En 1951 en la Ina Tile Company se tenía el problema de que el horno quemaba de forma dispareja debido a una variación de la temperatura en diferentes partes de éste, lo cual causaba defectos en las lozas que se fabricaban. Una posibilidad de solución (imposible en ese momento) era cambiar el horno por otro que no tuviera ese problema. Otra posibilidad era reformular las lozas de manera que fueran robustas al funcionamiento “disparejo” del horno. Esto último fue lo que se decidió hacer, utilizando los siguientes niveles de prueba en siete factores de la formulación de la loza:

Nótese que uno de los niveles de prueba para cada uno de los factores corresponde al nivel que se utilizaba hasta ese momento. Se tomó una muestra de 100 lozas en cada uno de los ocho trata mientos y se obtuvo el porcentaje de lozas defectuosas. Los resul tados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

  1. ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?
  2. Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.
  3. Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.
  4. ¿Cuál es la proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?
  5. Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

a) ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?

Se entiende que un diseño robusto realiza la operación de escoger valores para los parámetros de procesos con el fin de reducir la variación con respecto a un valor meta de las respuestas de dichos procesos. Debido a que involucra la determinación de valores de parámetros.Dicho esto el presente experimento expone las condiciones cambiantes del medio, en este caso la temperatura siendo esta la variación, por otro lado,el hecho de que no afecte de la misma forma en todo el horno se puede atribuir a una condición ambiental y por lo tanto entra dentro de la consideración de un diseño robusto.

b) Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.

library(printr)
datos=read.table(file="dataset.txt",header = TRUE)
head(datos,n=9L)
Corrida A B C D E F G Defectos
1 1 1 1 1 1 1 1 16
2 1 1 1 2 2 2 2 17
3 1 2 2 1 1 1 2 12
4 1 2 2 2 2 2 1 6
5 2 1 2 1 2 2 2 6
6 2 1 2 2 1 1 1 68
7 2 2 1 1 2 2 1 42
8 2 2 1 2 1 1 2 26

Inicialmente se utilizara el metodo “menor cantidad mejor”. El problema que se considera es la variacion de la temperatura produciendo defectos, dicho esto sera la característica que se procede a realizar tal como se muestra a continuación:

info=as.matrix(datos[1:8,2:8])
signal_noise=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz))
  {
    sn[i]=-10*log((sum(matriz[i,]^2)),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise, n=8L)
## [1]  -8.45098 -12.78754 -12.04120 -13.42423 -13.42423 -12.04120 -12.78754
## [8] -12.78754
media=function(matriz)
{
  prom=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    prom[i]=mean(matriz[i,])
  }
  prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media, n=8L)
## [1] 1.000000 1.571429 1.428571 1.714286 1.714286 1.428571 1.571429 1.571429
varianza=function(matriz)
{
  v=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    v[i]=var(matriz[i,])
  }
  v[]
}
r_varianza=varianza(matriz = info)
r_desv_est=sqrt(varianza(matriz = info))
head(r_desv_est, n=8L)
## [1] 0.0000000 0.5345225 0.5345225 0.4879500 0.4879500 0.5345225 0.5345225
## [8] 0.5345225

Los presentes analisis muestran que los vectores resultantes corresponde a cada una de las respuestas que se utilizan en la Optimización de Dos Pasos, por lo cual, dicho esto la siguiente fase de la corrida experimental es determinar los efectos activos que influyen sobre las diferentes respuestas.

Cálculo de efectos activos para cada respuesta

Respuesta razón S/R

Se determinara los efectos activos de la misma forma en que se determinan para un experimento factorial completo o factorial fraccionado, de la siguiente manera, para la respuesta del estadístico razón señal ruido:

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 7, factor.names = list(A=c(-1,1),B=c(-1,1),C=c(-1,1),D=c(-1,1),E=c(-1,1),F=c(-1,1),G=c(-1,1)), replications = 1)
experimento_resp=add.response(experimento, response = r_signal_noise)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")

El presente analisis realizado determina que para el caso de la razón señal ruido, no existen efectos activos a un nivel de significancia de 0.05, no obstante, se procede a ejecutar los demás gráficos y análisis, como lo son, la gráfica de efectos principales, la gráfica de interacciones y el ANOVA para comprobar que lo mostrado en la gráfica sea correcto y así obtener un mejor análisis.

Gráfica de efectos principales

efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Efectos principales para el experimento")

head(efectos_principales)
A B C D E F G
- -12.76012 -12.76012 -12.76012 -13.10588 -12.41437 -12.73271 -12.76012
+ -11.67599 -11.67599 -11.67599 -11.33023 -12.02174 -11.70340 -11.67599

En el presente analisis se puede visualizar la gráfica y resultados obtenidos, como es muy poca la significancia de los factores, será mejor confirmar en el ANOVA si realmente se consideran significativos o no representan importancia en realidad para el problema planteado.

Gráfica de interacciones

efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main="Gráfica de interacciones para el experimento")

head(efectos_interaccion)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- -12.41437 -13.10588 -13.10588 -12.41437 -12.73271 -12.78754 -12.78754 -13.10588 -12.41437 -12.73271 -13.10588 -13.10588 -12.41437 -12.73271 -12.41437 -12.78754 -13.42423 -13.10588 -12.04120 -12.41437 -12.73271
+:- -13.10588 -12.41437 -13.10588 -12.41437 -12.73271 -12.73271 -12.73271 -13.10588 -12.41437 -12.73271 -12.41437 -13.10588 -12.41437 -12.73271 -13.10588 -12.04120 -12.04120 -12.41437 -13.42423 -13.10588 -12.78754
-:+ -13.10588 -12.41437 -12.41437 -13.10588 -12.78754 -12.73271 -12.73271 -12.41437 -13.10588 -12.78754 -12.41437 -12.41437 -13.10588 -12.78754 -13.10588 -13.42423 -12.78754 -13.10588 -12.78754 -12.41437 -12.73271
+:+ -10.24609 -10.93760 -10.24609 -10.93760 -10.61926 -10.61926 -10.61926 -10.24609 -10.93760 -10.61926 -10.93760 -10.24609 -10.93760 -10.61926 -10.24609 -10.61926 -10.61926 -10.24609 -10.61926 -10.93760 -10.61926

Posteriormente se realiza el anova del modelo con el fin de analizar los factores.

modelo_sr=lm(r_signal_noise~(A+B+C+D+E+F+G),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## A            1  2.351   2.351   7.625  0.221
## B            1  2.351   2.351   7.625  0.221
## C            1  2.119   2.119   6.873  0.232
## D            1  2.351   2.351   7.625  0.221
## E            1  6.306   6.306  20.453  0.139
## G            1  2.351   2.351   7.625  0.221
## Residuals    1  0.308   0.308

Con respecto a lo anterior, se muestra que existeun 95% de confianza, que los factores individuales no tienen un efecto significativo en la variable de respuesta razón señal ruido, a pesar que en la gráfica se puedan interpretar como relevantes, con los valores y el ANOVA se puede comprobar que no, dicho esto, se procede a analizar la respuesta media del proceso para un mejor análisis.

Respuesta media del proceso

Por otro lado, para el caso de la variable de respuesta promedio, se utiliza con el fin de llevar al proceso a su valor esperado, se eligirán los efecto activos que lleven al proceso a las condiciones, no robustas, que más se acerquen al valor esperado del proceso:

library(FrF2)
experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main="Grafico de Daniel para la respueta media del proceso")

El presente analisis muestra que no hay interacciones activas para el proceso en términos de la media, sin embargo, se procederá a realizar las gráficas de efectos principales y de interacciones:

graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Grafica de efectos principales para el valor nominal esperado")

head(graf_efectos_individuales_media)
A B C D E F G
- 1.571429 1.571429 1.571429 1.642857 1.5 1.571429 1.571429
+ 1.428571 1.428571 1.428571 1.357143 1.5 1.428571 1.428571 
interac_media=IAPlot(experimento_media,main="Grafica de interacciones para el valor nominal esperado")

head(interac_media)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- 1.500000 1.642857 1.642857 1.500000 1.571429 1.571429 1.571429 1.642857 1.500000 1.571429 1.642857 1.642857 1.500000 1.571429 1.500000 1.571429 1.714286 1.642857 1.428571 1.500000 1.571429
+:- 1.642857 1.500000 1.642857 1.500000 1.571429 1.571429 1.571429 1.642857 1.500000 1.571429 1.500000 1.642857 1.500000 1.571429 1.642857 1.428571 1.428571 1.500000 1.714286 1.642857 1.571429
-:+ 1.642857 1.500000 1.500000 1.642857 1.571429 1.571429 1.571429 1.500000 1.642857 1.571429 1.500000 1.500000 1.642857 1.571429 1.642857 1.714286 1.571429 1.642857 1.571429 1.500000 1.571429
+:+ 1.214286 1.357143 1.214286 1.357143 1.285714 1.285714 1.285714 1.214286 1.357143 1.285714 1.357143 1.214286 1.357143 1.285714 1.214286 1.285714 1.285714 1.214286 1.285714 1.357143 1.285714 
modelo_BC=lm(r_media~(B*C),data=datos)
anova_BC=aov(modelo_BC)
summary(anova_BC)
##             Df  Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## B            1 0.04082 0.04082   0.667   0.46
## C            1 0.04082 0.04082   0.667   0.46
## B:C          1 0.04082 0.04082   0.667   0.46
## Residuals    4 0.24490 0.06122

Finalmente, se comprueba mediante los resultados obtenidos que los efectos no son significativos.

c) Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.

Finalmente los analisis frealizados en el presente experimento muestran como ninguno de los factores son significativos en gran escala o que afecten al problema planteado,por otra parte, la combinación actual es una de las que presenta uno de los menores porcentajes de lozas defectuosas, la única otra combinación adecuado sería,el aditivo de cal en un 5%, la granularidad del aditivo fina, el contenido de algamatolite en 53%, el tipo barato de algamatolite, 1299 kg de carga, 4% contenido de reciclado y un 0% de contenido de fedespato.

d) ¿Cuál es la proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?

la combinación mencionada representa la corrida 4 de la tabla proporcionada con la combinación: 1,2,2,2,2,2,1 el % de lozas defectuosas sería la cantidad de 6%.

e) Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

La proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento actual, es decir el anterior, es de 6 % ya que pertenece a la combinación en la corrida 5, y la proporción de loza defectuosa esperada en el nuevo tratamiento, es de igual manera 6% ya que es la perteneciente a la corrida 4, por lo tanto la diferencia es nula, con ambos tratamientos se obtiene el mismo % de defectos, que como se puede observar en la tabla es la cantidad menor de entre las posibles opciones, por lo que se puede concluir que a pesar de que no exista significancia por parte de los factores al hacer cambios en los niveles si es importante analizar los cambios.