1 .Ejercicio 20

Análisis y Diseño de Experimentos-Humberto Gutierrez Pulido- Román de la Vara Salazar.

En 1951 en la Ina Tile Company se tenía el problema de que el horno quemaba de forma dispareja debido a una variación de la temperatura en diferentes partes de este, lo cual causaba defectos en las lozas que se fabricaban. Una posibilidad de solución (imposible en ese momento) era cambiar el horno por otro que no tuviera ese problema. Otra posibilidad era reformular las lozas de manera que fueran robustas al funcionamiento “disparejo” del horno. Esto último fue lo que se decidió hacer, utilizando los siguientes niveles de prueba de siete factores de la formulación de la loza: (Pulido, De la Vara Salazar, González, Martı́nez, & Pérez, 2012)

Extracto del libro:Análisis y Diseño de Experimentos-Humberto Gutierrez Pulido- Román de la Vara Salazar.

Nótese que uno de los niveles de pruba para cada uno de los factores corresponde al nivel que se utilizaba hasta ese momento. Se tomó una muestra de 100 lozas en cada uno de los ocho tratamientos y se obtuvo el porcentaje de lozas defectuosas. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Extracto del libro:Análisis y Diseño de Experimentos-Humberto Gutierrez Pulido- Román de la Vara Salazar.

  1. ¿Por qué este experimento es un diseño robusto?
  2. Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.
  3. Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.
  4. ¿Cuál es la proporción de la loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?
  5. Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.

1.1 .Inciso a.

¿Por qué este experimento es un diseño robusto?
Se considera diseño robusto debido al funcionamiento que presenta, al ser consistente al exponerse a condiciones cambiantes del medio por tanto en este caso la temperatura ya que presenta variación; por lo cual, el simple hecho de no afectar de la misma forma en el horno esto se puede atribuir a las condiciones ambientales entrando en la categorización perteneciente a un diseño robusto.

1.2 .Inciso b.

Analice con detalle los datos: efectos principales y efectos activos.

Los datos del experimento se presentan en la siguiente tabla:

library(printr)
datos=read.table(file="dataset1.txt",header = TRUE)
head(datos,n=9L)
A B C D E F G X._defectos
1 1 1 1 1 1 1 16
1 1 1 2 2 2 2 17
1 2 2 1 1 1 2 12
1 2 2 2 2 2 1 6
2 1 2 1 2 2 2 6
2 1 2 2 1 1 1 68
2 2 1 1 2 2 1 42
2 2 1 2 1 1 2 26

Ya que el problema que se atiende es sobre la variación en la temperatura lo cual produce defectos, los cuales entre menor cantidad mejor, es la característica que se procede a realizar tal como se muestra:

info=as.matrix(datos[1:8,8:8])
signal_noise=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz))
  {
    sn[i]=-10*log((sum(matriz[i,]^2)),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise, n=8L)
## [1] -24.08240 -24.60898 -21.58362 -15.56303 -15.56303 -36.65018 -32.46499
## [8] -28.29947
media=function(matriz)
{
  prom=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    prom[i]=mean(matriz[i,])
  }
  prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media, n=8L)
## [1] 16 17 12  6  6 68 42 26

Los vectores resultantes corresponde a cada una de las respuestas que se utilizan en la Optimización de Dos Pasos, por lo cual, la siguiente fase de la corrida experimental es determinar los efectos activos que influyen sobre las diferentes respuestas.

Cálculo de efectos activos para cada respuesta

Respuesta razón S/R En este caso determinaremos los efectos activos de la misma forma en que se determinan para un experimento factorial completo o factorial fraccionado, de la siguiente manera, para la respuesta del estadístico razón señal ruido:

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 7, factor.names = list(A=c(-1,1),B=c(-1,1),C=c(-1,1),D=c(-1,1),E=c(-1,1),F=c(-1,1),G=c(-1,1)), replications = 1)
experimento_resp=add.response(experimento, response = r_signal_noise)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")

En conclusión, después de realizar el análisis se puede observar para el caso de la señal de ruido que no existen efectos activos a un nivel de significancia correspondiente a 0.05, no obstante, se realizaran los demás gráficos y análisis para comprobar que los resultados sean verídicos.

Gráfica de efectos principales

efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Efectos principales para el experimento")

head(efectos_principales)
A B C D E F G
- -21.91836 -23.09630 -26.56545 -29.45164 -24.46981 -23.55515 -21.45951
+ -27.78556 -26.60762 -23.13847 -20.25229 -25.23411 -26.14877 -28.24441

Después de realizar el análisis, se puede observar que en las gráficas existe poca significancia de los factores, sin embargo, algunos se muestran significativos en la gráfica, pero al realizar el análisis dichos valores presentados no son justificados por lo cual no se podrían considerar en gran medida estos factores son A,B,D,E,F y G, por lo tanto, se realizara el ANOVA para confirmar dichos valores y saber realmente si son significativos o no. En el caso de C es el único factor que al parecer muestra menos diferencia y por lo tanto menos importancia o algún efecto su cambio.

