1 Introducción
Seguiremos la lógica del texto: “Chile, 2009. Descomposición del PIB Regional por Provincias, Comunas y según grandes sectores de actividad”, pero a nivel agregado, no descompuesto por rama de actividad económica.
Tenemos los datos del PIB regional, la tarea es desagregarlo a nivel comunal.
2 El álgebra
Para simplificar, consideremos sólo una región:
El PIB de una región es la suma de sus PIB comunales. Supongamos que una región \(R_o\) posee \(n\) comunas.
Pero la fuerza laboral puede pertenecer a otro set de comunas que no están necesariamente relacionadas a la Comuna de estudio. Un ejemplo es Chuquicamata, que pertenece a la comuna de Calama, donde muchos de sus trabajadores viven en la comuna de Antofagasta. Asignemos a éste número de comunas el valor \(m\): \(k=\{1,...,m\}\).
Definamos:
\(PIBR_o\) como el PIB de la región \(R_o\) y \(PIBC_j\) como el PIB de la comuna \(j=\{1,...,n\}\), perteneciente a la región \(R_o\).
\[\begin{equation} PIBR_o = \sum_{i=1}^n(PIBC_j) \tag{2.1} \end{equation}\]
Definamos
\[\begin{equation} LR_o = \sum_{i=1}^n(LC_j) \tag{2.1} \end{equation}\]
como el volumen de trabajadores ocupados en la región \(R_o\), :los trabajadores de todas las comunas de Chile.
Multipliquemos por 1:
\[\begin{equation} PIBR_o = \sum_{j=1}^n(PIBC_j \cdot LR_o / LR_o) \tag{2.2} \end{equation}\]
Agrupemos:
\[\begin{equation} PIBR_o = \sum_{j=1}^n(PIBC_j / LR_o) \cdot (LR_o) \tag{2.3} \end{equation}\]
y observemos que la primera expresión corresponde a la productividad media del trabajo (PMT) a nivel regional.
PMT es el resultado de dividir la cantidad de producto entre la cantidad de unidades de alguno de los factores de producción empleados. Así, la productividad media del trabajo será el resultado de dividir la cantidad producida entre el número de unidades de trabajo empleadas, que podemos medir de muchas maneras: número de horas de trabajo, cantidad de trabajadores o días. En definitiva, la productividad media del trabajo es el producto obtenido por una unidad de trabajo.
Para la región \(PIBR_o\):
\[\begin{equation} PMT_o = \frac{PIBR_o}{LR_o} \tag{2.4} \end{equation}\]
Agrupemos:
\[\begin{equation} PIBR_o = PMT_o \cdot LR_o \tag{2.5} \end{equation}\]
A nivel comunal:
\[\begin{equation} PIBC_j = PMT_o \cdot LC_k \tag{2.5} \end{equation}\]
Recordemos que trabajadores de multiples comunas pueden trabajar en la comuna de estudio, y que esta cantidad es k.
Sustituyamos:
\[\begin{equation} PIBR_o = \sum_{j=1}^n(PIBC_j) = \sum_{j=1}^n(PMT_o \cdot \sum_{k=1}^m(LC_k)) \tag{2.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} PIBC_1 = PMT_o \cdot LC_1 + ... + PMT_o \cdot LC_k \tag{2.7} \end{equation}\]
donde k son las comunas en las cuales viven los trabajadores que laboran en la comuna de estudio \(C_j\).
n son todas las comunas de chile
k son las comunas de Chile desde las cuales salen los trabajadores a laborar a la comuna \(C_j\).
Al final obtenemos obtenemos los PIB de todas las comunas.