Apa itu Interpolasi Polinomial?

Jurusan : Teknik Informatika

Dosen Pembimbing : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Pengertian Interpolasi Polinomial.

Dalam matematika dasar pengertian interpolasi adalah perkiraan suatu nilai tengah dari suatu set nilai yang diketahui. Interpolasi dengan pengertian yang lebih luas merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitikyang tidak diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tak mungkin diperoleh persamaan analitiknya.

Interpolasi polinomial merupakan teknik interpolasi dengan mengasumsikan pola data yang kita miliki mengikuti pola polinomial baik berderajat satu (linier) maupun berderajat tinggi. Interpolasi dengan metode ini dilakukan dengan terlebih dahulu membentuk persamaan polinomial. Persamaan polinomial yang terbentuk selanjutnya digunakan untuk melakukan interpolasi dari nilai yang diketahui atau ekstrapolasi (prediksi) dari nilai diluar rentang data yang diketahui.

Rumus:

Mengevaluasi Polinomial

Untuk melakukan substitusi nilai 𝔁 pada persamaan polinomial untuk memperoleh nilai 𝒚 . Terdapat berbagai pendekatan dalam melakukan proses tersebut, mulai dari metode naive maupun metode Horner. Kedua metode akan menghasilkan hasil yang sama namun dengan proses komputasi yang berbeda. Metode naive cenderung lambat dalam proses komputasi karena jumlah proses yang dilakukan dalam sekali proses lebih banyak dari pada metode Horner.

Untuk memahami metode-metode evaluasi polinomial yang telah disebutkan tersebut, secara umum persamaan polinomial disajikan pada Persamaan (1).

dimana 𝝰 merupakan koefisien polinomial, 𝔁 merupakan variabel, dan nn merupakan indeks dan pangkat polinomial.

Pada metode naive kita melakukan evaluasi polinomial sama dengan cara kita melakukan evaluasi polinomial saat kita SMA. Nilai 𝔁 akan disubstitusikan pada masing-masing elemen persamaan polinomial. Masing-masing elemen polinomial selanjutnya dijumkahkan untuk menghitung 𝒚.

Pada R kita dapat menuliskan sebuah fungsi untuk melakukan evaluasi polinomial menggunakan metode naive tersebut. Pada fungsi tersebut, koefisien polinomial akan disimpan kedalam sebuah vektor dengan urutan pengisian mulai dari koefisien dengan pangkat 𝔁 terendah ke tertinggi.

naive_poly <- function(x, coeff){
  n <- length(x)
  y <- rep(0, n)
  
  for(i in 1:length(coeff)){
    y <- y + coeff[i]*(x^(i-1))
  }
  
  return(y)
}

Contoh

Hitung nilai y pada persamaan

f(x)=x4+3x3−15x2−19x+30, jika diketahui nilai xadalah -1, 0, dan 1!

Jawab:

Untuk dapat menghitung nilai y menggunakan fungsi naive_poly() pada persamaan tersebut dengan nilai x yang diketahui, kita perlu merubah koefisien persamaan tersebut dan nilai x yang diketahui menjadi vektor:

x<- c(-1,0,1)
coeff <- c(30,-19,-15,3,1)

Masukkan vektor-vektor yang telah terbentuk tersebut kedalam fungsi naive_poly().

naive_poly(x, coeff)

## [1] 32 30  0

Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh nilai y masing-masing sebesar 32, 30, dan 0. Hasil perhitungan tersebut dapat dicek menggunakan cara manual.

Adapun algoritma untuk mengerjakan soal-soal dari interpolasi polinom adalah sebagai berikut :

• Menentukan jumlah titik N yang diketahui.

• Memasukkan titik-titik yamg diketahui Pi=(xi,yi) untuk i=1,2,3,…..,N.

• Menyusun augment matrik dari titik-titik yang diketahui sebagai berikut :

• Menyelesaikan persamaan simultan dengan augment matriks diatas dengan menggunakan metode eliminasi gauss/jordan.

• Menyusun koefisien fungsi polynomial berdasarkan penyelesaian persamaan simultan dia atas.

• Memasukkan nilai x dari titik yang diketahui.

• Menghitung nilai y dari fungsi polynomial yang dihasilkan

• Menghitung nilai y dari fungsi polynomial

• Menghasilkan nilai (x,y)

Referensi

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/interpolation.html#poliinterpolation

https://www.dosenpendidikan.co.id/rumus-interpolasi/