Diseño Robusto

El siguiente ejercicio es tomado de (Pulido, De la Vara Salazar, González, Martı́nez, & Pérez, 2012)el cual es el numero 20, que se encuentra en pp. 280.

En 1951 en la Ina Tile Company se tenía el problema de que el horno quemaba de forma dispareja debido a una variación de la temperatura en diferentes partes de este, lo cual causaba defectos en las lozas que se fabricaban. Una posibilidad de solución (imposible en ese momento) era cambiar el horno por otro que no tuviera ese problema. Otra posibilidad era reformular las lozas de manera que fueran robustas al funcionamiento “disparejo” del horno. Esto último fue lo que se decidió hacer, utilizando los siguientes niveles de prueba de siete factores de la formulación de la loza:



Nótese que uno de los niveles de pruba para cada uno de los factores corresponde al nivel que se utilizaba hasta ese momento. Se tomó una muestra de 100 lozas en cada uno de los ocho tratamientos y se obtuvo el porcentaje de lozas defectuosas. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:



Conteste lo siguiente:

  1. ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?

  2. Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.

  3. Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.

  4. ¿Cuál es la proporción de la loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?

  5. Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

Solución

a) ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?

Efectivamente corresponde a un diseño robusto ya que implicitamente está afectando la variable temperatura (condición ambiental), la cual, no puede ser regulada.

b) Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.

Para iniciar se presentan los datos del ejercicio en la siguiente tabla, en donde se puede apreciar que a cada variable se le asigna una letra en orden alfabetico.

library(printr)
## Warning: package 'printr' was built under R version 4.0.5
datos =read.table(file="dataset.txt",header = TRUE)
head(datos,n=9L)
A B C D E F G DEFECTOS
1 1 1 1 1 1 1 16
1 1 1 2 2 2 2 17
1 2 2 1 1 1 2 12
1 2 2 2 2 2 1 6
2 1 2 1 2 2 2 6
2 1 2 2 1 1 1 68
2 2 1 1 2 2 1 42
2 2 1 2 1 1 2 26

Debido a que la finalidad del ejercicio es reducir la variación que existe, se opta por escoger la señal ruido “entre más pequeña, mejor”

info=as.matrix(datos[1:8,8:8])
signal_noise=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz))
  {
    sn[i]=-10*log((sum(matriz[i,]^2)),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise, n=8L)
## [1] -24.08240 -24.60898 -21.58362 -15.56303 -15.56303 -36.65018 -32.46499
## [8] -28.29947
media=function(matriz)
{
  prom=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    prom[i]=mean(matriz[i,])
  }
  prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media, n=8L)
## [1] 16 17 12  6  6 68 42 26

Los resultados obtenidos indican cada respuesta que se utiliza en la optimización de dos pasos, ahora,se procede a calcular los efectos activos de la siguiente manera, para la respuesta del estadístico razón señal ruido:

library(FrF2)
## Warning: package 'FrF2' was built under R version 4.0.5
## Warning: package 'DoE.base' was built under R version 4.0.5
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 7, factor.names = list(A=c(-1,1),B=c(-1,1),C=c(-1,1),D=c(-1,1),E=c(-1,1),F=c(-1,1),G=c(-1,1)), replications = 1)
experimento_resp=add.response(experimento, response = r_signal_noise)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")

Con lo anterior, se determina con un 95% de confianza que para el caso de la razon señal ruido, no existen efectos activos. No obstanete, se procede a obtener los gráficos de efectos principales para su analisis.

efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Efectos principales para el experimento")

head(efectos_principales)
A B C D E F G
- -26.28041 -28.82694 -24.46981 -24.47778 -24.64362 -24.17985 -30.37426
+ -23.42351 -20.87698 -25.23411 -25.22615 -25.06030 -25.52407 -19.32966 
efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main="Gráfica de interacciones para el experimento")

