Objetivo

Realizar operaciones de conjunto y con el resultado estimar e interpretar probabilidades.

Descripción

  • Se cargan las librerías necesarias para ejecutar funciones

  • Generar conjuntos de datos

  • Construir todo el espacio muestral llamado S.muestra

  • Realizar operaciones de conjuntos

  • Estimar probabilidades con los conjuntos.

  • Interpretar probabilidades

Marco teórico

Operación Union U.

El conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B, o tanto a A como a B, se llama la unión de A y B y se escribe A ∪ B.

En la unión si hay elementos repetidos sólo se deja uno de ellos.

Operación intersección ∩

El conjunto de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B se llama la intersección de A y B y se escribe A ∩ B.

Operación diferencia -

El conjunto que consiste en todos los elementos de A que no pertenecen a B se llama la diferencia de A y B y se escribe A – B.

Operación complemento [C ó ´]

Son todos los conjuntos con los elementos que no están en A y se escribe A’ ó C A. Son todos los elementos que faltan y que no están en A para complementar todo el espacio muestral.

Desarrollo

Cargar librerías

# install.packages("dplyr")
library(dplyr)

Crear uno vectores en R con los conjuntos de datos de nombres de personas que participan en actividades deportivas y culturales.

Los vectores en R, representan los conjuntos, luego, se hacen operaciones sobre los mismos, finalmente se determina probabilidades que representan probabilidades de acuerdo a los resultados de las operaciones con los conjuntos.

  • B Basquetbol

  • F Futbol

  • K Karate

  • D Danza

B <- c("Hugo", "Paty", "Paco", "Luis")
F <- c("Guadalupe", "Luis", "Javier", "Marco", "Aurelio")
K <- c("Marco", "Mary", "Lucy")
D <- c("Lucy", "Mary")

Mostrar los vectores a manera de conjuntos

B
## [1] "Hugo" "Paty" "Paco" "Luis"
F
## [1] "Guadalupe" "Luis"      "Javier"    "Marco"     "Aurelio"
K
## [1] "Marco" "Mary"  "Lucy"
D
## [1] "Lucy" "Mary"

Construir el espacio muestral

Con todos los elementos de todos los conjuntos determinar el espacio muestral. Con la función unique() se eliminan los repetidos y con la función c() de concatenar se integran todos los nombres a un solo conjunto de datos.

S.muestral <- unique(c(B, F, K, D))
S.muestral
##  [1] "Hugo"      "Paty"      "Paco"      "Luis"      "Guadalupe" "Javier"   
##  [7] "Marco"     "Aurelio"   "Mary"      "Lucy"
N <- length(S.muestral)
N
## [1] 10

Unión entre conjuntos

La unión entre conjuntos se representa por la literal U.

Union Basquetbol y Karate

BUK <- union(B, K)
BUK
## [1] "Hugo"  "Paty"  "Paco"  "Luis"  "Marco" "Mary"  "Lucy"

BUK es a unión de los conjuntos Basquetbol con Karate y n es la cantidad de eventos de ese conjunto resultante.

n <- length(BUK)
n
## [1] 7

Determinando la probabilidad de BUK.

P.BUK <- n/N
paste("Existen ", n,  " elementos de BUK, ", " lo que representa la probabilidad de ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Existen  7  elementos de BUK,   lo que representa la probabilidad de  70 %"

Karate union con Danza

KUD es la unión de Karate con Danza y n es la cantidad de eventos de ese conjunto

KUD <- union(K, D)
n <- length(KUD)
n
## [1] 3

Determinando la probabilidad

P.KUD <- n/N
paste("Existen ", n,  " elementos de KUD, ", " lo que representa la probabilidad de ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Existen  3  elementos de KUD,   lo que representa la probabilidad de  30 %"

Intersección entre conjuntos

La intersección entre conjuntos representa por el símbolo matemático ∩ y con la letra I de instersección.

Intersección de Basquetbol con Futbol

¿Cuáles y cuántas personas juegan Basquetbol y Futbol y que probabilidad representan?

BIF <- intersect(B, F)
BIF
## [1] "Luis"
n <- length(BIF)
n
## [1] 1

Determinando la probabilidad del conjunto BIF

paste ("Hay ", n, " personas que juegan Basquetbl y Futbol, de un total de ", N, " lo que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Hay  1  personas que juegan Basquetbl y Futbol, de un total de  10  lo que representa el  10 %"

Intersección de Karate con Danza

¿Cuáles y cuántas personas practican Krate y Danza y que probabilidad representan?

KID <- intersect(K, D)
KID
## [1] "Mary" "Lucy"
n <- length(KID)
n
## [1] 2

Determinando la probabilidad del conjunto KID

paste ("Hay ", n, " personas que juegan Karate y Danza, de un total de ", N, " lo que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Hay  2  personas que juegan Karate y Danza, de un total de  10  lo que representa el  20 %"

Diferencia entre conjuntos

La operación de diferencia se representa matemáticamente con el símbolo de - y en código de R se usarán la frase símbolo ‘dif’ como parte de la variable.

Basquetbol menos Futbol

BdifF <- setdiff(B, F)
BdifF
## [1] "Hugo" "Paty" "Paco"
n <- length(BdifF)
n
## [1] 3

Determinando la probabilidad del conjunto BdifF

paste ("Hay ", n, " personas están en Basquetbol y que no están en Futbol de un total de ", N, " lo que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Hay  3  personas están en Basquetbol y que no están en Futbol de un total de  10  lo que representa el  30 %"

Basquetbol menos Karate

BdifK <- setdiff(B, K)
BdifK
## [1] "Hugo" "Paty" "Paco" "Luis"
n <- length(BdifK)
n
## [1] 4

Determinando la probabilidad del conjunto BdifK

paste ("Hay ", n, " personas están en Basquetbol y que no están en Karate de un total de ", N, " lo que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Hay  4  personas están en Basquetbol y que no están en Karate de un total de  10  lo que representa el  40 %"

Complemento entre conjuntos

Significa determinar los elementos que no están en un conjunto para complementar otro conjunto o de todo el espacio muestral.

En R se rerpesentará con la letra C

Completo de Basquetbol

Todos los que no están en Basquetbol CB. Para encontrar el complemento se reutiliza la función setdiff() que en realidad encuentra aquellos que no están en otro subconjunto.

CB <- setdiff(S.muestral, B)
CB
## [1] "Guadalupe" "Javier"    "Marco"     "Aurelio"   "Mary"      "Lucy"
n <- length(CB)
n
## [1] 6
paste ("El complemento de Basquetbol tiene", n , " elementos que representan ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "El complemento de Basquetbol tiene 6  elementos que representan  60 %"

La probabilidad de complemento de un conjunto es restar su probabilidad a 1:

\[ Complemento.Basquetbol = 1 - P(Basquetbol) \]

paste("Matemáticamente de acuerdo a fórmula de complemento es lo mismo que 1-P(Basquetbol)", 1 - length(B) / N, " representando el ", (1 - length(B) / N) * 100, "%") 
## [1] "Matemáticamente de acuerdo a fórmula de complemento es lo mismo que 1-P(Basquetbol) 0.6  representando el  60 %"

Interpretación

  1. ¿Qué representa cada operación de las vistas en el caso?

La operación union significa juntar los elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto de datos, aquellos elementos que están repetidos, es decir que pertenecen a ambos conjuntos sólo se toma en cuenta uno de ellos.

La operación Intersección tiene que ver con los elementos que se repiten en uno y otro conjunto.

La operación diferencia son los elementos que pertenecen a un conjunto y que no pertenecen al segundo conjunto.

La operación complemento son los elementos que le faltan para complementar o completar un conjunto mas grande.

  1. ¿Para qué usar operaciones de conjuntos en términos de probabilidad?

Para identificar con el resultado de las operaciones la cantidad de sucesos o eventos que existe y con ello poder determinar en razón de la cantidad total del espacio muestral su probabilidad \(\frac{n}{N}\)

  1. Qué es mas probable:

3.1. ¿Que exista una persona que participe en Karate o Futbol (union) o que exista una persona de la diferencia entre Futbol menos Danza?.

Se tiene que determinar ambas probabilidades y aquella que sea mayor es la respuesta.
n <- length(union(K, F)) 
PKUF <- n/N
PKUF
## [1] 0.7
n <- length(setdiff(F, D))
PFdifD<- n/N
PFdifD
## [1] 0.5
paste("Es mas probable que haya una persona que participe en Karate o Futbol que una persona que participe en Futbol y no esté en Danza. 
")
## [1] "Es mas probable que haya una persona que participe en Karate o Futbol que una persona que participe en Futbol y no esté en Danza. \n"

3.2. ¿Que existe una persona en el complemento de Danza o que exista una persona en la unión de Danza y Karate?

n <- length(setdiff(S.muestral, D))
CD <- n/N
CD
## [1] 0.8
n <- length(union(D,K))
DK <- n/N
DK
## [1] 0.3
paste("Es mas probable que aya una persona en la clase de danza que una persona que vaya en unon a danza y karate ")
## [1] "Es mas probable que aya una persona en la clase de danza que una persona que vaya en unon a danza y karate "

3.3. ¿Existe probabilidad de que hay personas que practiquen Basquetbol y Karate?, de cuánto?

n <- length(intersect(B,K))
BK<- n/N
BK
## [1] 0
paste("No existe ninguna probabilidad.")
## [1] "No existe ninguna probabilidad."

Bibliografia

Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2010. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13th ed. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,.

Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.