1 .Ejercicio 20

Libro: Análisis y Diseño de Experimentos-Humberto Gutierrez Pulido- Román de la Vara Salazar.

En 1951 en la Ina Tile Company se tenía el problema de que el horno quemaba de forma dispareja debido a una variación de la temperatura en diferentes partes de este, lo cual causaba defectos en las lozas que se fabricaban. Una posibilidad de solución (imposible en ese momento) era cambiar el horno por otro que no tuviera ese problema. Otra posibilidad era reformular las lozas de manera que fueran robustas al funcionamiento “disparejo” del horno. Esto último fue lo que se decidió hacer, utilizando los siguientes niveles de prueba de siete factores de la formulación de la loza:

Extracto del libro:Análisis y Diseño de Experimentos-Humberto Gutierrez Pulido- Román de la Vara Salazar.

Nótese que uno de los niveles de prueba para cada uno de los factores corresponde al nivel que se utilizaba hasta ese momento. Se tomó una muestra de 100 lozas en cada uno de los ocho tratamientos y se obtuvo el porcentaje de lozas defectuosas. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Extracto del libro:Análisis y Diseño de Experimentos-Humberto Gutierrez Pulido- Román de la Vara Salazar.

a) ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?
b) Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.
c) Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.
d) ¿Cuál es la proporción de la loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?
e) Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.(Pulido, De la Vara Salazar, González, Martı́nez, & Pérez, 2012)

1.1 .Inciso a.

¿Por qué este experimento es un diseño robusto?
Un diseño robusto consiste en exponer las condiciones cambiantes , en este caso la temperatura siendo esta la variación , el hecho de que no afecte de la misma forma en todo el horno se puede atribuir a la condición ambiental y por lo tanto entra dentro de la consideración de un diseño robusto.

1.2 .Inciso b.

Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.

Los datos del experimento se presentan en la siguiente tabla:

library(printr)
datos=read.table(file="dataset1.txt",header = TRUE)
head(datos,n=9L)
A B C D E F G X._defectos
1 1 1 1 1 1 1 16
1 1 1 2 2 2 2 17
1 2 2 1 1 1 2 12
1 2 2 2 2 2 1 6
2 1 2 1 2 2 2 6
2 1 2 2 1 1 1 68
2 2 1 1 2 2 1 42
2 2 1 2 1 1 2 26

Se utilizara el metodo menor cantidad mejor.
La variacion de la temperatura produciendo defectos, dicho esto sera la característica que se procede a realizar.

info=as.matrix(datos[1:8,8:8])
signal_noise=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz))
  {
    sn[i]=-10*log((sum(matriz[i,]^2)),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise, n=8L)
## [1] -24.08240 -24.60898 -21.58362 -15.56303 -15.56303 -36.65018 -32.46499
## [8] -28.29947
media=function(matriz)
{
  prom=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    prom[i]=mean(matriz[i,])
  }
  prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media, n=8L)
## [1] 16 17 12  6  6 68 42 26

Los analisis muestran que los vectores resultantes corresponde a cada una de las respuestas las cuales se utilizan en la Optimización de Dos Pasos, por lo cual, dicho esto la siguiente fase de la corrida experimental es determinar los efectos activos que influyen en la respuestas.

Cálculo de efectos activos para cada respuesta

Respuesta razón S/R
Para el caso de la respuesta razón S/R se determinarán los efectos activos del mismo modo en que se determinan para el experimento factorial completo o para el factorial fraccionado.

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 7, factor.names = list(A=c(-1,1),B=c(-1,1),C=c(-1,1),D=c(-1,1),E=c(-1,1),F=c(-1,1),G=c(-1,1)), replications = 1)
experimento_resp=add.response(experimento, response = r_signal_noise)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")

En este caso de la razón señal ruido, no existen efectos activos a un nivel de significancia de 0.05, no obstante, se procede a ejecutar los demás gráficos y análisis, como lo son, la gráfica de efectos principales, la gráfica de interacciones y el ANOVA para comprobar que lo mostrado en la gráfica sea correcto y así obtener un mejor análisis.

Gráfica de efectos principales

efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Efectos principales para el experimento")

head(efectos_principales)
A B C D E F G
- -26.60762 -25.52407 -19.19802 -27.19015 -22.97263 -26.14877 -26.56545
+ -23.09630 -24.17985 -30.50590 -22.51377 -26.73130 -23.55515 -23.13847

En esta gráfica podemos observar que es muy poca la significancia de estos factores, los que se muestran significativos en la gráfica aunque al analizar los valores no se podría considerar en gran manera son el A,B,D,E,F y G, por lo que será mejor confirmar en el ANOVA si realmente se consideran significativos o no representan importancia en realidad para el problema planteado.

