1 Prueba de hipotesis

1.1 Pruebas de hipótesis sobre la media, cuando la varianza es conocida

1.1.1 Bilateral

Hipótesis Nula: \(H_{0}: \mu = \mu_{0}\)
Hipótesis Alternativa: \(H_{1}: \mu \neq \mu_{0}\)
Estadístico de Prueba: \(z_{obs} = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}\)
Región de Rechazo. Se rechaza \(H_{0}\) si \(z_{obs} < -z_{\alpha/2}\) o \(z_{obs} > z_{\alpha/2}\)

Ejercicio 1. Una empresa de capacitación por Internet ha establecido que el tiempo medio de una asesoría personalizada debe ser igual a \(\mu_{0}\) = 60 min y una desviación estándar de \(\sigma\) = 15 min. Se tomó una muestra de 144 asesorías realizadas el último mes, cuyo tiempo promedio fue de \(\overline{x}\) = 64 min.

Para un nivel de significación de 0.01, ¿el tiempo de las asesorías personalizadas se diferencia del admisible por la empresa?;

Solución

  • Identificar los valores y crear sus respectivas variables
x_barra = 64
sigma = 15
n = 144
mu_0 = 60
  • Calcular el valor de \(-z_{\frac{\alpha}{2}}\) y \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) guardar en la variable z_alfa_2
alfa = 0.01
alfa_2 = alfa/2  
z_alfa_2_I = qnorm(alfa_2)
z_alfa_2_D = abs(qnorm(alfa_2))
  • Definir el valor de z_obs
z_obs = (x_barra - mu_0)/(sigma/sqrt(n))
  • Definir la región de rechazo
r = z_obs < z_alfa_2_I | z_obs > z_alfa_2_D
  • Decisión
ifelse(r, "Se rechaza la hipótesis nula", 
          "No se rechaza la hipótesis nula")
## [1] "Se rechaza la hipótesis nula"

Determinar el p-valor de la prueba.

  • Calcular el p-valor
p_valor = 2*(1-pnorm(abs(z_obs)))
round(p_valor,3)
## [1] 0.001
  • Verificar si el p_valor es menor que \(\alpha\) para rechazar la hipótesis nula

1.1.2 Unilateral Izquierda

Hipótesis Nula: \(H_{0}: \mu = \mu_{0}\)
Hipótesis Alternativa: \(H_{1}: \mu < \mu_{0}\)
Estadístico de Prueba: \(z_{obs} = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}\)
Región de Rechazo. Se rechaza \(H_{0}\) si \(z_{obs} < - z_{\alpha}\)

Ejercicio 2. Si en el ejemplo anterior, el tiempo máximo admisible para que la asesoría no produzca problemas debido a que afectaría a otros clientes que están en espera, es menor a \(\mu_{0}\) = 62. Se desea saber si la duración de las capacitaciones realizadas en el último mes están afectando a los clientes que se mantienen en espera, a un nivel de significación del 3%;

Solución

  • Identificar los valores y crear sus respectivas variables
x_barra = 62
sigma = 15
n = 144
mu_0 = 60
  • Calcular el valor de \(z_{\alpha}\) guardar en la variable z_alfa
alfa = 0.03
z_alfa_2_I = qnorm(alfa)
  • Definir el valor de z_obs
z_obs = (x_barra - mu_0)/(sigma/sqrt(n))
  • Definir la región de rechazo
r = z_obs < z_alfa_2_I
  • Decisión
ifelse(r, "Se rechaza la hipótesis nula", 
          "No se rechaza la hipótesis nula")
## [1] "No se rechaza la hipótesis nula"

Determinar el p-valor de la prueba.

