,]    4    9   14
## [5,]    5   10   15

Catatan: Untuk menyimpan hasil perhitungan, simpan proses perhitungan dalam sebuah objek.

Row swapping merupakan proses yang berulang, kita perlu menyimpan terlebih dahulu baris matriks pertama kedalam sebuah objek. Baris matriks pertama selanjutnya diganti dengan baris matriks kedua, sedangkan baris matriks kedua selanjutnya akan diganti dengan baris matriks pertama yang telah terlebih dahulu disimpan dalam sebuah objek. Fungsi row swapping pada R dapat dituliskan pada sintaks berikut:

swap_row <- function(m, row1, row2){
  row_tmp <- m[row1, ]
  m[row1, ] <- m[row2, ]
  m[row2, ] <- row_tmp
  return(m)
}

Berikut merupakan contoh penerapan fungsi swap_row():

swap_row <- function(m, row1, row2){
  row_tmp <- m[row1, ]
  m[row1, ] <- m[row2, ]
  m[row2, ] <- row_tmp
  return(m)
}

# pertukarkan baris 3 dengan baris 1
swap_row(m=A, row1=3, row2=1)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    3    8   13
## [2,]    2    7   12
## [3,]    1    6   11
## [4,]    4    9   14
## [5,]    5   10   15

Pada proses row replacement, proses perhitungan dilakukan dengan melakukan penjumlahan suatu baris matriks dengan baris matriks lainnya dengan terlebih dahulu melakukan row scalling terhadap matriks lainnya. Berikut adalah fungsi replace_row() yang ditulis pada R:

replace_row <- function(m, row1, row2, k){
  m[row2, ] <- m[row2, ] + m[row1, ]*k
  return(m)
}

Berikut adalah contoh penerapan fungsi replace_row():

replace_row <- function(m, row1, row2, k){
  m[row2, ] <- m[row2, ] + m[row1, ]*k
  return(m)
}

replace_row(m=A, row1=1, row2=3, k=-3)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    6   11
## [2,]    2    7   12
## [3,]    0  -10  -20
## [4,]    4    9   14
## [5,]    5   10   15

Penutup

Pada dasarnya pemecahan Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan metode Operasi Baris Elementer (OBE) memiliki tujuan membentuk sistem persamaan linear baru yang mempunyai solusi yang sama dengan pemecahan yang lebih mudah. Kita akan terbiasa dengan metode ini jika kita mau mencobanya berkali-kali.

Catatan : Terkadang saat melakukan operasi baris elementer kita akan berhadapan dengan bentuk pecahan. Sehingga disarankan untuk menghitungnya dengan teliti, karena akan mempengaruhi langkah-langkah selanjutnya.