Problema 01.

a) Intervalo de frecuencias para datos discretos

DatosA <- c(224,231,217,239,243,251,263,223,247,254,230,246,
     250,249,233,266,227,228,253,264,248,250,215,248,
     223,259,264,255,246,230,245,257,264,242,252,241,
     269,246,245,238,257,217,236,247,242,217,258,233,
     249,219,240,234,246,234,257,253,249,258,236,248)

table(DatosA)
## DatosA
## 215 217 219 223 224 227 228 230 231 233 234 236 238 239 240 241 242 243 245 246 
##   1   3   1   2   1   1   1   2   1   2   2   2   1   1   1   1   2   1   2   4 
## 247 248 249 250 251 252 253 254 255 257 258 259 263 264 266 269 
##   2   3   3   2   1   1   2   1   1   3   2   1   1   3   1   1
hist(DatosA, col=3,
     main="Histograma",
     xlab="intervalos",
     ylab="frecuencia")

b) Intervalo de frecuencias para datos continuos

DatosB <- c(0.30411374, 0.51606518, 0.56392491, 0.29468463, 0.4821842, 0.6921651, 0.22089567, 0.99191072, 0.10073276, 0.60045627, 0.21836891, 0.54391847, 0.45495702, 0.16788838, 0.19561009, 0.72118958, 0.45454786, 0.08792726, 0.90741603, 0.39834418, 0.98613001, 0.8325779, 0.58765334, 0.15720996, 0.27825199, 0.78414234, 0.77480147, 0.98775017, 0.28951908, 0.23680504, 0.6487315, 0.7136365, 0.21035474, 0.81136063, 0.35171609, 0.79116935, 0.82042734, 0.22990267, 0.41794904, 0.62959771)

table(DatosB)
## DatosB
## 0.08792726 0.10073276 0.15720996 0.16788838 0.19561009 0.21035474 0.21836891 
##          1          1          1          1          1          1          1 
## 0.22089567 0.22990267 0.23680504 0.27825199 0.28951908 0.29468463 0.30411374 
##          1          1          1          1          1          1          1 
## 0.35171609 0.39834418 0.41794904 0.45454786 0.45495702  0.4821842 0.51606518 
##          1          1          1          1          1          1          1 
## 0.54391847 0.56392491 0.58765334 0.60045627 0.62959771  0.6487315  0.6921651 
##          1          1          1          1          1          1          1 
##  0.7136365 0.72118958 0.77480147 0.78414234 0.79116935 0.81136063 0.82042734 
##          1          1          1          1          1          1          1 
##  0.8325779 0.90741603 0.98613001 0.98775017 0.99191072 
##          1          1          1          1          1
d<-length(DatosB)
intervalos<-trunc(d^0.5+.999)
R<-diff(range(DatosB))
A=R/intervalos
bb=min(DatosB)+(0:intervalos)*A
h=hist(DatosB,breaks=bb)

Problema 02.

El ejercicio se trata de una Distribución Binomial Negativa.

La variable aleatoria X representa el número de transacciones realizados por el sistema.

La probabilidad de éxito es p = 0.1

El número de computadoras disponibles es R = 3

Graficando la distribución de densidad:

dnbinom(0:80,3,0.1)
##  [1] 0.0010000000 0.0027000000 0.0048600000 0.0072900000 0.0098415000
##  [6] 0.0124002900 0.0148803480 0.0172186884 0.0193710244 0.0213081269
## [11] 0.0230127770 0.0244772265 0.0257010878 0.0266895912 0.0274521509
## [16] 0.0280011940 0.0283512089 0.0285179807 0.0285179807 0.0283678861
## [21] 0.0280842072 0.0276830043 0.0271796769 0.0265888144 0.0259240940
## [26] 0.0251982194 0.0244228895 0.0236087932 0.0227656220 0.0219020984
## [31] 0.0210260145 0.0201442784 0.0192629662 0.0183873769 0.0175220885
## [36] 0.0166710157 0.0158374649 0.0150241897 0.0142334428 0.0134670267
## [41] 0.0127263402 0.0120124236 0.0113259994 0.0106675110 0.0100371581
## [46] 0.0094349286 0.0088606286 0.0083139090 0.0077942897 0.0073011815
## [51] 0.0068339059 0.0063917120 0.0059737924 0.0055792967 0.0052073435
## [56] 0.0048570313 0.0045274471 0.0042176744 0.0039268003 0.0036539209
## [61] 0.0033981465 0.0031586050 0.0029344459 0.0027248427 0.0025289946
## [66] 0.0023461288 0.0021755013 0.0020163975 0.0018681329 0.0017300535
## [71] 0.0016015353 0.0014819841 0.0013708353 0.0012675531 0.0011716302
## [76] 0.0010825863 0.0009999679 0.0009233470 0.0008523203 0.0007865082
## [81] 0.0007255538
plot(dnbinom(0:80,3,0.1))

De acuerdo a la tablulación de datos y al gráfico de la distribución, se concluye que el número medio de transacciones exitosas antes de que todas las computadoras hayan fallado es cuando x-r = 18, por tener la probabilidad más alta (P(x-r=18)=0.0285179807).

Por lo tanto, x-3=18 –> X = 21.

Esto significa que el número medio de transacciones exitosas antes de que todas las computadoras hayan fallado es 20, pues en el evento número 21 fallaría la 3ra computadora.

Problema 03.

Se tiene una Distribución Normal con las siguientes características:

La media es 1.5 voltios.

La desviación estándar es 0.02 voltios.

Hallando P(1.55 > x > 1.45)

pnorm(1.55,1.5,0.02)-pnorm(1.45,1.5,0.02)
## [1] 0.9875807

Graficando P(1.55 > x > 1.45)

mu= 1.5
desv= 0.02

# Gráfico de la densidad normal
curve(dnorm(x,mu,desv),1.4,1.6,n=100)

# Gráfico del área
x<-seq(1.45,1.55,0.01)
y<-dnorm(x,mu,desv)
polygon(c(1.45,x,1.55),c(0,y,0),col="yellow")

Problema 04.

a) Número de avistamientos de cigueñas

Se tiene la variable aleatoria X = número de avistamientos de cigueñas.

Lambda = 2.3 avistamientos/año.

Tiempo medio entre avistamientos:

Por regla de 3 simple (División: 1/2.3), se tendría en promedio 1 avistamiento cada 0.4347 años, es decir, cada 5.2 meses.

Probabilidad de que no hayan avistamientos en tres meses (0.25 años)

Por regla de 3 simple, el lambda corregido para este problema sería 0.575 (Multiplicación: 2.3*0.25).

Se pide: P(X=0) cuando lambda = 0.575.

dpois(0,0.575)
## [1] 0.5627049

b) Vida útil de un conjunto mecánico

Se tiene la variable aleatoria X = número de fallas, sabiendo que UNA falla significa que pierde su vida útil.

Lambda = 1 falla cada 400 horas = 0.0025 fallas/hora

dpois(1,0.0025) # Probabilidad de que exista 1 falla en 1 hora
## [1] 0.002493758

Probabilidad de que exista una falla en 100 horas:

Para un periodo de 100 horas el lambda es = 0.25 (Multiplicación: 0.0025*100)

dpois(1,0.25) # Probabilidad de que exista 1 falla en 100 horas
## [1] 0.1947002