  • Calcular el p-valor
p_valor = pnorm(z_obs)
round(p_valor,3)
## [1] 0.945
  • Verificar si el p_valor es menor que \(\alpha\) para rechazar la hipótesis nula

1.1.3 Unilateral Derecha

Ejercicio 2. Si en el ejemplo anterior, el tiempo máximo admisible para que la asesoría no produzca problemas debido a que afectaría a otros clientes que están en espera, es mayor a \(\mu_{0}\) = 62. Se desea saber si la duración de las capacitaciones realizadas en el último mes están afectando a los clientes que se mantienen en espera, a un nivel de significación del 3%;

Solución

  • Identificar los valores y crear sus respectivas variables
x_barra = 62
sigma = 15
n = 144
mu_0 = 60
  • Calcular el valor de \(z_{\alpha}\) guardar en la variable z_alfa
alfa = 0.03
z_alfa_2_D = abs(qnorm(alfa))
  • Definir el valor de z_obs
z_obs = (x_barra - mu_0)/(sigma/sqrt(n))
  • Definir la región de rechazo
r = z_obs > z_alfa_2_D
  • Decisión
ifelse(r, "Se rechaza la hipótesis nula", 
          "No se rechaza la hipótesis nula")
## [1] "No se rechaza la hipótesis nula"

Determinar el p-valor de la prueba.

  • Calcular el p-valor
p_valor = 1-pnorm(z_obs)
round(p_valor,3)
## [1] 0.055
  • Verificar si el p_valor es menor que \(\alpha\) para rechazar la hipótesis nula

1.2 Pruebas de hipótesis sobre la media, cuando la varianza es desconocida

1.2.1 Bilateral

Hipótesis Nula: \(H_{0}: \mu = \mu_{0}\)
Hipótesis Alternativa: \(H_{1}: \mu \neq \mu_{0}\)
Estadístico de Prueba: \(t_{obs} = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{s/\sqrt{n}}\)
Región de Rechazo. Se rechaza \(H_{0}\) si \(t_{obs} < -t_{\alpha/2, n-1}\) o \(t_{obs} > t_{\alpha/2, n-1}\)

Ejercicio 1. Según un estudio del Ministerio de Educación, el costo medio de la lista de útiles de los escolares de educación básica es 187 dólares. Para verificarlo, un investigador tomó una muestra con los siguientes resultados:

\[\begin{array} {r} 168 & 175 & 198 & 201 & 223 & 176 & 169 & 200 & 222 & 225 \end{array}\]

Para un nivel de significación de 0.05, verificar la hipótesis de que la máquina cumple con la especificación

Solución

  • Identificar los valores y crear sus respectivas variables
x_barra = mean(c(168,175,198,201,223,176,169,200,222,225))
s = sd(c(168,175,198,201,223,176,169,200,222,225))
n = length(c(168,175,198,201,223,176,169,200,222,225))
mu_0 = 187
  • Calcular el valor de \(-t_{\frac{\alpha}{2}, n-1}\) y \(t_{\frac{\alpha}{2},n-1}\) guardar en la variable t_alfa_2
alfa = 0.05
alfa_2 = alfa/2  
t_alfa_2_I = qt(df = n-1, p = alfa_2)
t_alfa_2_D = abs(qt(df = n-1, p = alfa_2))
  • Definir el valor de t_obs
t_obs = (x_barra - mu_0)/(s/sqrt(n))
  • Definir la región de rechazo
r = t_obs < t_alfa_2_I | t_obs > t_alfa_2_D
  • Decisión
ifelse(r, "Se rechaza la hipótesis nula", 
          "No se rechaza la hipótesis nula")
## [1] "No se rechaza la hipótesis nula"

Determinar el p-valor de la prueba.

  • Calcular el p-valor
p_valor = 2*(1-pt(abs(t_obs), df = n-1))
round(p_valor,3)
## [1] 0.257
  • Verificar si el p_valor es menor que \(\alpha\) para rechazar la hipótesis nula

1.2.2 Unilateral Izquierda

Hipótesis Nula: \(H_{0}: \mu = \mu_{0}\)
Hipótesis Alternativa: \(H_{1}: \mu < \mu_{0}\)
Estadístico de Prueba: \(t_{obs} = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{s/\sqrt{n}}\)
Región de Rechazo. Se rechaza \(H_{0}\) si \(t_{obs} < - t_{\alpha,n-1}\)

Ejercicio 2. Según las previsiones del gobierno, la inflación para este año será de 3.9 %. Un economista, desconfiado de la cifra, realizó una investigación por su cuenta y registró la variación de los precios en los 22 artículos que a su juicio tienen la mayor incidencia en la economía popular. Obtuvo una variación de 4.5 % y una desviación estándar de 1.3 %. Pruebe si la cifra de inflación del investigador será menor que la del gobierno.

