Diseño Robusto
Ivette Jaqueline García Grajales
2021-11-27
1 Ejercicio 20
En 1951 en la Ina Tile Company se tenía el problema de que el horno quemaba de forma dispareja debido a una variación de la temperatura en diferentes partes de éste, lo cual causaba defectos en las losas que se fabricaban. Una posibilidad de solución (imposible en ese momento) era cambiar el horno por otro que no tuviera ese problema.Otra posibilidad era reformular las losas de manera que fueran robustas al funcionamiento “disparejo” del horno. Esto último fue lo que se decidió hacer, utilizando los siguientesniveles de prueba en siete factores de la formulación de la loza(Pulido, De la Vara Salazar, González, Martı́nez, & Pérez, 2012):
| Factor | Nivel 1 | Nivel 2 |
|---|---|---|
| A:Auditivo de cal | \(A{1}\)= 5% | \(A{2}\) =1% (actual) |
| B:Granularidad del auditivo | \(B{1}\) =tosca (actual) | \(B{2}\) =fina |
| C:Contenido del algamatolite | \(C{1}\) = 43% | \(C{2}\) = 53% (actual) |
| D:Tipo de algamatolite | \(D{1}\) =mezcla actual | \(D{2}\) =más barata |
| E:Cantidad de carga | \(E{1}\) = 1300 Kg | \(E{2}\) =1200 Kg (actual) |
| F:Contenido de reciclado | \(F{1}\) = 0% | \(F{2}\) = 4% (actual) |
| G: Contenido de feldespato | \(G{1}\) = 0% | \(G{2}\) = 5% (actual) |
Nótese que uno de los niveles de prueba para cada uno de los factores corresponde al nivel que se utilizaba hasta ese momento. Se tomó una muestra de 100 lozas en cada uno delos ocho tratamientos y se obtuvo el porcentaje de lozas defectuosas. Los resultados obtenidos se muestran en lasiguiente tabla:
| Número de corrida | A | B | C | D | E | F | G | % de lozas defectuosas |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 16 |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 17 |
| 3 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 12 |
| 4 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 6 |
| 5 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | 6 |
| 6 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 68 |
| 7 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 42 |
| 8 | 2 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 26 |
- ¿Por qué este experimiento es un diseño robusto?
- Analice con detalle los datos: efecto principales y efecto activos
- Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más ecónomico a los factores que no tienen efecto sobre el procentaje de defectuosos
- ¿Cuál es la proporción de lloza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?
- Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio?
2 Solución del ejercicio
Inciso A
¿Por qué este experimiento es un diseño robusto?
Es un diseño robusto ya que su funcionamiento es consistente al exponerse a las condiciones cambiantes del medio, en este caso a la temperatura ya que la variación de esta, el hecho de que no afecte de la misma forma en todo el horno se puede atribuir a la condición ambiental y por lo tanto entra dentro de la consideración de un diseño robusto.
Inciso B
Analice con detalle los datos: efecto principales y efecto activos
Los datos proprocionados por el ejercicio son presentados ene la siguiente tabla:
library(printr)
datos=read.table(file="dataset.txt",header = TRUE)
head(datos,n=9L)| Corrida | A | B | C | D | E | F | G | Defectos |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 16 |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 17 |
| 3 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 12 |
| 4 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 6 |
| 5 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | 6 |
| 6 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 68 |
| 7 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 42 |
| 8 | 2 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 26 |
Ya que el problema que se atiende es sobre la variación en la temperatura lo cual produce defectos, los cuales entre menor cantidad mejor, es la característica que se procede a realizar tal como se muestra:
info=as.matrix(datos[1:8,2:8])
signal_noise=function(matriz)
{
sn=rep(NA,nrow(matriz))
for (i in 1:nrow(matriz))
{
sn[i]=-10*log((sum(matriz[i,]^2)),base = 10)
}
sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise, n=8L)## [1] -8.45098 -12.78754 -12.04120 -13.42423 -13.42423 -12.04120 -12.78754
## [8] -12.78754media=function(matriz)
{
prom=rep(NA,nrow(matriz))
for(i in 1:nrow(matriz))
{
prom[i]=mean(matriz[i,])
}
prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media, n=8L)## [1] 1.000000 1.571429 1.428571 1.714286 1.714286 1.428571 1.571429 1.571429varianza=function(matriz)
{
v=rep(NA,nrow(matriz))
for(i in 1:nrow(matriz))
{
v[i]=var(matriz[i,])
}
v[]
}
r_varianza=varianza(matriz = info)
r_desv_est=sqrt(varianza(matriz = info))
head(r_desv_est, n=8L)## [1] 0.0000000 0.5345225 0.5345225 0.4879500 0.4879500 0.5345225 0.5345225
## [8] 0.5345225Los vectores resultantes corresponden a cada una de las respuestas que se utilizan en la Optimización de Dos Pasos, por lo cual, la siguiente fase de la corrida experimental es determinar los efectos activos que influyen sobre las diferentes respuestas.
Calculo de efectos activos para cada respuesta
Respuesta razón S/R
En este caso determinaremos los efectos activos de la misma forma en que se determinan para un experimento factorial completo o factorial fraccionado, de la siguiente manera, para la respouesta del estadístico razón señal ruido:
library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 7, factor.names = list(A=c(-1,1),B=c(-1,1),C=c(-1,1),D=c(-1,1),E=c(-1,1),F=c(-1,1),G=c(-1,1)), replications = 1)
experimento_resp=add.response(experimento, response = r_signal_noise)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")
En conclusión, después de realizar el análisis se puede observar para el caso de la señal de ruido que no existen efectos activos a un nivel de significancia correspondiente a 0.05, no obstante, se realizaran los demás gráficos y análisis para comprobar que los resultados sean verídicos.
Gráfica de efectos principales
efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Efectos principales para el experimento") 
head(efectos_principales)| A | B | C | D | E | F | G | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| - | -11.33023 | -12.91930 | -11.86257 | -11.83516 | -12.57354 | -11.67599 | -12.76012 |
| + | -13.10588 | -11.51681 | -12.57354 | -12.60095 | -11.86257 | -12.76012 | -11.67599 |
Después de realizar el análisis, se puede observar que en las gráficas existe poca significancia de los factores, sin embargo, algunos se muestran significativos en la gráfica, pero al realizar el análisis dichos valores presentados no son justificados por lo cual no se podrían considerar en gran medida estos factores son A,B,D,E,F y G, por lo tanto, se realizara el ANOVA para confirmar dichos valores y saber realmente si son significativos o no. En el caso de C es el único factor que al parecer muestra menos diferencia y por lo tanto menos importancia o algún efecto su cambio.
Gráfica de interacciones
efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main="Gráfica de interacciones para el experimento")
head(efectos_interaccion)| A:B | A:C | A:D | A:E | A:F | A:G | B:C | B:D | B:E | B:F | B:G | C:D | C:E | C:F | C:G | D:E | D:F | D:G | E:F | E:G | F:G | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -:- | -12.41437 | -10.61926 | -10.24609 | -12.04120 | -10.24609 | -12.41437 | -13.10588 | -13.42423 | -12.73271 | -12.73271 | -13.10588 | -10.93760 | -13.10588 | -10.61926 | -12.78754 | -12.73271 | -10.93760 | -12.73271 | -12.41437 | -12.41437 | -13.10588 |
| +:- | -13.42423 | -13.10588 | -13.42423 | -13.10588 | -13.10588 | -13.10588 | -10.61926 | -10.24609 | -12.41437 | -10.61926 | -12.41437 | -12.73271 | -12.04120 | -12.73271 | -12.73271 | -12.41437 | -12.41437 | -12.78754 | -10.93760 | -13.10588 | -12.41437 |
| -:+ | -10.24609 | -12.04120 | -12.41437 | -10.61926 | -12.41437 | -10.24609 | -12.73271 | -12.41437 | -13.10588 | -13.10588 | -12.73271 | -12.78754 | -10.61926 | -13.10588 | -10.93760 | -10.93760 | -12.73271 | -10.93760 | -12.73271 | -12.73271 | -10.24609 |
| +:+ | -12.78754 | -13.10588 | -12.78754 | -13.10588 | -13.10588 | -13.10588 | -12.41437 | -12.78754 | -10.61926 | -12.41437 | -10.61926 | -12.41437 | -13.10588 | -12.41437 | -12.41437 | -12.78754 | -12.78754 | -12.41437 | -12.78754 | -10.61926 | -13.10588 |
Anova del modelo para los factores
modelo_sr=lm(r_signal_noise~(A+B+C+D+E+F+G),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## A 1 2.351 2.351 7.625 0.221
## B 1 2.351 2.351 7.625 0.221
## C 1 2.119 2.119 6.873 0.232
## D 1 2.351 2.351 7.625 0.221
## E 1 6.306 6.306 20.453 0.139
## G 1 2.351 2.351 7.625 0.221
## Residuals 1 0.308 0.308Derivado de la tabla anterior, se concluye con un 95% de confianza, que los factores individuales no tienen un efecto significativo en la variable de respuesta razón señal ruido, a pesar que en la gráfica se puedan observar como relevantes, con los valores y el ANOVA se puede comprobar que no, sin embargo ante esta situación, se procede a analizar la respuesta media del proceso para un mejor análisis.
Respuesta media del proceso
Para el caso de la variable de respuesta promedio, ésta se utilizará para llevar al proceso a su valor esperado, Se eligirán los efecto activos que lleven al proceso a las condiciones, no robustas, que más se acerquen al valor esperado del proceso:
library(FrF2)
experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main="Grafico de Daniel para la respueta media del proceso") 
De acuerdo a los resultados presenatdos por la gráfica se puede concluir que no hay interacciones activas para el proceso en términos de la media, sin embargo, se procederá a realizar las gráficas de efectos principales y de interacciones:
graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Grafica de efectos principales para el valor nominal esperado")
head(graf_efectos_individuales_media)| A | B | C | D | E | F | G | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| - | 1.357143 | 1.607143 | 1.464286 | 1.464286 | 1.535714 | 1.428571 | 1.571429 |
| + | 1.642857 | 1.392857 | 1.535714 | 1.535714 | 1.464286 | 1.571429 | 1.428571 |
interac_media=IAPlot(experimento_media,main="Grafica de interacciones para el valor nominal esperado")
head(interac_media)| A:B | A:C | A:D | A:E | A:F | A:G | B:C | B:D | B:E | B:F | B:G | C:D | C:E | C:F | C:G | D:E | D:F | D:G | E:F | E:G | F:G | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -:- | 1.500000 | 1.285714 | 1.214286 | 1.428571 | 1.214286 | 1.500000 | 1.642857 | 1.714286 | 1.571429 | 1.571429 | 1.642857 | 1.357143 | 1.642857 | 1.285714 | 1.571429 | 1.571429 | 1.357143 | 1.571429 | 1.500000 | 1.500000 | 1.642857 |
| +:- | 1.714286 | 1.642857 | 1.714286 | 1.642857 | 1.642857 | 1.642857 | 1.285714 | 1.214286 | 1.500000 | 1.285714 | 1.500000 | 1.571429 | 1.428571 | 1.571429 | 1.571429 | 1.500000 | 1.500000 | 1.571429 | 1.357143 | 1.642857 | 1.500000 |
| -:+ | 1.214286 | 1.428571 | 1.500000 | 1.285714 | 1.500000 | 1.214286 | 1.571429 | 1.500000 | 1.642857 | 1.642857 | 1.571429 | 1.571429 | 1.285714 | 1.642857 | 1.357143 | 1.357143 | 1.571429 | 1.357143 | 1.571429 | 1.571429 | 1.214286 |
| +:+ | 1.571429 | 1.642857 | 1.571429 | 1.642857 | 1.642857 | 1.642857 | 1.500000 | 1.571429 | 1.285714 | 1.500000 | 1.285714 | 1.500000 | 1.642857 | 1.500000 | 1.500000 | 1.571429 | 1.571429 | 1.500000 | 1.571429 | 1.285714 | 1.642857 |
Anova
modelo_BC=lm(r_media~(B*C),data=datos)
anova_BC=aov(modelo_BC)
summary(anova_BC)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## B 1 0.04082 0.04082 0.667 0.46
## C 1 0.04082 0.04082 0.667 0.46
## B:C 1 0.04082 0.04082 0.667 0.46
## Residuals 4 0.24490 0.06122De acuerdo con el Anova realizado se puede observar y comprobar que los efectos no son significativos.
Inciso C
Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más ecónomico a los factores que no tienen efecto sobre el procentaje de defectuosos
Dado que ninguno de los factores son significativos en gran manera o que afecten directamente el problema planteado, además que la combinación actual es una de las que proporciona uno de los menores porcentajes de lozas defectuosas, la única otra combinación adecuado sería, en terminos del ejercicio, el aditivo de cal en un 5%, la granularidad del aditivo fina, el contenido de algamatolite en 53%, el tipo barato de algamatolite, 1299 kg de carga, 4% contenido de reciclado y un 0% de contenido de fedespato.
Inciso D
¿Cuál es la proporción de lloza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?
Dado que la combinación mencionada representa la corrida 4 de la tabla proporcionada con la combinación: 1,2,2,2,2,2,1 el % de lozas defectuosas sería la cantidad de 6%.
Inciso E
Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio?
La proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento actual, es decir el anterior, es de 6 % ya que pertenece a la combinación en la corrida 5, y la proporción de loza defectuosa esperada en el nuevo tratamiento, es de igual manera 6% ya que es la perteneciente a la corrida 4, por lo tanto la diferencia es nula, con ambos tratamientos se obtiene el mismo % de defectos, que como se puede observar en la tabla es la cantidad menor de entre las posibles opciones, por lo que se puede concluir que a pesar de que no exista significancia por parte de los factores al hacer cambios en los niveles si es importante analizar los cambios.