Ejercicios Teóricos

1. Empleando al texto “Applied Time Series Analysis” de Mills(2019) explique que es la prueba de Dicky Fuller.

La prueba de Dickey Fuller o test de raíz unitaria, es un test que, de manera estadística, busca determinar la conducta tendencial estocástica de las variables en las series temporales, para ello, utiliza una prueba de hipótesis, que Mills (2019) lo formaliza de manera matemática de la siguiente forma:

\[ t_\phi = \frac{\phi_T-1}{\sigma_{\phi_T}}=\frac{\phi_T-1}{(S_T^2/∑_{t-1}x^2_{t-1})^2} \]

Donde \(\sigma_{\phi_T}=(\frac{S_T^2}{∑_{t-1}^T x^2_{t-1}})^{1/2}\)

Esto busca mostrar la no estacionariedad, dentro del mecanismo de generación de datos. Principalmente dado por los frecuentes casos donde se toma como un síntoma a la serie de tiempo subyacente no estacionaria. Por lo que se requiere una diferenciación.

Dentro del test, la hipótesis nula representa la presencia de un modelo de caminata aleatoria en las observaciones. Mientras que la hipótesis alternativa implica que la estacionariedad de la serie presente en las observaciones. En resumen, cuanto más cerca esté el primer coeficiente de un modelo AR(1) de 1, más tiempo le tomará a las observaciones para situarse en el valor medio. Esto es sinónimo de no estacionariedad ya que, si el proceso estocástico fuera estable, este coeficiente sería menor a 1 o muy próximo a 0.

2. Empleando al texto de Wei(2006), Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods, explique, ¿qué comprende la diferenciación de una serie no estacionaria?

Una serie de tiempo es estacionaria cuando: la fluctuación sobre una media de nivel constante es predecible por la naturaleza física de la serie, en otras palabras, la media no varía con el tiempo. Además, la varianza de la variable aleatoria debe ser constante, y la covarianza entre 2 variables aleatorias es constante y despende solo del tiempo. Así:

\[ E(x_1 )=E(x_2 )=⋯=E(x_T )=μ \\ V(x_1 )=V(x_2 )=⋯=V(x_T )=σ_x^2 \\ Cov(X_1,X_{1+k} )=Cov(X_2,X_{2+k} )=⋯=Cov(X_t,X_{t-k}) \]

Bajo estas propiedades un proceso estocástico es estacionario.

Por otro lado, las series de tiempo no estacionarias pueden tener medias no constantes, variabilidad en la ley de segundo orden; esto es, una varianza no constante, o ambas propiedades en conjunto. En resumen, si un proceso mantiene una media no constante se considera no estacionario. Ejemplos de procesos no estacionarios pueden ser el tipo de cambio entre dos divisas, en cambio, un proceso estacionario puede ser la evolución del PIB.

La diferenciación de una serie no estacionaria puede venir determinada por la característica de la media. A saber, en los modelos de tendencia determinista, y los modelos de tendencia estocástica .

En los modelos de tendencia determinista se usa modelos de regresión estándar para describir los fenómenos. A su vez, los modelos de tendencia estocástica la no estacionariedad se puede deber a algunas fuerzas de equilibrio, donde algunas partes de la serie se pueden comportar de manera similar, excepto por algunas diferencias en la media de algunas zonas específica.

3. A partir de la lectura “Time Series Analysis with Applications in R” de Cryer y Chan (2008) explique, ¿qué es un proceso ARIMA?

Un proceso ARIMA son las siglas en ingles de “Integrated Autoregressive Moving Average”, que es español significaría un proceso autoregresivo integrado de media móvil. Una serie de tiempo es considerada ARIMA si la diferenciación d, \(W_t=∂^d T_t\) es un proceso ARMA estacionario.

En otras palarbas, si el proceso \(W_t\) sigue un modelo ARMA(p,q), se puede afirmar que \(W_t\) es un proceso ARIMA (p,d,q)

Así, un proceso ARIMA (p,1,q) puede ser representado como:

\[ Wt = \phi_1W_{t – 1} \phi_2W_{t – 2} + \ … \ +\phi_pW_{t – p} + e_t θ_1e_{t–1}- \phi_2 e_{t – 2} – \ ...\ - θ_qe_{t –q} \]

Este proceso es estacionario, en su forma general. Resultado llamado por Wei (2006) como un modelo no estacionario homogéneo.

Preguntas de Aplicación

1. A partir del siguiente proceso autoregresivo:

\[ w_t = 0.552w_{t-1}+0.711w_{t-2}-0.571w_{t-3}+\varepsilon_t \] \[ con \ \varepsilon_t \sim RB(0;\sigma^2_e ) \]

phi_1=0.522
phi_2=0.711
phi_3=-0.571
wt_ar3=numeric(0)
T=1000; sigma=16
rb=rnorm(T,0,sigma)
#bucle
wt_ar3[1]=rb[1]
wt_ar3[2]=rb[2]
wt_ar3[3]=rb[3]
for(i in 4:T){wt_ar3[i]=phi_1*wt_ar3[i-1]+phi_2*wt_ar3[i-2]+phi_3*wt_ar3[i-3]+rb[i]}
my_acf=acf(wt_ar3, plot=F)
my_acf[0:4]

## 
## Autocorrelations of series 'wt_ar3', by lag
## 
##     0     1     2     3     4 
## 1.000 0.392 0.665 0.010 0.255

library(forecast)

## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
##   method            from
##   as.zoo.data.frame zoo

phi_1=0.522
phi_2=0.711
phi_3=-0.571
wt_ar3=numeric(0)
t=1000; sigma=16
rb=rnorm(t,0,sigma)

wt_ar3[1]=rb[1]
wt_ar3[2]=rb[2]
wt_ar3[3]=rb[3]

for(i in 4:t){wt_ar3[i]=phi_1*wt_ar3[i-1]+phi_2*wt_ar3[i-2]+phi_3*wt_ar3[i-3]+rb[i]}
ts.plot(wt_ar3)

acf(wt_ar3, main="Representación de autocorrelación del proceso")

2. A partir del siguiente proceso ARMA:

\[ w_t=0.78w_{t-1}-0.64ε_{t-1}+ε_t \]

con \(ε_t\sim RB(0;σ_e^2)\)

t=1000
sigma=16
rb=rnorm(t,0,sigma)
arima1_1=arima.sim(list(ar=c(0.78),ma=c(-0.64)),innov = rb, n=1000)
plot(arima1_1, main="Proceso ARMA (1,1)", col="dark blue")

acf(arima1_1, main="Autocorrelación del proceso ARMA(1,1)")

Bibliografía

Mills, T. C. (2019). Applied time series analysis: A practical guide to modeling and forecasting. Academic press.

Cryer, J. D., & Chan, K. S. (2008). Time series analysis: with applications in R. Springer Science & Business Media.

Wei, W.S. (2006). Time Series Analysis: Univariate and Multivarieta Methods. Second Editio. The Fox School of Business and Management.