Objetivo

Calcular probabilidades con variables aleatorias discretas y con variables aleatorias continuas con distribución uniforme

Desarrollo

Cargar librerías

library(ggplot2)
library(dplyr)
library(gtools)
library(knitr)
library(cowplot) # Gráficas mismo renglones
options(scipen = 999) # Notación normal

Ejercicios con variables discretas

Tirar dos dados

Construir tabla de distribución

dado <- c(1,2,3,4,5,6)
lanzar_dados <- data.frame(permutations(n=6, r = 2, v = dado, repeats.allowed = TRUE))
names(lanzar_dados) <- c("dado1", "dado2")
lanzar_dados <- cbind(lanzar_dados, suma = apply(X = lanzar_dados, MARGIN = 1, FUN = sum))
lanzar_dados
##    dado1 dado2 suma
## 1      1     1    2
## 2      1     2    3
## 3      1     3    4
## 4      1     4    5
## 5      1     5    6
## 6      1     6    7
## 7      2     1    3
## 8      2     2    4
## 9      2     3    5
## 10     2     4    6
## 11     2     5    7
## 12     2     6    8
## 13     3     1    4
## 14     3     2    5
## 15     3     3    6
## 16     3     4    7
## 17     3     5    8
## 18     3     6    9
## 19     4     1    5
## 20     4     2    6
## 21     4     3    7
## 22     4     4    8
## 23     4     5    9
## 24     4     6   10
## 25     5     1    6
## 26     5     2    7
## 27     5     3    8
## 28     5     4    9
## 29     5     5   10
## 30     5     6   11
## 31     6     1    7
## 32     6     2    8
## 33     6     3    9
## 34     6     4   10
## 35     6     5   11
## 36     6     6   12

Contar frecuencias de las sumas

tabla <- lanzar_dados %>%
  group_by(suma) %>%
  summarise(frec = n()) 
tabla <-  data.frame(tabla)

Tabla con nombres de x’s

colnames(tabla) <- c('x', 'casos')
tabla
##     x casos
## 1   2     1
## 2   3     2
## 3   4     3
## 4   5     4
## 5   6     5
## 6   7     6
## 7   8     5
## 8   9     4
## 9  10     3
## 10 11     2
## 11 12     1

Tabla con probabilidades

n <- sum(tabla$casos)
tabla <- tabla %>%
  mutate(f.prob = round(casos / n, 4))
tabla <- tabla %>%
  mutate(f.acum = cumsum(f.prob))
tabla
##     x casos f.prob f.acum
## 1   2     1 0.0278 0.0278
## 2   3     2 0.0556 0.0834
## 3   4     3 0.0833 0.1667
## 4   5     4 0.1111 0.2778
## 5   6     5 0.1389 0.4167
## 6   7     6 0.1667 0.5834
## 7   8     5 0.1389 0.7223
## 8   9     4 0.1111 0.8334
## 9  10     3 0.0833 0.9167
## 10 11     2 0.0556 0.9723
## 11 12     1 0.0278 1.0001

Visualizar frecuencias y el acumulado

gfrecuencias <- ggplot(data = tabla) +
  geom_col(aes(x = x, y = f.prob), fill= 'lightblue') 
gfrecuencias

gacumulada <- ggplot(data = tabla) +
  geom_line(aes(x = x, y = f.acum), col='blue') +
  geom_point(aes(x = x, y = f.acum), col='red')
gacumulada

Calcular probabilidades

Función para calcular probabilidades
# Llamar la función o cargar el archivo en donde estpa la función
source ("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Probabilidad-y-EstadIstica-VIRTUAL-DISTANCIA/main/funciones/funciones.para.distribuciones.r")
P(x = 3)

\(P(f(x=3))\)

La probabilidad cuando x sea igual a 3

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 3, tipo = 0)
##   f.prob
## 1 0.0556
P(x = 7)

\(P(f(x=7))\)

