Dosen Pembimbing : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Fakultas : Sains dan Teknologi

Pada artikel kali ini akan dibahas mengenai materi diferensiasi atau biasa kita sebut sebagai turunan dari suatu fungsi. Selain itu, akan dibahas juga tentang penyelesaian turunan dari suatu fungsi tersebut menggunakan macam-macam fungsi yang tersedia di aplikasi R Studio ini. Berikut merupakan penjelasannya.

Diferensiasi (Turunan)

Turunan suatu fungsi berkaitan dengan materi limit fungsi dan gradien garis atau kemiringan garis di suatu titik tertentu. Lalu apa yang dimaksud dengan turunan? Turunan fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tak beraturan. Turunan (diferensial) dipakai sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Dalam sumber lain mengatakan bahwa turunan suatu fungsi adalah gradien garis singgung fungsi tersebut yang berada di suatu titik tertentu.

Konsep Turunan Suatu Fungsi

Perhatikan gambar di bawah ini!

Grafik fungsi di atas kita misalkan sebagai fungsi f(x) kontinu. Lalu, terdapat garis yang memotong fungsi f(x) tersebut di dua titik, yaitu titik A dan titik B. Garis yang memotong kurva tersebut bisa diberi nama garis secan atau garis AB. Garis AB mempunyai gradien atau kemiringan tertentu dan karena titik koordinat x dan y sudah diketahui nilainya maka rumus untuk memeroleh gradien garis AB berubah menjadi sebagai berikut.

Kemudian, jika garis A dan B digeser saling berdekatan satu sama lain, maka lama kelamaan yang awalnya memotong fungsi f(x) di dua titik maka menjadi dapat memotong fungsi f(x) di satu titik saja yang dapat disebut garis tangen.

Dari perlakuan tersebut maka h akan mendekati nilai nol. Oleh karena itu, digunakanlah konsep limit sehingga rumusnya menjadi di bawah ini.

Nah, gradien garis singgung inilah yang disebut sebagai turunan fungsi.

Rumus Turunan Suatu Fungsi

Turunan suatu fungsi dinotasikan dengan f’(x) atau y’ atau d(f(x))/dx dibaca turunan fungsi f(x) atau dy/dx dibaca turunan dari y. Rumus turunan dari suatu fungsi yaitu sebagai berikiut.

Aturan Turunan Suatu Fungsi

Terdapat beberapa aturan dasar dalam turunan suatu fungsi yaitu sebagai berikut.

Aturan Turunan Suatu Fungsi Trigonometri

Selain itu, terdapat juga aturan dalam turunan suatu fungsi trigonometri, seperti sin, cos, tan, dan lainnya yaitu sebagai berikut.

Macam-Macam Fungsi Penyelesaian Turunan Fungsi

Terdapat sejumlah fungsi R yang dapat digunakan untuk menghitung turunan suatu persamaan matematik atau suatu fungsi. Fungsi-fungsi tersebut tersedia dalam sejumlah Paket, baik base package maupun yang berasal dari Paket lainnya. Fungsi- fungsinya yaitu sebagai berikut.

1. Diferensiasi Metode Titik Pusat Mengggunakan Fungsidiff()
2. Diferensiasi Menggunakan Fungsi findiff()
3. DIferensiasi Menggunakan Paket pracma

Selanjutnya, akan dijelaskan satu demi satu fungsi tersebut.

1. Diferensiasi Metode Titik Pusat Mengggunakan Fungsidiff()

Fungsi diff() pada Paket base dapat digunakan untuk menghitung turunan suatu persamaan menggunakan metode titik pusat. Fungsi ini pada umumnya digunakan untuk menghitung lag suatu data runtun waktu. Agar fungsi tersebut dapat digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu persamaan, kita dapat menggunakan argumen lag = 2. Berikut adalah contoh penerapan fungsi diff() untuk memperoleh turunan pertama persamaan matematik. Sintaks dari fungsi diff() yaitu sebagai berikut.

Contoh Soal :
f(x) = e^-x(sin(2x)) + 1
f <- function(x){exp(-x)*sin(2*x)+1}
x <- 1
h <- x*.Machine$double.eps^(1/3)
xvec <- seq(x-h, x+h, h)

# turunan pertama
diff(f(xvec), lag=2)/(2*h)
## [1] -0.6406956

2. Diferensiasi Menggunakan Fungsi findiff()

Untuk menyelesaikan penyelesaian deferensiasi dapat juga menggunakan Fungsi findiff() dengan sintaks sebagai berikut.

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

Untuk mengujinya maka kita gunakan satu contoh soal seperti di bawah ini.

Contoh Soal :
f(x) = e^-x(sin(2x)) + 1
findiff(function(x)
  exp(-x)*sin(2*x)+1, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] -0.6390352

3. Diferensiasi Menggunakan Paket pracma

Terdapat sejumlah fungsi pada Paket pracma yang dapat digunakan untuk melakukan diferensiasi suatu persamaan matematik. Fungsi-fungsi yang dapat digunakan untuk melakukan diferensiasi sederhana antara lain: fderiv(), numderiv(), numdiff(), dan grad(). Namun, fungsi-fungsi di atas belum bisa langsung digunakan karena paket belum terinstall. Oleh karena itu, hal pertama yang harus dilakukan adalah dengan menginstall Paket pracma di R Studio.

Demikian adalah penjelasan mengenai suatu turunan atau diferensiasi fungsi serta macam-macam fungsi yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya. Semoga Bermanfaat. Terima kasih.

Daftar Pustaka