Teoria del Riesgo Tarea 2 Ejercicio 14

Considerando los datos de reclamaciones que aparecen en la siguiente tabla, decide qué distribución es aconsejable elegir para ajustar estos datos: \[\begin{array}{|c|c|} \hline \text { Número de reclamaciones } & \text { Frecuencias absolutas } \\ \hline 0 & 96978 \\ 1 & 9240 \\ 2 & 704 \\ 3 & 43 \\ 4 & 0 \\ 4+ & 0 \\ \text { total } & 106974 \\ \hline \end{array}\]

Graficamos

k<-seq(0,3,1)
nk<-c(96978,9240,704,43)
kpk<-c()# vector vacio
for(i in 2:length(nk)){
  kpk[i]<-k[i]*nk[i]/nk[i-1]
}
#GRAFICAMOS
plot(k[2:4],kpk[2:4])

Es una pendiente positiva

Los datos tienen distribucion binomial neg(r,B) \[\mathbb{P}(N=k)=\left(\begin{array}{c}r+k-1 \\ k\end{array}\right)\left(\frac{\beta}{1+\beta}\right)^{r}\left(\frac{1}{1+\beta}\right)^{k} \quad \mathrm{k}=0,1,2, . .\] \[\mathbb{E}(N)=r \beta ; \quad \mathbb{V}(N)=r \beta(1+\beta)\] Hacemos la prueba de bondad de ajuste con Ji cuadrada en la cual suponemos que los datos siguen una distribución binomial negativa, a su vez, necesitamos estimar los parámetros r,B, para ello sacamos la esperanza y varianza

Estimanos parametros Esperanza, Varianza

Calculamos la esperanza

e=c()# vector vacio
for(i in 1:length(nk)){
  e[i]<-k[i]*nk[i]
}
esperanza=sum(e)/106965
esperanza

[1] 0.1007526

Calculamos la varianza

v=c() # vector vacio
for(i in 1:length(nk)){
  v[i]<-((k[i]-esperanza)^2)*nk[i]
}
varianza=sum(v)/106965
varianza

[1] 0.1061767

Estimanos parametros r,B, p

Calculamos el parametro B

\[\beta=\frac{\mathbb{V}(N)}{\mathbb{E}(N)}-1\]

B = (varianza / esperanza)-1
B

[1] 0.05383589

Calculamos el parametro r

\[r=\frac{\mathbb{E}(N)^{2}}{\mathbb{V}(N)-\mathbb{E}(N)}\]

r = (esperanza^2)/(varianza - esperanza)
r

[1] 1.871476

Entonces se distribuyen binomial neg(1.871476 , 0.05383589)

Calculamos el parametro p

\[p=\frac{1}{1+\beta}\]

p=1/(1+B)
p

[1] 0.9489143

Tabla de ji cuadrada para la Bin Negativa

\[H0 :Lafrecuencia observada ~ Bin Neg (r,B) \quad vs\quad Ha: La frecuencia observada ≁ Bin Neg (r,B) \]

Oi=c(96978,9240,704,43)  # Observaciones
Ci=c(0,1,2,3)            # clases
Pi= dnbinom (Ci,r, p)    # Probabilidad Esperada
Pi[4]=1-sum(Pi[1:3])     # Suma de Pi =1, Probabilidad Esperada ajustada
Ei=Pi*sum(Oi)            # Frecuencia Esperada

Tabla de la ji cuadrada

tabla=data.frame(Ci,Oi,Pi,Ei)
colnames(tabla)<-c('Clase','Frecuencia Observada','Probabilidad Esperada','Frecuencia Esperada')
tabla

Calculamos el parametro Estadistico T

EstT<-sum((Oi-Ei)^2/(Ei))
EstT

[1] 1.433034

Prueba de hipotesis

alpha = 0.05# nivel de significancia
q=qchisq(1-alpha,3)                   ## Obtencio´on del cuantil ji_cuadrada
q

[1] 7.814728

Se compara el cuantil, ya que EstT=1.433034 y la región de valor crítico con un nivel de significancia alfa=0.05 es q=χ2(1−0.05)3=7.814728.

\[EstT = 1.433034 < q = χ2(1−0.05)3 = 7.814728\]

Se aceppta HO, Los datos se distribuye binomial neg(1.871476 , 1.053836)

Tambien lo podemos hacer hacer con la funcion

chisq.test (x=Oi , p=Pi) # funcion de la ji - cuadrada

    Chi-squared test for given probabilities

data:  Oi
X-squared = 1.433, df = 3, p-value = 0.6978

Como el p-value nos dio 0.6978 y es mayor a nuestro nivel de significancia α=0.05.

No rechazamos la hipótesis nula. Por tanto, se propone que la frecuencia observada

Se distribuye binomial negativa (1.871476 , 1.053836)