Gráfica de interacciones

efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main="Gráfica de interacciones para el experimento")

head(efectos_interaccion)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- -15.56302 -24.01401 -28.27369 -19.82271 -24.01401 -19.82271 -26.10660 -30.62958 -26.10660 -20.08600 -20.08600 -34.55758 -29.11690 -27.02431 -18.57333 -30.36629 -28.53698 -24.34569 -18.57333 -22.83301 -23.09630
+:- -30.62958 -29.11690 -30.62958 -29.11690 -23.09630 -23.09630 -27.02431 -28.27369 -22.83301 -27.02431 -22.83301 -24.34569 -19.82271 -20.08600 -24.34569 -18.57333 -18.57333 -18.57333 -28.53698 -20.08600 -19.82271
-:+ -28.27369 -19.82271 -15.56302 -24.01401 -19.82271 -24.01401 -20.08600 -15.56302 -20.08600 -26.10660 -26.10660 -18.57333 -24.01401 -26.10660 -34.55758 -28.53698 -30.36629 -34.55758 -30.36629 -26.10660 -24.01401
+:+ -24.94155 -26.45422 -24.94155 -26.45422 -32.47482 -32.47482 -26.19093 -24.94155 -30.38223 -26.19093 -30.38223 -21.93125 -26.45422 -26.19093 -21.93125 -21.93125 -21.93125 -21.93125 -21.93125 -30.38223 -32.47482

Ahora se realiza el anova del modelo para analizar los factores.

modelo_sr=lm(r_signal_noise~(A+B+C+D+E+F+G),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## A            1  92.07   92.07   0.728  0.550
## B            1   1.12    1.12   0.009  0.940
## C            1  50.48   50.48   0.399  0.641
## D            1  16.32   16.32   0.129  0.780
## E            1  62.81   62.81   0.497  0.609
## G            1  43.74   43.74   0.346  0.661
## Residuals    1 126.40  126.40

Se concluye con un 95% de confianza, que los factores individuales no presentan un efecto significativo en la variable de respuesta razón señal ruido, sin embargo, en la gráfica se pueden interpretar como relevantes en cambio, con los valores y el ANOVA se puede comprobar que no.

Respuesta media del proceso
Para el caso de la variable de respuesta promedio, ésta se utilizará para llevar al proceso a su valor esperado, Se eligirán los efecto activos que lleven al proceso a las condiciones, no robustas, que más se acerquen al valor esperado del proceso:

library(FrF2)
experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main="Grafico de Daniel para la respueta media del proceso")

En conclusión, después de analizar la gráfica anterior se puede llegar a la conclusión que no hay interacciones activas para el proceso en términos de la media, no obstante, se realizara las gráficas de efectos principales y de interacciones.

graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Grafica de efectos principales para el valor nominal esperado")

head(graf_efectos_individuales_media)
A B C D E F G
- 17.50 24.25 32.00 35.75 25.50 19.25 12.75
+ 30.75 24.00 16.25 12.50 22.75 29.00 35.50 
interac_media=IAPlot(experimento_media,main="Grafica de interacciones para el valor nominal esperado")

head(interac_media)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- 6.0 24.0 29.0 11.0 24.0 11.0 37.0 42.5 37.0 11.5 11.5 55.0 40.0 27.0 9.0 42.0 29.5 16.5 9.0 14.0 14.5
+:- 42.5 40.0 42.5 40.0 14.5 14.5 27.0 29.0 14.0 27.0 14.0 16.5 11.0 11.5 16.5 9.0 9.0 9.0 29.5 11.5 11.0
-:+ 29.0 11.0 6.0 24.0 11.0 24.0 11.5 6.0 11.5 37.0 37.0 9.0 24.0 37.0 55.0 29.5 42.0 55.0 42.0 37.0 24.0
+:+ 19.0 21.5 19.0 21.5 47.0 47.0 21.0 19.0 34.0 21.0 34.0 16.0 21.5 21.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 34.0 47.0

ANOVA:

modelo_BC=lm(r_media~(B*C),data=datos)
anova_BC=aov(modelo_BC)
summary(anova_BC)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## B            1   55.1    55.1   0.107  0.760
## C            1   10.1    10.1   0.020  0.895
## B:C          1 1035.1  1035.1   2.002  0.230
## Residuals    4 2068.5   517.1

Después de realizar el análisis de concluye que efectivamente los efectos no son significativos.

1.3 .Inciso c. 

Obtenga la mejor formulación de las lozas. Asigne el nivel más económico a los factores que no tienen efecto sobre el porcentaje de defectuosos.
Debido a que los efectos no son significativos y la combinación actual es una de las que proporciona uno de los menores porcentajes de lozas defectuosas, la combinación adecuada seria para el ejercicio el aditivo de cal en un 5%, la granularidad del aditivo fina, el contenido de algamatolite en 53%, el tipo barato de algamatolite, 1299 kg de carga, 4% contenido de reciclado y un 0% de contenido de fedespato.

1.4 .Inciso d. 

¿Cuál es la proporción de la loza defectuosa esperada en el tratamiento elegido?

Debido a la combinación presentada en la corrida 4 4 de la tabla proporcionada con la combinación: 1,2,2,2,2,2,1 el % de lozas defectuosas sería la cantidad de 6%.

1.5 .Inciso e.

Estime la diferencia entre la proporción de loza esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento nuevo sugerido por el estudio.
Se obtuvo un 6% en la proporción de loza defectuosa anterior debido a que pertenece a la combinación en la corrida 5, y la proporción de loza defectuosa esperada en el nuevo tratamiento es de 6% ya que es la perteneciente a la corrida 4, por lo cual no existen diferencias, y con ambos tratamientos se obtiene el mismo % de defectos. Se puede observar que en tabla es la cantidad menor de entre las posibles opciones por lo cual se concluye que no existir significancia y es importante analizar los cambios que los factores presenten al hacer cambios en los niveles.

Bibliografía

Pulido, H. G., De la Vara Salazar, R., González, P. G., Martı́nez, C. T., & Pérez, M. del C. T. (2012). Análisis y diseño de experimentos. McGraw-Hill New York, NY, USA: