1 .Ejercicio 20

Libro: Análisis y Diseño de Experimentos-Humberto Gutierrez Pulido- Román de la Vara Salazar.

En 1951 en la Ina Tile Company se tenía el problema de que el horno quemaba de forma dispareja debido a una variación de la temperatura en diferentes partes de este, lo cual causaba defectos en las lozas que se fabricaban. Una posibilidad de solución (imposible en ese momento) era cambiar el horno por otro que no tuviera ese problema. Otra posibilidad era reformular las lozas de manera que fueran robustas al funcionamiento “disparejo” del horno. Esto último fue lo que se decidió hacer, utilizando los siguientes niveles de prueba de siete factores de la formulación de la loza:

Extracto del libro:Análisis y Diseño de Experimentos-Humberto Gutierrez Pulido- Román de la Vara Salazar.

Nótese que uno de los niveles de prueba para cada uno de los factores corresponde al nivel que se utilizaba hasta ese momento. Se tomó una muestra de 100 lozas en cada uno de los ocho tratamientos y se obtuvo el porcentaje de lozas defectuosas. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Extracto del libro:Análisis y Diseño de Experimentos-Humberto Gutierrez Pulido- Román de la Vara Salazar.

a) ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?
b) Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.
c) Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.
d) ¿Cuál es la proporción de la loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?
e) Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.(Pulido, De la Vara Salazar, González, Martı́nez, & Pérez, 2012)

1.1 .Inciso a.

¿Por qué este experimento es un diseño robusto?
Es un diseño robusto con base al funcionamiento que este tiene, debido a que se expone a condiciones cambiantes en el medio en el que se desenvuelve, en este caso hablamos de la temperatura ya que presenta variaciones.

1.2 .Inciso b.

Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.

Los datos del experimento se presentan en la siguiente tabla:

library(printr)
datos=read.table(file="dataset1.txt",header = TRUE)
head(datos,n=9L)
A B C D E F G X._defectos
1 1 1 1 1 1 1 16
1 1 1 2 2 2 2 17
1 2 2 1 1 1 2 12
1 2 2 2 2 2 1 6
2 1 2 1 2 2 2 6
2 1 2 2 1 1 1 68
2 2 1 1 2 2 1 42
2 2 1 2 1 1 2 26
  1. La problemática que se presenta es con base a la variación de temperatura y esto produce defectos. Por lo tanto, mientras menos cantidad de defectos mucho mejor.
info=as.matrix(datos[1:8,8:8])
signal_noise=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz))
  {
    sn[i]=-10*log((sum(matriz[i,]^2)),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise, n=8L)
## [1] -24.08240 -24.60898 -21.58362 -15.56303 -15.56303 -36.65018 -32.46499
## [8] -28.29947
media=function(matriz)
{
  prom=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    prom[i]=mean(matriz[i,])
  }
  prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media, n=8L)
## [1] 16 17 12  6  6 68 42 26

Los vectores resultantes son correspondientes a las respuestas que se utilizan en la optimización de dos pasos, por lo que en la fase de la corrida experimental se deben determinar los efectos activos que influyen sobre las distintas respuestas.

Cálculo de efectos activos para cada respuesta

Respuesta razón S/R
Para el caso de la respuesta razón S/R se determinarán los efectos activos del mismo modo en que se determinan para el experimento factorial completo o para el factorial fraccionado.

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 7, factor.names = list(A=c(-1,1),B=c(-1,1),C=c(-1,1),D=c(-1,1),E=c(-1,1),F=c(-1,1),G=c(-1,1)), replications = 1)
experimento_resp=add.response(experimento, response = r_signal_noise)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")

En conclusión, con base el análisis realizado se puede observar que en el caso de la respuesta señal ruido no existen efectos activos con un nivel de significancia de 0.05.

Gráfica de efectos principales

efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Efectos principales para el experimento")

head(efectos_principales)
A B C D E F G
- -22.51377 -19.95436 -22.97263 -22.38213 -23.55515 -27.36396 -23.42351
+ -27.19015 -29.74956 -26.73130 -27.32179 -26.14877 -22.33996 -26.28041

Con base al gráfico se puede observar que existe un pequeña significancia entre los factores. Por lo que se realizara el ANOVA para saber si los valores son significativos o no lo son. Además, el factor C es el que muestra menos diferencia y por ende menor importancia.

Gráfica de interacciones

efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main="Gráfica de interacciones para el experimento")

head(efectos_interaccion)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- -20.08600 -21.93125 -24.94155 -23.09630 -26.45422 -18.57333 -15.56302 -19.82271 -20.08600 -24.34569 -19.82271 -21.93125 -24.01401 -30.38223 -24.01401 -18.57333 -26.19093 -22.83301 -28.53698 -27.02431 -28.27369
+:- -19.82271 -24.01401 -19.82271 -24.01401 -28.27369 -28.27369 -30.38223 -24.94155 -27.02431 -30.38223 -27.02431 -22.83301 -23.09630 -24.34569 -22.83301 -28.53698 -28.53698 -24.01401 -26.19093 -19.82271 -18.57333
-:+ -24.94155 -23.09630 -20.08600 -21.93125 -18.57333 -26.45422 -24.34569 -20.08600 -19.82271 -15.56302 -20.08600 -24.01401 -21.93125 -15.56302 -21.93125 -26.19093 -18.57333 -21.93125 -18.57333 -20.08600 -26.45422
+:+ -34.55758 -30.36629 -34.55758 -30.36629 -26.10660 -26.10660 -29.11690 -34.55758 -32.47482 -29.11690 -32.47482 -30.62958 -30.36629 -29.11690 -30.62958 -26.10660 -26.10660 -30.62958 -26.10660 -32.47482 -26.10660

Ahora se realiza el anova del modelo para analizar los factores.

modelo_sr=lm(r_signal_noise~(A+B+C+D+E+F+G),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## A            1  92.07   92.07   0.728  0.550
## B            1   1.12    1.12   0.009  0.940
## C            1  50.48   50.48   0.399  0.641
## D            1  16.32   16.32   0.129  0.780
## E            1  62.81   62.81   0.497  0.609
## G            1  43.74   43.74   0.346  0.661
## Residuals    1 126.40  126.40

En conclusión, se puede observar que con un 95 % de confianza los factores individuales no presentan efectos significativos en las variables de respuesta razón señal ruido. Por otra parte, en la gráfica se pueden interpretar como una relevante en cambio, pero al realizar el ANOVA los valores comprueban que no es así.

Respuesta media del proceso
En el caso de la variable de respuesta promedio, esta se utiliza para llevar el proceso al valor esperado. Por lo tanto, se elegirán los efectos activos que lleven al proceso a condiciones no robustas que se acerquen al valor esperado del proceso.

library(FrF2)
experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main="Grafico de Daniel para la respueta media del proceso")

En conclusión, con base a la gráficas se puede determinar que no hay interacciones activas para el proceso en términos de la media. Por lo tanto, se realizarán las gráficas de efectos principales y las gráficas de interacciones.

graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Grafica de efectos principales para el valor nominal esperado")

head(graf_efectos_individuales_media)
A B C D E F G
- 15.25 11.25 20.00 15.00 19.25 25.25 19.00
+ 33.00 37.00 28.25 33.25 29.00 23.00 29.25 
interac_media=IAPlot(experimento_media,main="Grafica de interacciones para el valor nominal esperado")

head(interac_media)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- 11.5 16.0 19.0 14.5 21.5 9.0 6.0 11.0 11.5 16.5 11.0 16.0 24.0 34.0 24.0 9.0 21.0 14.0 29.5 27.0 29.0
+:- 11.0 24.0 11.0 24.0 29.0 29.0 34.0 19.0 27.0 34.0 27.0 14.0 14.5 16.5 14.0 29.5 29.5 24.0 21.0 11.0 9.0
-:+ 19.0 14.5 11.5 16.0 9.0 21.5 16.5 11.5 11.0 6.0 11.5 24.0 16.0 6.0 16.0 21.0 9.0 16.0 9.0 11.5 21.5
+:+ 55.0 42.0 55.0 42.0 37.0 37.0 40.0 55.0 47.0 40.0 47.0 42.5 42.0 40.0 42.5 37.0 37.0 42.5 37.0 47.0 37.0

ANOVA:

modelo_BC=lm(r_media~(B*C),data=datos)
anova_BC=aov(modelo_BC)
summary(anova_BC)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## B            1   55.1    55.1   0.107  0.760
## C            1   10.1    10.1   0.020  0.895
## B:C          1 1035.1  1035.1   2.002  0.230
## Residuals    4 2068.5   517.1

Con base al análisis realizado se puede determinar que los efectos no son significativos.

1.3 .Inciso c. 

Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.
Con base a que los efectos no son significativos y la combinación actual es una de las que proporciona uno de los menores porcentajes de lozas defectuosas, la combinación adecuada sería el aditivo de cal en un 5 %, la granularidad del aditivo fina, el contenido de algamatolite en un 53 %, el tipo barato de algamatolite, 1299 kg de carga, el 4 % de contenido de reciclado y un 0 % de contenido de feldespato.

1.4 .Inciso d. 

¿Cuál es la proporción de la loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?

En conclusión, con base a la combinación 1,2,2,2,2,2,1, que se encuentra en la tabla presentada y precisamente en la corrida 4 podemos observar que el porcentaje de lozas defectuosas corresponde a un 6 %.

1.5 .Inciso e.

Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.
Con base a los resultados se puede observar un valor de 6 % en la proporción anterior de loza defectuosa, esta pertenece a la combinación de la corrida 5 y la proporción de loza defectuosa esperada en el nuevo tratamiento es de 6 % ya que corresponde a la corrida 4, con base a esto se puede observar que no existen diferencias ya que ambos tratamientos obtienen el mismo porcentaje de defectos.

Bibliografía

Pulido, H. G., De la Vara Salazar, R., González, P. G., Martı́nez, C. T., & Pérez, M. del C. T. (2012). Análisis y diseño de experimentos. McGraw-Hill New York, NY, USA: