1 .Ejercicio 20

Libro: Análisis y Diseño de Experimentos-Humberto Gutierrez Pulido- Román de la Vara Salazar.

En 1951 en la Ina Tile Company se tenía el problema de que el horno quemaba de forma dispareja debido a una variación de la temperatura en diferentes partes de este, lo cual causaba defectos en las lozas que se fabricaban. Una posibilidad de solución (imposible en ese momento) era cambiar el horno por otro que no tuviera ese problema. Otra posibilidad era reformular las lozas de manera que fueran robustas al funcionamiento “disparejo” del horno. Esto último fue lo que se decidió hacer, utilizando los siguientes niveles de prueba de siete factores de la formulación de la loza:

Extracto del libro:Análisis y Diseño de Experimentos-Humberto Gutierrez Pulido- Román de la Vara Salazar.

Nótese que uno de los niveles de pruba para cada uno de los factores corresponde al nivel que se utilizaba hasta ese momento. Se tomó una muestra de 100 lozas en cada uno de los ocho tratamientos y se obtuvo el porcentaje de lozas defectuosas. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Extracto del libro:Análisis y Diseño de Experimentos-Humberto Gutierrez Pulido- Román de la Vara Salazar.

a) ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?
b) Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.
c) Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.
d) ¿Cuál es la proporción de la loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?
e) Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.(Pulido, De la Vara Salazar, González, Martı́nez, & Pérez, 2012)

1.1 .Inciso a.

¿Por qué este experimento es un diseño robusto?
El funcionamiento en el cual se basa es consistente esto debido a que se expone a las diferentes condiciones cambiantes del medio, por tal motivo se puede considerar como un diseño robusto.

1.2 .Inciso b.

Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.

Los datos del experimento se presentan en la siguiente tabla:

library(printr)
datos=read.table(file="dataset1.txt",header = TRUE)
head(datos,n=9L)
A B C D E F G X._defectos
1 1 1 1 1 1 1 16
1 1 1 2 2 2 2 17
1 2 2 1 1 1 2 12
1 2 2 2 2 2 1 6
2 1 2 1 2 2 2 6
2 1 2 2 1 1 1 68
2 2 1 1 2 2 1 42
2 2 1 2 1 1 2 26

El problema a considerar consiste en la variación de la temperatura los cuales producen defectos, entre menor cantidad mejor, por tal motivo se procede a realizar lo siguiente:

info=as.matrix(datos[1:8,8:8])
signal_noise=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz))
  {
    sn[i]=-10*log((sum(matriz[i,]^2)),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise, n=8L)
## [1] -24.08240 -24.60898 -21.58362 -15.56303 -15.56303 -36.65018 -32.46499
## [8] -28.29947
media=function(matriz)
{
  prom=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    prom[i]=mean(matriz[i,])
  }
  prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media, n=8L)
## [1] 16 17 12  6  6 68 42 26

Una vez obtenidos los datos se puede observar que los vectores resultantes corresponden a las respuestas las cuales son utilizadas en la optimización de dos pasos, por lo cual de procederá a determinar los efectos activos los cuales influyen en las diferentes respuestas.

Cálculo de efectos activos para cada respuesta

Respuesta razón S/R A continuación se determinarán los efectos activos de la misma manera en la cual se determinan para un experimento factorial completo, para la respuesta del estadístico razón señal ruido:

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 7, factor.names = list(A=c(-1,1),B=c(-1,1),C=c(-1,1),D=c(-1,1),E=c(-1,1),F=c(-1,1),G=c(-1,1)), replications = 1)
experimento_resp=add.response(experimento, response = r_signal_noise)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")

Cómo se puede apreciar, no existen efectos activos a un nivel de significancia 0.05 para el caso de la razón señal ruido, a continuación se ejecutarán los gráficos y análisis correspondientes los cuales son: Gráfica de interacciones, de efectos principales así mismo también el ANOVA para de esta manera justificar que que lo observado en la gráfica sea real.

Gráfica de efectos principales

efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Efectos principales para el experimento")

head(efectos_principales)
A B C D E F G
- -27.19015 -24.47778 -23.13847 -27.65392 -30.50590 -25.68500 -24.60145
+ -22.51377 -25.22615 -26.56545 -22.05000 -19.19802 -24.01892 -25.10247

Una vez obtenida la gráfica de efectos principales podemos observar que es muy poca la significancia de estos factores. Se puede aprecias que el factor C es el único el cual muestra menos diferencia, por lo tanto menos importancia. Así mismo se observa qué los factores los cuales se muestran significativos son: A-B-D-E-F-G, por tal motivo se decide confirmar en el ANOVA si se pueden considerar significativos o no.

Gráfica de interacciones

efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main="Gráfica de interacciones para el experimento")

head(efectos_interaccion)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- -24.01401 -19.82271 -30.36629 -34.55758 -28.27369 -26.10660 -21.93125 -24.94155 -30.38223 -27.02431 -18.57333 -26.19093 -26.45422 -24.34569 -20.08600 -32.47482 -22.83301 -29.11690 -28.53698 -30.62958 -23.09630
+:- -24.94155 -26.45422 -24.94155 -26.45422 -23.09630 -23.09630 -24.34569 -30.36629 -30.62958 -24.34569 -30.62958 -29.11690 -34.55758 -27.02431 -29.11690 -28.53698 -28.53698 -20.08600 -22.83301 -18.57333 -26.10660
-:+ -30.36629 -34.55758 -24.01401 -19.82271 -26.10660 -28.27369 -27.02431 -24.01401 -18.57333 -21.93125 -30.38223 -20.08600 -19.82271 -21.93125 -26.19093 -22.83301 -32.47482 -26.19093 -32.47482 -30.38223 -28.27369
+:+ -20.08600 -18.57333 -20.08600 -18.57333 -21.93125 -21.93125 -26.10660 -20.08600 -19.82271 -26.10660 -19.82271 -24.01401 -18.57333 -26.10660 -24.01401 -15.56302 -15.56302 -24.01401 -15.56302 -19.82271 -21.93125

Ahora se realiza el anova del modelo para analizar los factores.

modelo_sr=lm(r_signal_noise~(A+B+C+D+E+F+G),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## A            1  92.07   92.07   0.728  0.550
## B            1   1.12    1.12   0.009  0.940
## C            1  50.48   50.48   0.399  0.641
## D            1  16.32   16.32   0.129  0.780
## E            1  62.81   62.81   0.497  0.609
## G            1  43.74   43.74   0.346  0.661
## Residuals    1 126.40  126.40

Concluimos con un 95% de confianza, los factores individuales no tienen un efecto significativo en la variable de respuesta razón señal ruido, aunque en la gráfica se interpretan como irrelevantes, con el ANOVA y los valores obtenidos se comprueba que no. A continuación se analiza la respuesta media del proceso:

Respuesta media del proceso
Para el caso de la variable de respuesta promedio, ésta se utilizará para llevar al proceso a su valor esperado, Se eligirán los efecto activos que lleven al proceso a las condiciones, no robustas, que más se acerquen al valor esperado del proceso:

library(FrF2)
experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main="Grafico de Daniel para la respueta media del proceso")

La variable de respuesta promedio se llevará acabo para llevar al proceso a su valor esperado, a continuación se eligen los efectos activos que lleven el proceso a las condiciones requeridas, no robustas las cuales se acerquen al valor esperado:

graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Grafica de efectos principales para el valor nominal esperado")

head(graf_efectos_individuales_media)
A B C D E F G
- 33.00 21.50 16.25 30.50 38.25 21.75 25.75
+ 15.25 26.75 32.00 17.75 10.00 26.50 22.50 
interac_media=IAPlot(experimento_media,main="Grafica de interacciones para el valor nominal esperado")

head(interac_media)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- 24.0 11.0 42.0 55.0 29.0 37.0 16.0 19.0 34.0 27.0 9.0 21.0 21.5 16.5 11.5 47.0 14.0 40.0 29.5 42.5 14.5
+:- 19.0 21.5 19.0 21.5 14.5 14.5 16.5 42.0 42.5 16.5 42.5 40.0 55.0 27.0 40.0 29.5 29.5 11.5 14.0 9.0 37.0
-:+ 42.0 55.0 24.0 11.0 37.0 29.0 27.0 24.0 9.0 16.0 34.0 11.5 11.0 16.0 21.0 14.0 47.0 21.0 47.0 34.0 29.0
+:+ 11.5 9.0 11.5 9.0 16.0 16.0 37.0 11.5 11.0 37.0 11.0 24.0 9.0 37.0 24.0 6.0 6.0 24.0 6.0 11.0 16.0

ANOVA:

modelo_BC=lm(r_media~(B*C),data=datos)
anova_BC=aov(modelo_BC)
summary(anova_BC)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## B            1   55.1    55.1   0.107  0.760
## C            1   10.1    10.1   0.020  0.895
## B:C          1 1035.1  1035.1   2.002  0.230
## Residuals    4 2068.5   517.1

Una vez observada la gráfica podemos determinar que no hay condiciones activar para el proceso en términos de la media, a continuación se proceden a realizar las gráficas de efectos principales y de interacciones.

1.3 .Inciso c. 

Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.
Con el análisis llevaba acabo se pudo apreciar que ninguno de los factores son significativos en gran manera, también de determina que la combinación actual es una de las que proporciona uno de los mejores porcentajes de lozas defectuosas, por último se aprecia que probablemente otra combinación correcta sería: aditivo cal en un 5%, granularidad del aditivo fina, el contenido del algamatolite con un 53%, 1299 kg de carga, 4% contenido de reciclado, 0% contenido de fedespato.

1.4 .Inciso d. 

¿Cuál es la proporción de la loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?

La combinación anteriormente mencionada representa la corrida 4 de la tabla proporcionada con la siguiente combinación: 1,2,2,2,2,2,1 el % defectuoso de las lozas ed la cantidad de 6%.

1.5 .Inciso e.

Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.
Cómo se aprecia la proporción de loza defectuosa esperada en el tratamiento actual corresponde a un 6%, pertenece a la combinación en la corrida 5, así mismo en el nuevo tratamiento se espera la proporción de loza defectuosa esperada es de un 6% ya que es la perteneciente a la corrida 4, por lo cual la diferencia es nula esto debido a que con ambos tratamientos de obtendrá el mismo porcentaje de defectos, tal como se observa en la tabla este porcentaje es la cantidad menor de entre las opciones posibles. Por tal motivo se concluye que a pesar de que no existe significancia por parte de los factores al hacer cambios en los niveles, es importante analizar los cambios.

Bibliografía

Pulido, H. G., De la Vara Salazar, R., González, P. G., Martı́nez, C. T., & Pérez, M. del C. T. (2012). Análisis y diseño de experimentos. McGraw-Hill New York, NY, USA: