Exame 2: Análise de Dados
Júlio César G. Marques
Sunday, May 25, 2015
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Questão 1:
A resistência a tração de um determinado tipo de cimento está sendo analisada. Quatro técnicas de mistura possuem viabilidade econcômica para serem utilizadas. Os seguintes dados foram coletados:
(a) Teste a hipótese de que as técnicas de mistura afetam a resistência a tração. Use alpha = 5%.
Solução:
As hipóteses nula e alternativa para este experimento são:
H0: muTec1 = muTec2 = muTec3 = muTec4 (as médias das técnicas de mistura são iguais)
Ha: Que pelo menos uma técnica de mistura apresenta média diferente
#Definindo diretório
setwd("G:\\MestradoIFMG\\Exame2")
#Importando os dados
tecs = read.table("tecs.txt",h=TRUE)
str(tecs)## 'data.frame': 16 obs. of 2 variables:
## $ Tec : Factor w/ 4 levels "Tec1","Tec2",..: 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 ...
## $ Tracao: int 3129 3000 2865 2890 3200 3300 2975 3150 2800 2900 ...tecs## Tec Tracao
## 1 Tec1 3129
## 2 Tec1 3000
## 3 Tec1 2865
## 4 Tec1 2890
## 5 Tec2 3200
## 6 Tec2 3300
## 7 Tec2 2975
## 8 Tec2 3150
## 9 Tec3 2800
## 10 Tec3 2900
## 11 Tec3 2985
## 12 Tec3 3050
## 13 Tec4 2600
## 14 Tec4 2700
## 15 Tec4 2600
## 16 Tec4 2765#Pacotes que serão utilizados
library(agricolae)## Warning: package 'agricolae' was built under R version 3.1.3library(doBy)## Warning: package 'doBy' was built under R version 3.1.3## Loading required package: survival## Warning: package 'survival' was built under R version 3.1.3#Construindo Boxplots múltiplos
boxplot(Tracao~Tec,data=tecs,col="lightblue")
# aov:estima o modelo linear
modtecs<-aov(Tracao~Tec,data=tecs)
# Exibe a Tabela da ANAVA
summary(modtecs)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Tec 3 489740 163247 12.73 0.000489 ***
## Residuals 12 153908 12826
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Considerações: Rejeita-se a hipótese nula, pois 0.05 > 0.000489. As técnicas de mistura afetam a resistência a tração, pois a probabilidade de H0 ser verdeira é menor que 1%.
(b) Use o teste da diferença mínima significativa de Fisher com correção de bonferroni para fazer comparações entre os pares de médias.
Solução:
#Teste de Fisher
test = LSD.test(modtecs,"Tec",p.adj="bon",console=TRUE)##
## Study: modtecs ~ "Tec"
##
## LSD t Test for Tracao
## P value adjustment method: bonferroni
##
## Mean Square Error: 12825.69
##
## Tec, means and individual ( 95 %) CI
##
## Tracao std r LCL UCL Min Max
## Tec1 2971.00 120.55704 4 2847.624 3094.376 2865 3129
## Tec2 3156.25 135.97641 4 3032.874 3279.626 2975 3300
## Tec3 2933.75 108.27242 4 2810.374 3057.126 2800 3050
## Tec4 2666.25 80.97067 4 2542.874 2789.626 2600 2765
##
## alpha: 0.05 ; Df Error: 12
## Critical Value of t: 3.152681
##
## Least Significant Difference 252.4675
## Means with the same letter are not significantly different.
##
## Groups, Treatments and means
## a Tec2 3156
## a Tec1 2971
## a Tec3 2934
## b Tec4 2666bar.group(test$groups,ylim=c(0,3700))
Considerações: De acordo com o teste de Fisher o dms foi 252.4675.Houve 3 médias com mesma letra indicando que as médias das técnicas 1, 2 e 3 não são significativamente diferentes, pois estatisticamente são próximos.
(c) Construa um gráfico quantil-quantil dos resíduos do modelo, quais as conclusões sobre a validade da hipótese de normalidade?
Solução:
#Verificando normalidade e variâncias homogêneas
plot(modtecs,which=2) 
Considerações:Observando o gráfico quantil-quantil nota-se que os os valores dos resíduos apresentam uma forte evidência de distribuição aparentemente normal.
(d) Faça um gráfico dos resíduos contra os valores previstos pelo modelo e comente o resultado.
Solução:
plot(modtecs,which=1) # Residuos x Valores previstos
Considerações:Observando o gráfico resíduos x valores previstos nota-se que os os valores dos resíduos flutuam em torno de 0 com forte evidência que o modelo está adequado apresentando dados com variâncias homogêneas.
(e) Relate as conclusões finais do experimento.
Solução:
#Teste de Tukey
test2=TukeyHSD(modtecs)
test2## Tukey multiple comparisons of means
## 95% family-wise confidence level
##
## Fit: aov(formula = Tracao ~ Tec, data = tecs)
##
## $Tec
## diff lwr upr p adj
## Tec2-Tec1 185.25 -52.50029 423.00029 0.1493561
## Tec3-Tec1 -37.25 -275.00029 200.50029 0.9652776
## Tec4-Tec1 -304.75 -542.50029 -66.99971 0.0115923
## Tec3-Tec2 -222.50 -460.25029 15.25029 0.0693027
## Tec4-Tec2 -490.00 -727.75029 -252.24971 0.0002622
## Tec4-Tec3 -267.50 -505.25029 -29.74971 0.0261838plot(test2)
Considerações:Realizando uma análise mais rigorosa pelo teste de Tukey corroborada pelo Teste de Fisher, observa-se que as técnicas de mistura que menos afetam a resistência a tração para um certo tipo de cimento são as técnicas 1, 2 e 3, sendo as mais indicadas após a realização do experimento.
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Questão 2:
Um fabricante de ligas de alumínio produz refinadores de grãos em forma de lingote. A empresa produz usando em quatro fornos. Cada forno é conhecido por ter características operacionais únicas, portanto, qualquer experimento executado na fundição que envolva mais de um forno, irá considerá-los como um fator de perturbação. Os engenheiros responsáveis pelo processo de produção suspeitam que a velocidade de agitação afeta o tamanho de grão do produto. Cada forno pode ser executado em quatro taxas de agitação diferentes. Um delineamento em blocos aleatorizados foi para um refinador particular e o tamanho do grão resultante é exibido no quadro abaixo:
# Pacotes que serão utilizados
library(agricolae)
library(ggplot2)## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 3.1.3library(asbio)## Warning: package 'asbio' was built under R version 3.1.3## Loading required package: tcltk(a) Há alguma evidência de que as taxas de agitação afetam o tamanho do grão?
Solução:
#Importando os dados
delineamento <- read.table("furnace_rpm.txt",h=T)
#Verificando os dados
str(delineamento)## 'data.frame': 16 obs. of 3 variables:
## $ rpm : Factor w/ 4 levels "R10","R15","R20",..: 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 ...
## $ Forno: Factor w/ 4 levels "F1","F2","F3",..: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 ...
## $ y : int 8 4 5 6 14 5 6 9 14 6 ...summary(delineamento)## rpm Forno y
## R10:4 F1:4 Min. : 2.000
## R15:4 F2:4 1st Qu.: 5.000
## R20:4 F3:4 Median : 6.000
## R5 :4 F4:4 Mean : 7.688
## 3rd Qu.: 9.000
## Max. :17.000delineamento## rpm Forno y
## 1 R5 F1 8
## 2 R5 F2 4
## 3 R5 F3 5
## 4 R5 F4 6
## 5 R10 F1 14
## 6 R10 F2 5
## 7 R10 F3 6
## 8 R10 F4 9
## 9 R15 F1 14
## 10 R15 F2 6
## 11 R15 F3 9
## 12 R15 F4 2
## 13 R20 F1 17
## 14 R20 F2 9
## 15 R20 F3 3
## 16 R20 F4 6#Análise Gráfica dos Gráficos
#Boxplot:y x rpm
ggplot(delineamento,aes(x=rpm,y=y, fill=rpm))+ geom_boxplot()
#Boxplot:y x forno
ggplot(delineamento, aes(x=Forno,y=y, fill=Forno))+geom_boxplot()
#Verificando Interação entre Blocos e Níveis do Fator(delineamento)
interaction.plot(delineamento$rpm,delineamento$Forno, delineamento$y,fixed=TRUE)
#Teste de Aditividade de Tukey
# Testa H0 : Não há efeito interação (para ver de fato se tem interação)
tukey.add.test(delineamento$y, delineamento$rpm, delineamento$Forno)##
## Tukey's one df test for additivity
## F = 2.9804177 Denom df = 8 p-value = 0.1225519Considerações:Em análise ao gráfico de interação observa-se que as linhas representativas do refinamento de grãos por meio dos fornos 2, 3 e 4 se cruzam mostrando que há forte evidência de interação rejeitando-se a hipótese nula de que todas as taxas de rotação proporcionam o mesmo tamanho de grãos e médias iguais. Em análise pela estimação do modelo com blocagem dos fornos há forte evidência que as taxas de agitação (rpm) afetam o tamanho do grão, principalmente para o forno 1.
(b) Faça os gráficos apropriados e execute testes para verificar a normalidade e homogeneidade de variância dos resíduos. Comente os resultados.
Solução:
#Estimação do Modelo com blocagem dos fornos
mdbcf <- aov(y~rpm+Forno,data=delineamento)
summary(mdbcf)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## rpm 3 22.19 7.40 0.853 0.4995
## Forno 3 165.19 55.06 6.348 0.0133 *
## Residuals 9 78.06 8.67
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#Análise Gráfica da Normalidade e Homogeneidade das Variâncias
plot(mdbcf,which=1) # Residuos x Valores previstos
plot(mdbcf,which=2) # Gráfico qqplot (os resíduos tem distribuição aparentemente normal) 
#Teste de Shapiro Wilks (verificar se os resíduos tem distribuição normal)
shapiro.test(mdbcf$residuals)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: mdbcf$residuals
## W = 0.9301, p-value = 0.2447#Teste de Bartlett
#bartlett.test(y~interaction(rpm,Forno),data=delineamento)
#Não foi possível realizar, pois deve haver ao menos duas observações em cada grupo.
#Teste de Tukey Agricolae
HSD.test(mdbcf,"rpm",group=TRUE,console=TRUE)##
## Study: mdbcf ~ "rpm"
##
## HSD Test for y
##
## Mean Square Error: 8.673611
##
## rpm, means
##
## y std r Min Max
## R10 8.50 4.041452 4 5 14
## R15 7.75 5.057997 4 2 14
## R20 8.75 6.020797 4 3 17
## R5 5.75 1.707825 4 4 8
##
## alpha: 0.05 ; Df Error: 9
## Critical Value of Studentized Range: 4.41489
##
## Honestly Significant Difference: 6.501145
##
## Means with the same letter are not significantly different.
##
## Groups, Treatments and means
## a R20 8.75
## a R10 8.5
## a R15 7.75
## a R5 5.75#CV do Pacote Agricolae (coeficiente de variação)
cv.model(mdbcf)## [1] 38.31024Considerações:Em análise ao gráfico de resíduos x valores previstos observa-se que o modelo captou bem os dados demonstrando uma forte evidência de homogeneidade dos dados. Em análise ao gráfico normal Q-Q pode-se considerar que há uma forte evidência que a distribuição dos resíduos do modelo seguem uma distribuição normal. Com a realização do teste de Shapiro Wilks observa-se que o valor de p-value foi de 0.2447 que é superior a 0.05, portanto não se rejeita a hipótese nula o que também evidencia que os resíduos possuem distribuição aparentemente normal. O teste de barlett foi experimentado, mas não foi possível realizá-lo porque são necessários pelo menos duas observações em cada grupo de blocos.
(c) O que os engenheiros deveriam recomendar em relação a escolha da taxa de agitação e do forno para este refinador de grão em particular, se deseja-se um pequeno tamanho para o grão produzido?
Solução:
#Teste de Tukey Agricolae
HSD.test(mdbcf,"rpm",group=TRUE,console=TRUE)##
## Study: mdbcf ~ "rpm"
##
## HSD Test for y
##
## Mean Square Error: 8.673611
##
## rpm, means
##
## y std r Min Max
## R10 8.50 4.041452 4 5 14
## R15 7.75 5.057997 4 2 14
## R20 8.75 6.020797 4 3 17
## R5 5.75 1.707825 4 4 8
##
## alpha: 0.05 ; Df Error: 9
## Critical Value of Studentized Range: 4.41489
##
## Honestly Significant Difference: 6.501145
##
## Means with the same letter are not significantly different.
##
## Groups, Treatments and means
## a R20 8.75
## a R10 8.5
## a R15 7.75
## a R5 5.75Considerações:Realizando o teste de Tukey Agricolae, observa-se que, estatisticamente, não há diferença significativa entre as médias podendo ser utilizadas quaisquer taxas de agitação para os refinadores. Mas, observando o gráfico boxplot “y x rpm” anterior nota-se quanto maior a taxa de agitação maior será a probabilidade de variação do tamanho dos grãos. Observando o gráfico boxplot “y x forno” anterior nota-se que o Forno 1 apresentou refinamento dos grãos em tamanho maior do que nos fornos 2, 3 e 4. Conclui-se que os engenheiros deveriam recomendar, para que se deseje o tamanho pequeno dos grãos, o refinamento pelo forno 4 é com taxa de agitação/rotação de 15 rpm conforme observado no gráfico de interação plotado na resolução (a).
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Questão 3:
Um engenheiro está tentando otimizar a produção de um processo químico. Ele avaliou que as duas variáveis mais importantes foram a temperatura e a pressão do processo. Três níveis de cada fator foram selecionados e um experimento fatorial com duas repetições foi executado. Os dados foram os seguintes:
(a) Analise os dados do experimento e tire as conclusões apropriadas. Use alpha = 5%.
Solução:
#Importando os dados
pquimico <- read.table("psig_temp.txt",h=TRUE)
#Verificando os dados
str(pquimico)## 'data.frame': 18 obs. of 3 variables:
## $ y : num 90.4 90.2 90.7 90.6 90.2 90.4 90.1 90.3 90.5 90.6 ...
## $ psig: int 200 200 215 215 230 230 200 200 215 215 ...
## $ temp: int 150 150 150 150 150 150 160 160 160 160 ...summary(pquimico)## y psig temp
## Min. :89.90 Min. :200 Min. :150
## 1st Qu.:90.20 1st Qu.:200 1st Qu.:150
## Median :90.40 Median :215 Median :160
## Mean :90.41 Mean :215 Mean :160
## 3rd Qu.:90.60 3rd Qu.:230 3rd Qu.:170
## Max. :90.90 Max. :230 Max. :170pquimico## y psig temp
## 1 90.4 200 150
## 2 90.2 200 150
## 3 90.7 215 150
## 4 90.6 215 150
## 5 90.2 230 150
## 6 90.4 230 150
## 7 90.1 200 160
## 8 90.3 200 160
## 9 90.5 215 160
## 10 90.6 215 160
## 11 89.9 230 160
## 12 90.1 230 160
## 13 90.5 200 170
## 14 90.7 200 170
## 15 90.8 215 170
## 16 90.9 215 170
## 17 90.4 230 170
## 18 90.1 230 170#Convertendo Pressão e Temperatura para Fatores
pquimico$psig <-as.factor (pquimico$psig)
pquimico$temp <-as.factor (pquimico$temp)
#Conferindo
str(pquimico)## 'data.frame': 18 obs. of 3 variables:
## $ y : num 90.4 90.2 90.7 90.6 90.2 90.4 90.1 90.3 90.5 90.6 ...
## $ psig: Factor w/ 3 levels "200","215","230": 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 ...
## $ temp: Factor w/ 3 levels "150","160","170": 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ...# Análise Gráfica dos Dados
interaction.plot(pquimico$psig,pquimico$temp,pquimico$y,type="b",pch=19,fixed=T,xlab="Pressão(psig)",ylab="Resultados")
#Estimação do Modelo:Forma 1
pquimico.aov <- aov(y~temp+psig+temp:psig,data=pquimico)
summary(pquimico.aov)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## temp 2 0.3011 0.1506 8.469 0.008539 **
## psig 2 0.7678 0.3839 21.594 0.000367 ***
## temp:psig 4 0.0689 0.0172 0.969 0.470006
## Residuals 9 0.1600 0.0178
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#Estimação do Modelo:Forma 2
pquimico.aov<-aov(y~psig*temp,data=pquimico)
#Tabela da ANAVA
summary(pquimico.aov)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## psig 2 0.7678 0.3839 21.594 0.000367 ***
## temp 2 0.3011 0.1506 8.469 0.008539 **
## psig:temp 4 0.0689 0.0172 0.969 0.470006
## Residuals 9 0.1600 0.0178
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Considerações:Realizando o teste F, conforme demonstrado pela tabela ANAVA para as duas formas de estimação do modelo, observa-se que os valores Pr(>F) para temperatura x pressão (quando combinados) foram superiores a 5%, ou seja 47%, não rejeitando-se a hipótese nula para que os processos químicos realizados em condições de temperatura e pressão diferentes tenham otimização, ou seja resultados de eficiência semelhantes. Em análise ao gráfico de interação, observa-se que os melhores resultados dos processos químicos foram obtidos quando submetidos a pressão de 215 psig nas temperaturas de 150 e 170 graus celsius.
(b) Analise os resíduos do modelo ajustado e comente sobre a adequação do modelo.
Solução:
plot(pquimico.aov, which=1) #Gráfico de residuos x valores previstos
plot(pquimico.aov, which=2) #Gráfico qq norm
#Teste de Shapiro Wilks:
shapiro.test(pquimico.aov$residuals)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: pquimico.aov$residuals
## W = 0.8737, p-value = 0.02046#Teste de Fligner Killeen: H0: Variânciados resíduos é homogênea
fligner.test(y~interaction(psig,temp),data=pquimico)##
## Fligner-Killeen test of homogeneity of variances
##
## data: y by interaction(psig, temp)
## Fligner-Killeen:med chi-squared = 14.8694, df = 8, p-value =
## 0.06174Considerações:Em análise ao gráfico de resíduos x valores previstos observa-se que o modelo captou bem os dados demonstrando uma forte evidência de homogeneidade entre as variâncias, assim como observados no valor de p-value 0,06174 do teste de Fligner Killeen. Em análise ao gráfico normal Q-Q pode-se considerar que há uma forte evidência que a distribuição dos resíduos do modelo não seguem uma distribuição normal. Com a realização do teste de Shapiro Wilks observa-se que o valor de p-value foi de 0.02046 que é inferior a 0.05, portanto rejeita-se a hipótese nula o que também evidencia que os resíduos não possuem distribuição aparentemente normal.Como houve divergência entres os resultados dos testes aplicados sugere-se adequação do modelo.
(c) Sob quais condições dos fatores analisados o engenheiro deveria recomendar a operação do processo?
Solução:
#Gráfico dos Efeitos Pacote effects
library(effects) ## Warning: package 'effects' was built under R version 3.1.3#Gráficos dos Efeitos R base
plot.design(y~psig*temp,data=pquimico)
#Gráfico de Efeitos
plot(allEffects(pquimico.aov))
Considerações:Em análise ao gráfico de todos os efeitos os resultados dos processos químicos foi menor quando submetido a pressão de 200 e 230 psig para a temperatura de 160 graus celsius e maior quando submetido a pressão de 215 psig na temperatura de 170 graus celsius, onde se obteve o melhor resultado, no qual deverá ser recomendado pelo engenheiro para a operação do processo.