La probabilidad cuando x sea igual a 7

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 7, tipo = 0)
##   f.prob
## 1 0.1667
P(x >= 7)

\(P(F(x \ge7))\)

La probabilidad cuando x sea mayor o igual a 7 \(1 - P(F(X=6)) = P(7) + P(8) + P(9) + P(10) + P(11) + P(12)\)

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 7, tipo = 4)
##   f.acum
## 1 0.5833
P(x <= 5)

\(P(F(x \le 5))\)

La probabilidad cuando x sea menor o igual a 5

\(P(F(X\le5)) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5)\)

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 5, tipo = 3)
##   f.acum
## 1 0.2778
P(x > 5)

\(P(F(x < 5))\)

La probabilidad cuando x sea menor a 5

\(P(F(X > 5)) = P(6) + P(7) + P(8) ... P(12)\)

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 5, tipo = 2)
##   f.acum
## 1 0.7222

Estudiantes y oferta de empleo

Tres estudiantes agendan entrevistas para un empleo de verano en el Brookwood Institute. En cada caso el resultado de la entrevista será una oferta de trabajo o ninguna oferta. Los resultados experimentales se definen en términos de los resultados de las tres entrevistas. [@lind2015].

  • Enumere los resultados experimentales.

  • Defina una variable aleatoria que represente el número de ofertas de trabajo. ¿Es una variable aleatoria discreta o continua?

  • Dé el valor de la variable aleatoria que corresponde a cada uno de los resultados experimentales. [@lind2015].

    resultado <- c(1,0) # 1 Si le ofrecen, 0 No le ofrecen
S <- permutations(resultado, n = 2, r = 3, repeats.allowed = TRUE)
S <- data.frame(S)
colnames(S) <- c("of1", "of2", "of3")
S
    ##   of1 of2 of3
## 1   0   0   0
## 2   0   0   1
## 3   0   1   0
## 4   0   1   1
## 5   1   0   0
## 6   1   0   1
## 7   1   1   0
## 8   1   1   1

Son ocho resultados experimentales que presenta el espacio muestral.

La variable aleatoria es \(x=0\) a ninguno se le ofrece empleo, \(x=1\) a uno de ellos se le ofrece empleo, \(x=2\) a dos de ellos se le ofrece empleo y \(x=3\) a los tres se les ofrece empleo.

Es una variable aleatoria discreta con valores en \(x\) de \(0\) a \(3\).

Tabla de probabilidades con x’s prob y acumulado

Sumando las ofertas

S <- S %>%
    mutate(suma = of1 + of2 + of3)
S
##   of1 of2 of3 suma
## 1   0   0   0    0
## 2   0   0   1    1
## 3   0   1   0    1
## 4   0   1   1    2
## 5   1   0   0    1
## 6   1   0   1    2
## 7   1   1   0    2
## 8   1   1   1    3
# El valor de n
n <- nrow(S)

Construir la tabla

tabla <- S %>%
  group_by(suma) %>%
  summarise(frec = n()) 
tabla <- data.frame(tabla)
colnames(tabla) <- c("x", "casos")
n <- sum(tabla$casos)
tabla <- tabla %>%
  mutate(f.prob = round(casos / n, 4))
tabla <- tabla %>%
  mutate(f.acum = cumsum(f.prob))
tabla
##   x casos f.prob f.acum
## 1 0     1  0.125  0.125
## 2 1     3  0.375  0.500
## 3 2     3  0.375  0.875
## 4 3     1  0.125  1.000

Visualizar frecuencias y el acumulado

gfrecuencias <- ggplot(data = tabla) +
  geom_col(aes(x = x, y = f.prob), fill= 'lightblue') 
gfrecuencias

gacumulada <- ggplot(data = tabla) +
  geom_line(aes(x = x, y = f.acum), col='blue') +
  geom_point(aes(x = x, y = f.acum), col='red')
gacumulada

Calcular probabilidades

P(x=2)

¿Cuál es la probabilidad de que le ofrezcan trabajo a dos estudiantes? \(P(f(x = 2))\).

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 2, tipo = 0)
##   f.prob
## 1  0.375
P(x>=2)

¿Cuál es la probabilidad de que le ofrezcan trabajo a dos o mas estudiantes? \[ P(x \ge 2) = P(2) + P(3) + P(4) \]

\[ P(x \ge 2) = 1 - F(x=1) \]

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 2, tipo = 4)
##   f.acum
## 1    0.5

Ejercicios con variables continuas y distribución uniforme

Espera de autobús

Un autobús para por cierta parada cada 15 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que llega en un momento dado tenga que esperar el autobús mas de cinco minutos?

\(P(x > 5\))

a <- 0
b <- 15
altura <- 1 / (b -a)
altura
## [1] 0.06666667
base <- 10
area <- base * altura
area
## [1] 0.6666667
paste("La probabilida de esperar mas de 5 minutos es de ", round(area * 100, 2))
## [1] "La probabilida de esperar mas de 5 minutos es de  66.67"

Calcular la probabilidad por medio de la función punif()

\[ P(x>5) \]

x = 5
prob1 <- punif(q = x, min = 0, max = 15)
prob1
## [1] 0.3333333
prob2 <- 1  - punif(q = x, min = 0, max = 15)
prob2
## [1] 0.6666667
prob3 <- punif(q = x, min = 0, max = 15, lower.tail = FALSE)
prob3
## [1] 0.6666667
paste("La probabilida de esperar mas de 5 minutos es de ", round(prob3 * 100, 2))
## [1] "La probabilida de esperar mas de 5 minutos es de  66.67"

\(P(x < 2\))

¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere un tiempo menor que 2 minutos?

a <- 0
b <- 15
altura <- 1 / (b -a)
altura
## [1] 0.06666667
base <- 2
area <- base * altura
area
## [1] 0.1333333
paste("La probabilida de esperar mas de 5 minutos es de ", round(area * 100, 2))
## [1] "La probabilida de esperar mas de 5 minutos es de  13.33"

Calcular la probabilidad por medio de la función punif()

\[ P(x<=2) \]

x = 2
prob1 <- punif(q = x, min = 0, max = 15)
prob1
## [1] 0.1333333
prob2 <- 1  - punif(q = x, min = 0, max = 15)
prob2
## [1] 0.8666667
prob3 <- punif(q = x, min = 0, max = 15, lower.tail = FALSE)
prob3
## [1] 0.8666667
paste("La probabilida de esperar mas de 5 minutos es de ", round(prob1 * 100, 2))
## [1] "La probabilida de esperar mas de 5 minutos es de  13.33"

Interpretación

De acuerdo a lo analizado en este caso, se puede determinar que en el ejemplo de lanzar dos dados, primeramente se ha generado una tabla de distribución de frecuencia que permite visualizar el espacio muestral de los posibles resultados. Posteriormente se hya usado una gráfica para ilustrar el comportamiento de la distribución de probabilidad; y finalmente se ha usado esto para calcular la probabilidad de multiples interrogantes como: la probabilidad que la suma d elos dados sea 3 ó la probabilidad que la suma sea mayor de 7 (sumando los resultados individuales de los eventos iguales o mayores a 7).

En el caso de las ofertas de trabajo, se creó un espacio muestral mediante las permutaciones de resultados al aplicar para un empleo. Posteriormente se obtuvo la distribución d eprobabilidad al igual que el ejercicio anterior y se calcularon algunas probabilidades mediante la suma de los eventos que las componen.

En el ultimo ejemplo, se trabajó con distribución continua (a diferencia de los anteriores que eran discretas) por lo que para calcular probabilidades siempre se requiere un rango de valores y no solo un evento puntual. Por ejemplo la probabilidad de esperar mas de 5 minutos el autobus (de 5 hasta infinito) es de 66.67%. Este ejemplo es relativamente sencillo ya que es una distribución continua uniforme.

Bibliografía

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.