Gráfica de interacciones

efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main="Gráfica de interacciones para el experimento")

head(efectos_interaccion)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- -24.94155 -22.83301 -28.27369 -30.38223 -26.19093 -27.02431 -18.57333 -26.10660 -21.93125 -32.47482 -29.11690 -19.82271 -15.56302 -19.82271 -18.57333 -24.01401 -30.36629 -34.55758 -21.93125 -24.01401 -26.10660
+:- -26.10660 -15.56302 -26.10660 -15.56302 -26.10660 -26.10660 -19.82271 -28.27369 -24.01401 -19.82271 -24.01401 -34.55758 -30.38223 -32.47482 -34.55758 -21.93125 -21.93125 -18.57333 -30.36629 -29.11690 -27.02431
-:+ -28.27369 -30.38223 -24.94155 -22.83301 -27.02431 -26.19093 -32.47482 -24.94155 -29.11690 -18.57333 -21.93125 -18.57333 -22.83301 -18.57333 -19.82271 -30.36629 -24.01401 -19.82271 -24.01401 -21.93125 -26.19093
+:+ -20.08600 -30.62958 -20.08600 -30.62958 -20.08600 -20.08600 -28.53698 -20.08600 -24.34569 -28.53698 -24.34569 -26.45422 -30.62958 -28.53698 -26.45422 -23.09630 -23.09630 -26.45422 -23.09630 -24.34569 -20.08600

Ahora se realiza el anova del modelo para analizar los factores.

modelo_sr=lm(r_signal_noise~(A+B+C+D+E+F+G),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## A            1  92.07   92.07   0.728  0.550
## B            1   1.12    1.12   0.009  0.940
## C            1  50.48   50.48   0.399  0.641
## D            1  16.32   16.32   0.129  0.780
## E            1  62.81   62.81   0.497  0.609
## G            1  43.74   43.74   0.346  0.661
## Residuals    1 126.40  126.40

En esta tabla se muestra que existeun 95% de confianza, que los factores individuales no tienen un efecto significativo en la variable de respuesta razón señal ruido, a pesar que en la gráfica se puedan interpretar como relevantes, con los valores y el ANOVA se puede comprobar que no, dicho esto, se procede a analizar la respuesta media del proceso para un mejor análisis.

Respuesta media del proceso
En el caso de la variable de respuesta promedio, se utiliza con el fin de llevar al proceso a su valor esperado, se eligirán los efecto activos que lleven al proceso a las condiciones, no robustas, que más se acerquen al valor esperado del proceso:

library(FrF2)
experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main="Grafico de Daniel para la respueta media del proceso")

En el presente analisis muestra que no hay interacciones activas para el proceso en términos de la media, sin embargo, se procederá a realizar las gráficas de efectos principales y de interacciones:

graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Grafica de efectos principales para el valor nominal esperado")

head(graf_efectos_individuales_media)
A B C D E F G
- 24.00 28.00 10.00 33.00 20.00 29.00 32.00
+ 24.25 20.25 38.25 15.25 28.25 19.25 16.25 
interac_media=IAPlot(experimento_media,main="Grafica de interacciones para el valor nominal esperado")

head(interac_media)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- 19.0 14.0 29.0 34.0 21.0 27.0 9.0 37.0 16.0 47.0 40.0 11.0 6.0 11.0 9.0 24.0 42.0 55.0 16.0 24.0 37.0
+:- 37.0 6.0 37.0 6.0 37.0 37.0 11.0 29.0 24.0 11.0 24.0 55.0 34.0 47.0 55.0 16.0 16.0 9.0 42.0 40.0 27.0
-:+ 29.0 34.0 19.0 14.0 27.0 21.0 47.0 19.0 40.0 9.0 16.0 9.0 14.0 9.0 11.0 42.0 24.0 11.0 24.0 16.0 21.0
+:+ 11.5 42.5 11.5 42.5 11.5 11.5 29.5 11.5 16.5 29.5 16.5 21.5 42.5 29.5 21.5 14.5 14.5 21.5 14.5 16.5 11.5

ANOVA:

modelo_BC=lm(r_media~(B*C),data=datos)
anova_BC=aov(modelo_BC)
summary(anova_BC)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## B            1   55.1    55.1   0.107  0.760
## C            1   10.1    10.1   0.020  0.895
## B:C          1 1035.1  1035.1   2.002  0.230
## Residuals    4 2068.5   517.1

Con base al análisis realizado se puede determinar que los efectos no son significativos.

1.3 .Inciso c. 

Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.
En el presente experimento muestran como ninguno de los factores son significativos en gran escala o que afecten al problema planteado, por otra parte, la combinación actual es una de las que presenta uno de los menores porcentajes de lozas defectuosas, la única otra combinación adecuado sería,el aditivo de cal en un 5%, la granularidad del aditivo fina, el contenido de algamatolite en 53%, el tipo barato de algamatolite, 1200 kg de carga, 4% contenido de reciclado y un 0% de contenido de fedespato.

1.4 .Inciso d. 

¿Cuál es la proporción de la loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?

La proporción de la combinación mencionada representa la corrida 4 de la tabla proporcionada con la combinación: 1,2,2,2,2,2,1 el % de lozas defectuosas sería la cantidad de 6%.

1.5 .Inciso e.

Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.
La proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento actual, es decir el anterior, es de 6 % ya que pertenece a la combinación en la corrida 5, y la proporción de loza defectuosa esperada en el nuevo tratamiento, es de igual manera 6% ya que es la perteneciente a la corrida 4, por lo tanto la diferencia es nula, con ambos tratamientos se obtiene el mismo % de defectos, que como se puede observar en la tabla es la cantidad menor de entre las posibles opciones, por lo que se puede concluir que a pesar de que no exista significancia por parte de los factores al hacer cambios en los niveles si es importante analizar los cambios.

Bibliografía

Pulido, H. G., De la Vara Salazar, R., González, P. G., Martı́nez, C. T., & Pérez, M. del C. T. (2012). Análisis y diseño de experimentos. McGraw-Hill New York, NY, USA: