08/11/2021
La probabilidad puede ser utilizada de dos maneras:
En un proceso aleatorio sabemos los resultados que pueden ocurrir, pero desconocemos cuál ocurrirá en particular.
Experimento: proceso mediante el cual se obtiene una observación (medición).
Ejemplos:
Evento simple: es el resultado que se observa en una sola repetición del experimento.
Experimento:
Lanzar un dado y registrar el número que aparecer en la cara superior.
Ejercicio: determine la lista de los eventos simples del experimento.
Eventos \(E_1, E_2,..., E_6\)
Solución.
Cuando se lanza un dado, hay seis posibles resultados. Los eventos simples son:
Evento \(E_1\): observar un 1
Evento \(E_2\): observar un 2
Evento \(E_3\): observar un 3
Evento \(E_4\): observar un 4
Evento \(E_5\): observar un 5
Evento \(E_6\): observar un 6
Evento: subconjunto de eventos sencillos, denotado por una letra mayúscula
Podemos definir los eventos A y B para el experimento de lanzar al aire un dado:
A: observar un número impar.
B: observar un número menor a 4.
A = {\(E_1, E_3, E_5\)}
B = {\(E_1, E_2, E_3\)}
\(\Longrightarrow\) conjunto de 3 eventos sencillos
\(\Longrightarrow\) conjunto de 3 eventos sencillos
La probabilidad de un evento A es una medida de nuestra creencia de que el evento A ocurrirá.
\(P(A) =\) Probabilidad del Evento A
Interpretación frecuentista:
La probabilidad de un resultado es la proporción de veces que el resultado ocurrirá si observáramos el proceso aleatorio un número \(\infty\) de veces.
Interpretación Bayesiana:
La probabilidad es un grado de creencia subjetiva. Permite que información a priori (previa) se integre en el marco inferencial.
Frecuentista
Si un experimento se realiza n veces, entonces la frecuencia relativa de un proceso particular, por ejemplo A, es:
Frecuencia relativa = \(\frac{Frecuencia}{n}\)
Donde Frecuencia: es el número de veces que ocurrió el evento A.
Si hacemos que el número n de repeticiones del experimento se haga cada vez más grande (\(n \rightarrow \infty\)), en último caso se genera toda la población y la probabilidad del evento A se define como:
\(P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{Frecuencia}{n}\)
Como P(A) se comporta como una frecuencia relativa, entonces:
\(0 \leqslant P(A) \leqslant 1\)
La ley de los grandes números establece que, a un mayor número de observaciones que se obtengan, la proporción de repeticiones con un resultado particular, convergerá a la probabilidad de ese resultado.
Ejercicio:
Simular el lanzamiento de una dado 5 mil veces.
Abre Excel
¿Cuál de los siguientes eventos podría ser más sorpredente:
Supongamos que lanzas una moneda 10 veces y en todas las ocasiones cae sol.
H H H H H H H H H H
¿Cuál pensarías que sea la probabilidad de que aparezca otro sol en el siguiente lanzamiento?
La probabilidad sigue siendo de 50%
P(H en el 11vo lanzamiento) = P(H en el 10o lanzamiento) = 0.5
Cada lanzamiento es INDEPENDIENTE, por lo que el resultado del siguiente lanzamiento no depende del lanzamiento previo.
La ley de los promedios
“Los procesos aleatorios debería compensar lo que haya ocurrido en el pasado”
CUIDADO: esto es un MALENTENDIDO de la Ley de los Grandes Números.
Eventos mutuamente excluyentes no pueden pasar al mismo tiempo:
\(P(A\) y \(B) = 0\)
Eventos que no son mutuamente excluyentes pueden pasar al mismo tiempo.
\(\rightarrow\) que llueva y haga frío.
\(P(A\) y \(B) \neq 0\)
¿Son mutuamente excluyentes o no?
El espacio muestral S:
Ejercicios:
Algunos experimentos se generan en etapas y el espacio muestral se puede representar en un diagrama de árbol.
"Un técnico médico registra el tipo sanguíneo y factor Rh de una persona.
Haga una lista de los eventos sencillos del experimento".
_______________
AXIOMAS:
\(P(J\) o \(3) = P(J \cup 3) = P(J) + P(3)\) ==> Regla aditiva
\(P(J\) o Carta roja\() = P(J) + P(Rojo) - P(J\) y \(Rojo)\) \(= P(J) + P(Rojo) - P(J \cap Rojo)\) \(= 4/52 + 26/52 - 2/52 = 28/52\)
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
NOTA: cuando A y B son excluyentes \(P(A \cap B) = 0\) y la fórmula se simplifica a \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
Si un experimento comprende un gran número N de eventos simples y todos esos eventos son igualmente probables, entonces cada evento simple tiene una probabilidad de 1/N y la probabilidad de un evento A se puede calcular como:
\(\frac{n_A}{N}\)
Donde \(N_A\) es el numero de eventos simples que resultan en el evento A.
¿Cómo contar N (eventos simples del espacio muestral) o \(n_A\) (el número de eventos simples del evento A) sin hacer una lista de todos los resultados posibles?
Considere un experimento que se realiza en dos etapas.
Si la primera etapa se puede efectuar en m formas y, para cada una de éstas, la segunda etapa se puede lograr en n formas, entonces hay mn formas para efectuar el experimento.
Ejemplo:
Al comprar un auto se puede seleccionar uno de tres estilos y uno de cinco colores de pinturas.
A. Se tiran dos dados, ¿cuántos eventos simples hay en el espacio muestral S?
B. Un plato de dulces contiene un dulce amarillo y dos rojos. Del plato se seleccionan dos dulces, uno por uno, registrando sus colores. ¿Cuántos eventos simples hay en el espacio muestral S?
Si un experimento se realiza en k etapas, con \(n_1\) formas para efectuar la primera etapa, \(n_2\) formas para efectuar la segunda etapa, . . . , y \(n_k\) formas para efectuar la k-ésima etapa, entonces el número de formas para efectuar el experimento es:
\(n_1 * n_2 * n_3 * ... * n_k\)
A. Calcule el número de eventos simples de un experimento de lanzar tres monedas al aire.
B. El chofer de un autobús puede puede tomar tres rutas de la ciudad A a la ciudad B, cuatro de la ciudad B a la C y tres de la ciudad C a la D. Si, cuando viaja de A a D, el chofer debe ir de A a B a C a D, ¿cuántas rutas posibles de A a D hay?
Supongamos que tienes tres libros, A, B y C, pero tiene espacio sólo para dos en su estante.
| Combinaciones de dos | Reordenamiento o combinaciones |
|---|---|
| AB | BA |
| AC | CA |
| BC | CB |
¿En cuántas formas puedes seleccionar y acomodar los dos libros? Hay tres opciones para los dos libros, A y B, A y C, o B y C, pero cada uno de los pares se puede acomodar en dos formas en el estante.
La Regla mn implica que hay seis formas, porque el primer libro se puede escoger en m=3 formas y el segundo en n=2 formas, de modo que el resultado es mn=6.
¿En cuántas formas puedes acomodar los tres libros en su estante?
Estimar las permutaciones
| ABC | BCA | CBA |
| ACB | CAB | BAC |
Como el primer libro se puede escoger en \(n_1=3\) formas, el segundo en \(n_2=2\) formas, y el tercero en \(n_3=1\) forma, el número total de ordenamientos es \(n_1n_2n_3 = (3)(2)(1) = 6\).
En lugar de aplicar la Regla mn cada vez, se puede hallar el número de ordenamientos usando una fórmula general que involucra una notación factorial.
\(_nP_r = \frac{n!}{(n - r)!}\)
Donde \(n! = n(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)\) y \(0! = 1\)
Una máquina está compuesta de cinco partes que se pueden ensamblar en cualquier orden. Se ha de realizar una prueba para determinar el tiempo necesario para cada orden de ensamble.
Si cada orden se ha de probar una vez, ¿cuántas pruebas deben efectuarse?
\(_5P_5 = \frac{5!}{(5 - 5)!}\)
A veces el orden o acomodo de los objetos no es importante, sino sólo los objetos que se escogen. En este caso, se puede usar una regla de conteo para combinaciones.
Por ejemplo, puede que no nos importe el orden en que los libros se coloquen en el estante,sino sólo cuáles libros podemos poner en el estante.
Cuando un jurado de cinco personas se selecciona de entre un grupo de 12 estudiantes, el orden de la selección no es importante porque los cinco estudiantes serán miembros iguales del jurado.
\(_nC_r = \frac{n!}{r!(n - r)!}\)
El número de combinaciones y el número de permutaciones están relacionados:
\(_nC_r = \frac{_nP_r}{r!}\)
\(_nC_r\) resulta cuando se divide el número de permutaciones entre \(r!\), el número de formas de reacomodar cada grupo distinto de r objetos escogidos de entre el total n.
Una tarjeta de circuito impreso se puede comprar de entre cinco proveedores. ¿En cuántas formas se pueden escoger tres proveedores de entre los cinco?
Cinco fabricantes producen cierto aparato electrónico, cuya calidad varía de un fabricante a otro.
Si fuéramos a seleccionar tres fabricantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la selección contenga exactamente dos de los tres mejores?
Eventos simples: todas las posibles combinaciones de tres fabricantes, escogidos de un grupo de cinco.
De estos cinco, tres han sido designados como “mejores” y dos como “no mejores”. Se puede pensar en un bote con dulces que contenga tres dulces rojos y dos amarillos, de los cuales se seleccionan tres.
El número total de eventos simples N se puede contar como el número de formas para escoger tres de los cinco fabricantes:
\(N = _5C_3 = \frac{5!}{3!2!}\)
Como los fabricantes se seleccionan al azar, cualquiera de estos 10 eventos simples será igualmente probable, con probabilidad 1/10.
¿Pero cuántos de estos eventos simples resultan en el evento A?
Se puede contar \(n_A\), el número de eventos en A, en dos pasos porque el evento A ocurrirá cuando seleccione dos de los “mejores” tres y uno de los dos “no mejores”. Hay
\(_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3\) formas de efectuar la primera etapa y
\(_2C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2\) formas de efectuar la segunda etapa.
Aplicando la Regla mn, encontramos que hay \(n_A = (3)(2) = 6\) de los 10 eventos sencillos en el evento A y $P(A) = n_A/N = 6/10.
En ocasiones, un evento de interés se puede formar como una combinación de algunos otros eventos.
Sean A y B dos eventos definidos en el espacio muestral S. Existen tres relaciones importantes entre ellos:
La unión de los eventos A y B, \(A\cup B\), es el evento en que ocurre A o B o ambos.
La intersección de eventos A y B, \(A\cap B\), es el evento en que ocurre A y B.
El complemento de un evento A, \(A^{c}\) es el evento en que A NO ocurre.
Ejemplos:
Se tiran dos monedas no trucadas y se registra el resultado. Los eventos de interés son:
A: observar al menos una cara. B: observar al menos una cruz.
Defina los eventos A, B, A\(\cap\)B, A\(\cup\)B y A\(^{c}\) como conjunto de eventos simples y calcule sus probabilidades.
Solución:
Solución:
Los eventos simples para este experimento son:
\(E_1\): HH (cara / cara)
\(E_2\): HT
\(E_3\): TH
\(E_4\): TT
Y cada evento simple tiene probabilidad 1/4. El evento A, al menos una cara, se presenta si ocurre \(E_1, E_2\) o \(E_3\), de modo que:
A = {\(E_1, E_2, E_3\)}
\(P(A) = \frac{3}{4}\)
Solución:
A\(^c\) = {\(E_4\)}
B = {\(E_2, E_3, E_4\)}
\(A\cap B\) = {\(E_2, E_3\)}
\(A\cup B\) = {\(E_1, E_2, E_3, E_4\)}
.
\(P(A^c) = \frac{1}{4}\)
\(P(B) = \frac{3}{4}\)
\(P(A\cap B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
\(P(A\cup B) = \frac{4}{4} = 1\)
\(P(A^c) = 1 - P(A)\)
Un compañía de exploración petrolera planea perforar dos pozos de exploración. Se emplea evidencia del pasado para tener acceso a los posibles resultados, que se muestran en la siguiente tabla:
| Evento | Descripción | Prob |
|---|---|---|
| A | Ningún pozo produce petróleo ni gas | 0.80 |
| B | Exactamente un pozo produce petróleo o gas | 0.18 |
| c | Ambos pozos producen petróleo o gas | 0.02 |
Encuentre \(P(A\cup B)\) y \(P(A\cap B)\)
Encuesta telefónica a mil adultos.
Objetivo: percepción sobre el gasto en educación universitaria y necesidad de alguna forma de financiamiento educativo para este nivel.
Segmentos de entrevistados en función de si tienen o no un hijo en la universidad actualmente y si pensaban que la carga de un préstamo para casi todos los estudiantes universitarios es demasiado alta, la cantidad correcta o es muy poco.
| Demasiado alta (A) | Cantidad correcta (B) | Muy poco (C) | |
|---|---|---|---|
| Hijo en la Universidad (D) | 0.35 | 0.08 | 0.01 |
| Sin hijo en la Universidad (E) | 0.25 | 0.20 | 0.11 |
.
Dos eventos, A y B, son independientes si y solo si la probabilidad del evento B no está influenciada o cambia por el suceso del evento A, o viceversa.
Un investigador observa el género de una persona y si ésta no distingue los colores rojo y verde. ¿Cambia la probabilidad de que una persona sea daltónica, dependiendo de si es hombre o no?
Defina dos eventos:
El daltonismo es una característica relacionada con el sexo masculino:
La probabilidad de que un hombre sea daltónico será mayor que la probabilidad de que una persona escogida de la población general sea daltónica.
La probabilidad del evento B, que una persona sea daltónica, depende de si ha ocurrido o no ha ocurrido el evento A, que la persona sea hombre.
Decimos que A y B son eventos dependientes.
Considere tirar un solo dado dos veces y defina dos eventos:
Si el dado es imparcial, la probabilidad del evento A es P(A) = 1/6.
Considere la probabilidad del evento B:
Ya sea que el evento A haya ocurrido o no haya ocurrido, la probabilidad de observar un 2 en el segundo tiro todavía es 1/6. Podríamos escribir:
Como la probabilidad del evento B no ha cambiado por el suceso del evento A, decimos que A y B son eventos independientes.
La probabilidad de un evento A, dado que el evento B ha ocurrido, se denomina probabilidad condicional de A, dado que B ha ocurrido, denotada por:
\(P(A|B)\)
La barra vertical se lee “dado” y los eventos que aparecen a la derecha de la barra son aquellos que se sabe han ocurrido.
La probabilidad de que A y B ocurran cuando el experimento se realiza es:
\(P(A\cap B) = P(A)P(B|A)\)
ó
\(P(A\cap B) = P(B)P(A|B)\)
Se ponen ocho juguetes es un recipiente, dos rojos y seis verdes. Si se escogen dos juguetes al azar, ¿cuál es la probabilidad de escoger los dos juguetes rojos?
(Elaborar un diagrama de árbol)
\(P(A) = P(R\) en la primera selección \(\cap R\) en la segunda selección\()\)
\(P(A) = P(R\) en la primera selección\() P(R\) en la segunda selección\()|R\) en la primera\()\)
\(P(A) = (\frac{2}{8})(\frac{1}{7}) = \frac{2}{56} = \frac{1}{28}\)
La probabilidad condicional del evento A, dado que el evento B ha ocurrido, es:
\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) Si \(P(B) \neq 0\)
La probabilidad condicional del evento B, dado que el evento A ha ocurrido, es:
\(P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}\) Si \(P(A) \neq 0\)
Suponga que en la población general, hay 51% de hombres y 49% de mujeres, y que las proporciones de hombres y mujeres daltónicos se muestran en la siguiente tabla de probabilidad:
| Hombres (B) | Mujeres (\(B^c\)) | Total | |
|---|---|---|---|
| Daltónico (A) | 0.04 | 0.002 | 0.042 |
| No daltónico (\(A^c\)) | 0.47 | 0.488 | 0.548 |
| Total | 0.51 | 0.49 | 1.00 |
Si una persona se escoge al azar de entre esta población y se encuentra que es hombre (evento B), ¿cuál es la probabilidad de que el hombre sea daltónico (evento A)?