Solución

  • Identificar los valores y crear sus respectivas variables
x_barra = 4.5
s = 1.3
n = 22
mu_0 = 3.9
  • Calcular el valor de \(t_{\alpha}\) guardar en la variable t_alfa
alfa = 0.01
t_alfa_2_I = qt(alfa,n-1)
  • Definir el valor de t_obs
t_obs = (x_barra - mu_0)/(s/sqrt(n))
  • Definir la región de rechazo
r = t_obs < t_alfa_2_I
  • Decisión
ifelse(r, "Se rechaza la hipótesis nula", 
          "No se rechaza la hipótesis nula")
## [1] "No se rechaza la hipótesis nula"

Determinar el p-valor de la prueba.

  • Calcular el p-valor
p_valor = pt(t_obs,n-1)
round(p_valor,3)
## [1] 0.979
  • Verificar si el p_valor es menor que \(\alpha\) para rechazar la hipótesis nula

1.2.3 Unilateral Derecha

Hipótesis Nula: \(H_{0}: \mu = \mu_{0}\)
Hipótesis Alternativa: \(H_{1}: \mu > \mu_{0}\)
Estadístico de Prueba: \(t_{obs} = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{s/\sqrt{n}}\)
Región de Rechazo. Se rechaza \(H_{0}\) si \(t_{obs} > t_{\alpha,n-1}\)

Ejercicio 2. Según las previsiones del gobierno, la inflación para este año será de 3.9 %. Un economista, desconfiado de la cifra, realizó una investigación por su cuenta y registró la variación de los precios en los 22 artículos que a su juicio tienen la mayor incidencia en la economía popular. Obtuvo una variación de 4.5 % y una desviación estándar de 1.3 %. Pruebe si la cifra de inflación del investigador será mayor que la del gobierno.

Solución

  • Identificar los valores y crear sus respectivas variables
x_barra = 4.5
s = 1.3
n = 22
mu_0 = 3.9
  • Calcular el valor de \(t_{\alpha}\) guardar en la variable t_alfa
alfa = 0.01
t_alfa_D = abs(qt(df = n-1, p = alfa))
  • Definir el valor de t_obs
t_obs = (x_barra - mu_0)/(s/sqrt(n))
  • Definir la región de rechazo
r = t_obs > t_alfa_D
  • Decisión
ifelse(r, "Se rechaza la hipótesis nula", 
          "No se rechaza la hipótesis nula")
## [1] "No se rechaza la hipótesis nula"

Determinar el p-valor de la prueba.

  • Calcular el p-valor
p_valor = 1-pt(t_obs,n-1)
round(p_valor,3)
## [1] 0.021
  • Verificar si el p_valor es menor que \(\alpha\) para rechazar la hipótesis nula

1.3 Pruebas de hipótesis sobre proporción poblacional

1.3.1 Bilateral

Hipótesis Nula: \(H_{0}: p = p_{0}\)
Hipótesis Alternativa: \(H_{1}: p \neq p_{0}\)
Estadístico de Prueba: \(z_{obs} = \frac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}q_{0}}{n}}}\) donde \(\hat{p} = \frac{y}{n}\)
Región de Rechazo. Se rechaza \(H_{0}\) si \(z_{obs} < -z_{\alpha/2}\) o \(z_{obs} > z_{\alpha/2}\)

Ejercicio 1. Una empresa realizó una investigación de mercado para determinar el nivel de consumo de un refresco, para lo que consultó a 200 consumidores, de los cuales 28 expresaron su preferencia por el producto. El fabricante, de acuerdo a sus ventas, cree que tiene el 10 % del mercado de refrescos.

¿Son los resultados de la investigación consistentes con los datos del fabricante? con (\(\alpha = 0.05\))

Solución

  • Identificar los valores y crear sus respectivas variables
hat_p = 28/200
p_0 = 0.1
q_0 = 1 - p_0
n = 200
  • Calcular el valor de \(-z_{\frac{\alpha}{2}}\) y \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) guardar en la variable z_alfa_2
alfa = 0.05
alfa_2 = alfa/2  
z_alfa_2_I = qnorm(alfa_2)
z_alfa_2_D = abs(qnorm(alfa_2))
  • Definir el valor de z_obs
z_obs = (hat_p - p_0)/(sqrt(p_0*q_0/n))
  • Definir la región de rechazo
r = z_obs < z_alfa_2_I | z_obs > z_alfa_2_D
  • Decisión
ifelse(r, "Se rechaza la hipótesis nula", 
          "No se rechaza la hipótesis nula")
## [1] "No se rechaza la hipótesis nula"

Determinar el p-valor de la prueba.

  • Calcular el p-valor
p_valor = 2*(1-pnorm(abs(z_obs)))
round(p_valor,3)
## [1] 0.059
  • Verificar si el p_valor es menor que \(\alpha\) para rechazar la hipótesis nula

1.3.2 Unilateral Izquierda

Hipótesis Nula: \(H_{0}: p = p_{0}\)
Hipótesis Alternativa: \(H_{1}: p < p_{0}\)
Estadístico de Prueba: \(z_{obs} = \frac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}q_{0}}{n}}}\) donde \(\hat{p} = \frac{y}{n}\)
Región de Rechazo. Se rechaza \(H_{0}\) si \(z_{obs} < -z_{\alpha}\)

Ejercicio 2. Una empresa realizó una investigación de mercado para determinar el nivel de consumo de un refresco, para lo que consultó a 200 consumidores, de los cuales 28 expresaron su preferencia por el producto. El fabricante, de acuerdo a sus ventas, cree que tiene menos del 10 % del mercado de refrescos.

¿Son los resultados de la investigación consistentes con los datos del fabricante? con (\(\alpha = 0.05\))

Solución

  • Identificar los valores y crear sus respectivas variables
hat_p = 28/200
p_0 = 0.1
q_0 = 1 - p_0
n = 200
  • Calcular el valor de \(z_{\alpha}\) guardar en la variable z_alfa
alfa = 0.05
z_alfa_2_I = qnorm(alfa)
  • Definir el valor de z_obs
z_obs = (hat_p - p_0)/(sqrt(p_0*q_0/n))
  • Definir la región de rechazo
r = z_obs < z_alfa_2_I
  • Decisión
ifelse(r, "Se rechaza la hipótesis nula", 
          "No se rechaza la hipótesis nula")
## [1] "No se rechaza la hipótesis nula"

Determinar el p-valor de la prueba.

  • Calcular el p-valor
p_valor = pnorm(z_obs)
round(p_valor,3)
## [1] 0.97
  • Verificar si el p_valor es menor que \(\alpha\) para rechazar la hipótesis nula

1.3.3 Unilateral Derecha

Hipótesis Nula: \(H_{0}: p = p_{0}\)
Hipótesis Alternativa: \(H_{1}: p > p_{0}\)
Estadístico de Prueba: \(z_{obs} = \frac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}q_{0}}{n}}}\) donde \(\hat{p} = \frac{y}{n}\)
Región de Rechazo. Se rechaza \(H_{0}\) si \(z_{obs} > z_{\alpha}\)

Ejercicio 2. Una empresa realizó una investigación de mercado para determinar el nivel de consumo de un refresco, para lo que consultó a 200 consumidores, de los cuales 28 expresaron su preferencia por el producto. El fabricante, de acuerdo a sus ventas, cree que tiene más del 10 % del mercado de refrescos.

¿Son los resultados de la investigación consistentes con los datos del fabricante? con (\(\alpha = 0.05\))

Solución

  • Identificar los valores y crear sus respectivas variables
hat_p = 28/200
p_0 = 0.1
q_0 = 1 - p_0
n = 200
  • Calcular el valor de \(z_{\alpha}\) guardar en la variable z_alfa
alfa = 0.05
z_alfa_2_D = abs(qnorm(alfa))
  • Definir el valor de z_obs
z_obs = (hat_p - p_0)/(sqrt(p_0*q_0/n))
  • Definir la región de rechazo
r = z_obs > z_alfa_2_D
  • Decisión
ifelse(r, "Se rechaza la hipótesis nula", 
          "No se rechaza la hipótesis nula")
## [1] "Se rechaza la hipótesis nula"

Determinar el p-valor de la prueba.

  • Calcular el p-valor
p_valor = 1-pnorm(z_obs)
round(p_valor,3)
## [1] 0.03
  • Verificar si el p_valor es menor que \(\alpha\) para rechazar la hipótesis nula