1.协方差矩阵\(\Sigma\)

va #省略协方差矩阵的设置代码

协方差矩阵

2. 推导隐含超额预期收益率

#市场组合权重wm(%)
wm<-c(18.04,6.13,17.09,17.09,11.99,11.99,14.18,3.49)
names(wm)<-rownames(va)
knitr::kable(wm)
国债 18.04
公司债 6.13
大盘成长 17.09
大盘价值 17.09
小盘成长 11.99
小盘价值 11.99
可转换债 券 14.18
亏损股 3.49

\[市场风险回避系数\lambda=\frac{\bar{Z_m}-R}{\sigma_m^2}=\frac{\bar{z}*w_m-R*1*w_m}{w_m^{'}\Sigma w_m}\]
\[由上式可得：w_m^{'}*\bar{z}-w_m^{'}*R*1=w_m{'}*(\lambda*\Sigma*w_m)\\=w_m^{'}(\pi)\\即隐含超额预期收益率\pi=\lambda \Sigma w_m=\bar{z}-R*1\]

#市场风险回避系数(这里假设为3)
lambda<-3

#隐含超额预期收益率(%)
p<-lambda*va%*%wm  
knitr::kable(p)
国债 0.0266
公司债 0.0305
大盘成长 9.4584
大盘价值 5.8237
小盘成长 12.1956
小盘价值 6.1428
可转换债 券 6.4839
亏损股 9.8077

由资产组合理论可知，切点组合的配置为:\[W_t=\frac{\Sigma^{-1}(\bar{z}-R*1)}{B-A*R}\]由上面结果可以化简为\[W_t=\frac{\Sigma^{-1}\pi}{1^{'}\Sigma^{-1}\pi}\]

3. Black-Litterman模型

三个观点(Q)：
1. 未来三个月小盘价值股收益率为5%,置信度为50%
2. 公司债市场相对于国债市场超额收益率为1%,置信度为90%
3. 大盘成长、小盘成长板块分别相对于大盘价值、小盘价值板块而言有2%的超额收益，置信度为10%

根据BL模型，期望回报公式为：\[E(R)=[(\tau\Sigma)^{-1}+P^{'} \Omega^{-1}P]^{-1}[(\tau\Sigma)^{-1}\pi+P^{'}\Omega^{-1}Q]\]

  1. E[R]是引入主观预期后的资产超额收益率向量，
  2. P是表示投资者看法对应的资产的标志矩阵，
  3. \(\Omega\)表示投资者看法置信度的误差的对焦协方差矩阵，
  4. \(\pi\)为之前求出来的隐含超额收益率，
  5. Q为投资者的看法向量。

3.1 设置P,Q,LF

b<-17.09+11.99
P<-matrix(c(0,-1,0,
            0,1,0,
            0,0,17.09/b,
            0,0,-17.09/b,
            0,0,11.99/b,
            1,0,-11.99/b,
            0,0,0,
            0,0,0)
          ,nrow=3,ncol=8)

P是资产标志矩阵，经秋天童鞋提醒（化名）PPT上的P矩阵是不对的。代表第一个观点的1应该是在P矩阵的第1行第6列。

rownames(P)<-c('Q1','Q2','Q3')
P
##    [,1] [,2]   [,3]    [,4]   [,5]    [,6] [,7] [,8]
## Q1    0    0 0.0000  0.0000 0.0000  1.0000    0    0
## Q2   -1    1 0.0000  0.0000 0.0000  0.0000    0    0
## Q3    0    0 0.5877 -0.5877 0.4123 -0.4123    0    0
Q<-c(5,1,2)#主观预期  
Q
## [1] 5 1 2
LF<-diag(c(.5,.9,.1))#置信矩阵（相当于先验概率discrete prior）
LF
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  0.5  0.0  0.0
## [2,]  0.0  0.9  0.0
## [3,]  0.0  0.0  0.1

3.2 计算\(\Omega\)

\[CF=\frac{P\Sigma P^{'}}{\frac{1}{50%}}\\ \Omega=\frac{diagonal(CF)}{diagonal(LF)}\]

CF<-0.5*(P%*%va%*%t(P))   #信心校准因子
CF#并非对角矩阵,且由于P矩阵不同，CF结果和PPT上也不同了！  
##           Q1         Q2         Q3
## Q1  0.016050 -0.0005500  0.0026260
## Q2 -0.000550  0.0030000 -0.0004531
## Q3  0.002626 -0.0004531  0.0186830

注意：CF并非对角矩阵,且由于P矩阵不同，CF结果和PPT上也不同了！

omg_diag<-diag(CF)/diag(LF)  
omg<-diag(omg_diag)
omg#置信度的误差的对角协方差矩阵 
##        [,1]     [,2]   [,3]
## [1,] 0.0321 0.000000 0.0000
## [2,] 0.0000 0.003333 0.0000
## [3,] 0.0000 0.000000 0.1868

3.3 计算\(\tau\)

tau<-sum(diag(CF))/mean(diag(omg))
tau#调整尺度    
## [1] 0.5093

3.4 计算ER

\[计算E(R)=[(\tau\Sigma)^{-1}+P^{'} \Omega^{-1}P]^{-1}[(\tau\Sigma)^{-1}\pi+P^{'}\Omega^{-1}Q]\]

ER<-solve(solve(tau*va)+t(P)%*%solve(omg)%*%P)%*%(solve(tau*va)%*%p+t(P)%*%solve(omg)%*%Q)  
ER.1<-ER
ER.1[,1]<-paste(round(ER,3), "%", sep="")  
colnames(ER.1)<-'预期收益率ER'
ER.1
##            预期收益率ER
## 国债       "0.033%"    
## 公司债     "0.523%"    
## 大盘成长   "8.919%"    
## 大盘价值   "5.571%"    
## 小盘成长   "11.269%"   
## 小盘价值   "5.679%"    
## 可转换债券 "6.314%"    
## 亏损股     "9.223%"

3.4 比较结果

wp<-solve(va)%*%p%*%(t(rep(1,nrow(va)))%*%solve(va)%*%p)^(-1)
we<-solve(va)%*%ER[,1]%*%(t(rep(1,nrow(va)))%*%solve(va)%*%ER[,1])^(-1)
colnames(wp)<-'Market' #均衡市场组合wm
colnames(we)<-'Tangent(ER)'#基于ER求出的切点组合
compare<-cbind(we,wp)
compare
##            Tangent(ER) Market
## 国债          -0.08259 0.1804
## 公司债         0.33329 0.0613
## 大盘成长       0.16467 0.1709
## 大盘价值       0.18985 0.1709
## 小盘成长       0.11553 0.1199
## 小盘价值       0.09596 0.1199
## 可转换债券     0.14708 0.1418
## 亏损股         0.03620 0.0349

Black-Litterman模型：资产的期望收益ER等于市场均衡收益（\(\pi\)）和投资者主观期望收益(Q)的加权平均。其中\(\pi\)可以通过历史数据获得，Q则源自各种基础分析或来自媒体信息得到的人为主观判断。当投资者对自己的主观判断信心(LF或\(\Omega^{-1}\))很大，则主观的期望收益就会被赋予较大的权重。这是一种典型的Bayes分析方法。