head(efectos_interaccion)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- -30.62958 -26.10660 -21.93125 -26.45422 -20.08600 -32.47482 -29.11690 -27.02431 -23.09630 -28.53698 -34.55758 -18.57333 -22.83301 -19.82271 -30.36629 -24.94155 -24.01401 -30.38223 -24.34569 -26.19093 -28.27369
+:- -27.02431 -22.83301 -27.02431 -22.83301 -28.27369 -28.27369 -19.82271 -21.93125 -26.19093 -19.82271 -26.19093 -30.38223 -26.45422 -28.53698 -30.38223 -24.34569 -24.34569 -30.36629 -24.01401 -34.55758 -32.47482
-:+ -21.93125 -26.45422 -30.62958 -26.10660 -32.47482 -20.08600 -28.53698 -30.62958 -34.55758 -29.11690 -23.09630 -30.36629 -26.10660 -29.11690 -18.57333 -24.01401 -24.94155 -18.57333 -24.94155 -23.09630 -20.08600
+:+ -19.82271 -24.01401 -19.82271 -24.01401 -18.57333 -18.57333 -21.93125 -19.82271 -15.56302 -21.93125 -15.56302 -20.08600 -24.01401 -21.93125 -20.08600 -26.10660 -26.10660 -20.08600 -26.10660 -15.56302 -18.57333

Con base en las gráficas anteriores,se afirma la idea que los factores poseen poca significancia,sin embargo, se aplicará una tabla ANOVA para poder concluir de manera satisfactoria este ejercicio.

modelo_sr=lm(r_signal_noise~(A+B+C+D+E+F+G),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## A            1  92.07   92.07   0.728  0.550
## B            1   1.12    1.12   0.009  0.940
## C            1  50.48   50.48   0.399  0.641
## D            1  16.32   16.32   0.129  0.780
## E            1  62.81   62.81   0.497  0.609
## G            1  43.74   43.74   0.346  0.661
## Residuals    1 126.40  126.40

Con el ANOVA, se concluye con un 95% de confianza que los factores individuales no tienen un efecto realmente significativo en la respuesta, para poder finalizar, ahora se analiza la respuesta media del proceso para enriquecer nuestras conclusiones. Para ello, se eligen los efectos activos que lleven al proceso a las condiciones, no robustas, que más se acerquen al valor esperado del proceso.

library(FrF2)
experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main="Grafico de Daniel para la respueta media del proceso")

Con la gráfica anterior, concluye que no hay interacciones activas en el proceso en términos de la media, pero, para complementar, se procede a realizar las demás gráficas.

graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Grafica de efectos principales para el valor nominal esperado")

head(graf_efectos_individuales_media)
A B C D E F G
- 29.25 34.75 25.50 21.50 17.75 20.25 38.00
+ 19.00 13.50 22.75 26.75 30.50 28.00 10.25 
interac_media=IAPlot(experimento_media,main="Grafica de interacciones para el valor nominal esperado")

head(interac_media)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- 42.5 37.0 16.0 21.5 11.5 47.0 40.0 27.0 14.5 29.5 55.0 9.0 14.0 11.0 42.0 19.0 24.0 34.0 16.5 21.0 29.0
+:- 27.0 14.0 27.0 14.0 29.0 29.0 11.0 16.0 21.0 11.0 21.0 34.0 21.5 29.5 34.0 16.5 16.5 42.0 24.0 55.0 47.0
-:+ 16.0 21.5 42.5 37.0 47.0 11.5 29.5 42.5 55.0 40.0 14.5 42.0 37.0 40.0 9.0 24.0 19.0 9.0 19.0 14.5 11.5
+:+ 11.0 24.0 11.0 24.0 9.0 9.0 16.0 11.0 6.0 16.0 6.0 11.5 24.0 16.0 11.5 37.0 37.0 11.5 37.0 6.0 9.0

c) Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.

Debido a que ningún factor es realmente significativo, es complicado elegir una combinación, lo recomendable es optar por la actual. La otra opción adecuada sería:

  1. 1

  2. 2

  3. 2

  4. 2

  5. 2

  6. 2

  7. 1

d) ¿Cuál es la proporción de la loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?

Dado que la combinación actual representa la corrida 4 de la tabla proporcionada al principio del ejercicio el % de lozas defectuosas representa 6 defectos por cada 100 lozas.

e) Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

La proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento actual, es de 6 defectos por cada 100 lozas, ya que pertenece a la combinación en la corrida 5, y la proporción de loza defectuosa esperada en el nuevo tratamiento, es de igual manera 6 defectos esperados, ya que es la perteneciente a la corrida 4. Por lo tanto, los valores esperados son similares, ya que tienen los mismos defectos por cada 100 lozas. Es por ello que, se puede concluir que no importa cual de las dos proporciones, al final, dará los mismos defectos.

Bibliografía

Pulido, H. G., De la Vara Salazar, R., González, P. G., Martı́nez, C. T., & Pérez, M. del C. T. (2012). Análisis y diseño de experimentos. McGraw-Hill New York, NY, USA: