Caso 20 Ejercicios de variables discretas y continuas

Objetivo

Calcular probabilidades con variables aleatorias discretas y con variables aleatorias continuas con distribución uniforme

Desarrollo

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library(ggplot2)
library(dplyr)
library(gtools)
library(knitr)
library(cowplot) # Gráficas mismo renglones
options(scipen = 999) # Notación normal

Ejercicios con variables discretas

Tirar dos dados

Construir tabla de distribución

dado <- c(1,2,3,4,5,6)
lanzar_dados <- data.frame(permutations(n=6, r = 2, v = dado, repeats.allowed = TRUE))
names(lanzar_dados) <- c("dado1", "dado2")
lanzar_dados <- cbind(lanzar_dados, suma = apply(X = lanzar_dados, MARGIN = 1, FUN = sum))
lanzar_dados

##    dado1 dado2 suma
## 1      1     1    2
## 2      1     2    3
## 3      1     3    4
## 4      1     4    5
## 5      1     5    6
## 6      1     6    7
## 7      2     1    3
## 8      2     2    4
## 9      2     3    5
## 10     2     4    6
## 11     2     5    7
## 12     2     6    8
## 13     3     1    4
## 14     3     2    5
## 15     3     3    6
## 16     3     4    7
## 17     3     5    8
## 18     3     6    9
## 19     4     1    5
## 20     4     2    6
## 21     4     3    7
## 22     4     4    8
## 23     4     5    9
## 24     4     6   10
## 25     5     1    6
## 26     5     2    7
## 27     5     3    8
## 28     5     4    9
## 29     5     5   10
## 30     5     6   11
## 31     6     1    7
## 32     6     2    8
## 33     6     3    9
## 34     6     4   10
## 35     6     5   11
## 36     6     6   12

Contar frecuencias de las sumas

tabla <- lanzar_dados %>%
  group_by(suma) %>%
  summarise(frec = n()) 
tabla <-  data.frame(tabla)

Tabla con nombres de x’s

colnames(tabla) <- c('x', 'casos')
tabla

##     x casos
## 1   2     1
## 2   3     2
## 3   4     3
## 4   5     4
## 5   6     5
## 6   7     6
## 7   8     5
## 8   9     4
## 9  10     3
## 10 11     2
## 11 12     1

Tabla con probabilidades

n <- sum(tabla$casos)
tabla <- tabla %>%
  mutate(f.prob = round(casos / n, 4))
tabla <- tabla %>%
  mutate(f.acum = cumsum(f.prob))
tabla

##     x casos f.prob f.acum
## 1   2     1 0.0278 0.0278
## 2   3     2 0.0556 0.0834
## 3   4     3 0.0833 0.1667
## 4   5     4 0.1111 0.2778
## 5   6     5 0.1389 0.4167
## 6   7     6 0.1667 0.5834
## 7   8     5 0.1389 0.7223
## 8   9     4 0.1111 0.8334
## 9  10     3 0.0833 0.9167
## 10 11     2 0.0556 0.9723
## 11 12     1 0.0278 1.0001

Visualizar frecuencias y el acumulado

gfrecuencias <- ggplot(data = tabla) +
  geom_col(aes(x = x, y = f.prob), fill= 'lightblue') 
gfrecuencias

gacumulada <- ggplot(data = tabla) +
  geom_line(aes(x = x, y = f.acum), col='blue') +
  geom_point(aes(x = x, y = f.acum), col='red')
gacumulada

Calcular probabilidades

Función para calcular probabilidades

# Llamar la función o cargar el archivo en donde estpa la función
source ("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Probabilidad-y-EstadIstica-VIRTUAL-DISTANCIA/main/funciones/funciones.para.distribuciones.r")

P(x = 3)

\(P(f(x=3))\)

La probabilidad cuando x sea igual a 3

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 3, tipo = 0)

##   f.prob
## 1 0.0556

P(x = 7)

\(P(f(x=7))\)

La probabilidad cuando x sea igual a 7

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 7, tipo = 0)

##   f.prob
## 1 0.1667

P(x >= 7)

\(P(F(x \ge7))\)

La probabilidad cuando x sea mayor o igual a 7 \(1 - P(F(X=6)) = P(7) + P(8) + P(9) + P(10) + P(11) + P(12)\)

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 7, tipo = 4)

##   f.acum
## 1 0.5833

P(x <= 5)

\(P(F(x \le 5))\)

La probabilidad cuando x sea menor o igual a 5

\(P(F(X\le5)) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5)\)

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 5, tipo = 3)

##   f.acum
## 1 0.2778

P(x > 5)

\(P(F(x < 5))\)

La probabilidad cuando x sea menor a 5

\(P(F(X > 5)) = P(6) + P(7) + P(8) ... P(12)\)

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 5, tipo = 2)

##   f.acum
## 1 0.7222

Estudiantes y oferta de empleo

Tres estudiantes agendan entrevistas para un empleo de verano en el Brookwood Institute. En cada caso el resultado de la entrevista será una oferta de trabajo o ninguna oferta. Los resultados experimentales se definen en términos de los resultados de las tres entrevistas. [@lind2015].

• Enumere los resultados experimentales.

• Defina una variable aleatoria que represente el número de ofertas de trabajo. ¿Es una variable aleatoria discreta o continua?

• Dé el valor de la variable aleatoria que corresponde a cada uno de los resultados experimentales. [@lind2015].

  resultado <- c(1,0) # 1 Si le ofrecen, 0 No le ofrecen
  S <- permutations(resultado, n = 2, r = 3, repeats.allowed = TRUE)
  S <- data.frame(S)
  colnames(S) <- c("of1", "of2", "of3")
  S

  ##   of1 of2 of3
  ## 1   0   0   0
  ## 2   0   0   1
  ## 3   0   1   0
  ## 4   0   1   1
  ## 5   1   0   0
  ## 6   1   0   1
  ## 7   1   1   0
  ## 8   1   1   1

Son ocho resultados experimentales que presenta el espacio muestral.

La variable aleatoria es \(x=0\) a ninguno se le ofrece empleo, \(x=1\) a uno de ellos se le ofrece empleo, \(x=2\) a dos de ellos se le ofrece empleo y \(x=3\) a los tres se les ofrece empleo.

Es una variable aleatoria discreta con valores en \(x\) de \(0\) a \(3\).

Tabla de probabilidades con x’s prob y acumulado

Sumando las ofertas

S <- S %>%
    mutate(suma = of1 + of2 + of3)
S

##   of1 of2 of3 suma
## 1   0   0   0    0
## 2   0   0   1    1
## 3   0   1   0    1
## 4   0   1   1    2
## 5   1   0   0    1
## 6   1   0   1    2
## 7   1   1   0    2
## 8   1   1   1    3

# El valor de n
n <- nrow(S)

Construir la tabla

tabla <- S %>%
  group_by(suma) %>%
  summarise(frec = n()) 
tabla <- data.frame(tabla)
colnames(tabla) <- c("x", "casos")
n <- sum(tabla$casos)
tabla <- tabla %>%
  mutate(f.prob = round(casos / n, 4))
tabla <- tabla %>%
  mutate(f.acum = cumsum(f.prob))
tabla

##   x casos f.prob f.acum
## 1 0     1  0.125  0.125
## 2 1     3  0.375  0.500
## 3 2     3  0.375  0.875
## 4 3     1  0.125  1.000

Visualizar frecuencias y el acumulado

gfrecuencias <- ggplot(data = tabla) +
  geom_col(aes(x = x, y = f.prob), fill= 'lightblue') 
gfrecuencias

gacumulada <- ggplot(data = tabla) +
  geom_line(aes(x = x, y = f.acum), col='blue') +
  geom_point(aes(x = x, y = f.acum), col='red')
gacumulada

Calcular probabilidades

P(x=2)

¿Cuál es la probabilidad de que le ofrezcan trabajo a dos estudiantes? \(P(f(x = 2))\).

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 2, tipo = 0)

##   f.prob
## 1  0.375

P(x>=2)

¿Cuál es la probabilidad de que le ofrezcan trabajo a dos o mas estudiantes? \[ P(x \ge 2) = P(2) + P(3) + P(4) \]

\[ P(x \ge 2) = 1 - F(x=1) \]

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 2, tipo = 4)

##   f.acum
## 1    0.5

Ejercicios con variables continuas y distribución uniforme

Espera de autobús

Un autobús para por cierta parada cada 15 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que llega en un momento dado tenga que esperar el autobús mas de cinco minutos?

\(P(x > 5\))

a <- 0
b <- 15
altura <- 1 / (b -a)
altura

## [1] 0.06666667

base <- 10
area <- base * altura
area

## [1] 0.6666667

paste("La probabilida de esperar mas de 5 minutos es de ", round(area * 100, 2))

## [1] "La probabilida de esperar mas de 5 minutos es de  66.67"

Calcular la probabilidad por medio de la función punif()

\[ P(x>5) \]

x = 5
prob1 <- punif(q = x, min = 0, max = 15)
prob1

## [1] 0.3333333

prob2 <- 1  - punif(q = x, min = 0, max = 15)
prob2

## [1] 0.6666667

prob3 <- punif(q = x, min = 0, max = 15, lower.tail = FALSE)
prob3

## [1] 0.6666667

paste("La probabilida de esperar mas de 5 minutos es de ", round(prob3 * 100, 2))

## [1] "La probabilida de esperar mas de 5 minutos es de  66.67"

\(P(x < 2\))

¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere un tiempo menor que 2 minutos?

a <- 0
b <- 15
altura <- 1 / (b -a)
altura

## [1] 0.06666667

base <- 2
area <- base * altura
area

## [1] 0.1333333

paste("La probabilida de esperar mas de 5 minutos es de ", round(area * 100, 2))

## [1] "La probabilida de esperar mas de 5 minutos es de  13.33"

Calcular la probabilidad por medio de la función punif()

\[ P(x<=2) \]

x = 2
prob1 <- punif(q = x, min = 0, max = 15)
prob1

## [1] 0.1333333

prob2 <- 1  - punif(q = x, min = 0, max = 15)
prob2

## [1] 0.8666667

prob3 <- punif(q = x, min = 0, max = 15, lower.tail = FALSE)
prob3

## [1] 0.8666667

paste("La probabilida de esperar mas de 5 minutos es de ", round(prob1 * 100, 2))

## [1] "La probabilida de esperar mas de 5 minutos es de  13.33"

Interpretación

print("En el caso de los dados debido a que los valores que puede tomar la variable se limitan al valor de la suma de la caras de dos dados que son lanzados al mismo tiempo se puede decir que se trata de una variable discreta. En el ejercicio se muestran todos los valores que puede tomar x al sumarse las dos caras de los 2 dados lanzados. En las tablas tambien se muestra la probabilidad de que cada valor que toma x en el intervalo de 1 a 11 aprarezca y la frecuencia acumulada que nos sirve para saber la probabilidad de obtener un valor de x mayor o menor que un numero determinado.
      En el ejemplo de los estudiantes y la oferta de trabajo se trata de igual forma de una variable discreta ya que el espacio muestral se limita a 8 resultados de igual forma podemos ver la probabilidad de que 1, 2 o los 3 estudiantes obtengan el puesto de trabajo, siendo mas probable que 1 o dos de los estudiantes obtengan el puesto de trabajo.
      Finalmente, en el ejemplo de la parada del autobus se trata de un ejercicio que involucra varaiables continuas  y de distribucion uniforme ya que la x puede tomar cualquier valor del intervalo de 0 a 15.")

## [1] "En el caso de los dados debido a que los valores que puede tomar la variable se limitan al valor de la suma de la caras de dos dados que son lanzados al mismo tiempo se puede decir que se trata de una variable discreta. En el ejercicio se muestran todos los valores que puede tomar x al sumarse las dos caras de los 2 dados lanzados. En las tablas tambien se muestra la probabilidad de que cada valor que toma x en el intervalo de 1 a 11 aprarezca y la frecuencia acumulada que nos sirve para saber la probabilidad de obtener un valor de x mayor o menor que un numero determinado.\n      En el ejemplo de los estudiantes y la oferta de trabajo se trata de igual forma de una variable discreta ya que el espacio muestral se limita a 8 resultados de igual forma podemos ver la probabilidad de que 1, 2 o los 3 estudiantes obtengan el puesto de trabajo, siendo mas probable que 1 o dos de los estudiantes obtengan el puesto de trabajo.\n      Finalmente, en el ejemplo de la parada del autobus se trata de un ejercicio que involucra varaiables continuas  y de distribucion uniforme ya que la x puede tomar cualquier valor del intervalo de 0 a 15."

Bibliografía