Notación

Se asume que de cada una de las \(k\) poblaciones o tratamientos se toma una muestra aleatoria simple de tamaño \(n_j\). Para los datos muestrales resultantes, sean

• \(x_{ij}\): valor de la observación \(i\) del tratamiento \(j\).

• \(n_j\): número de observaciones en el tratamiento \(j\).

• \(\bar{x}_j\): media muestral del tratamiento \(j\).

• \({s_j^2}\): varianza muestral del tratamiento \(j\).

• \(s_j\): desviación estándar muestral del tratamiento \(j\).

Estimación de la varianza poblacional entre tratamientos

• Cuadrado medio debido a los tratamientos

\[ \text{CMTR}=\frac{\text{SCTR}}{k-1} \] donde,

\[ \text{SCTR}= \sum_{j=1}^{k} n_j (\bar{x}_j-\bar{\bar{x}})^2 \]

y,

\(\bar{\bar{x}}\) es la media muestral general.

Estimación de la varianza poblacional dentro de los tratamientos

• Cuadrado medio debido al error

\[ \text{CME}=\frac{\text{SCE}}{n_T-k} \] donde,

\[ \text{SCE} = \sum_{j=1}^{k} (n_j-1)s^2_j \] y,

\(n_T = n1 + n2 + \cdots + nk\)

Comparación de las estimaciones de las varianzas: la prueba F

• Estadístico de prueba para la igualdad de \(k\) medias poblacionales

\[ F=\frac{\text{CMTR}}{\text{CME}} \]

Este estadístico de prueba sigue una distribución \(F\) con \(k-1\) grados de libertad en el numerador y \(n_T-k\) grados de libertad en el denominador.

Tabla ANOVA para un diseño completamente aleatorizado

Al dividir las sumas de cuadrados entre los correspondientes grados de libertad, se obtienen las estimaciones de la varianza, el valor de \(F\) y el valor-p empleados en la prueba de hipótesis de igualdad entre las medias poblacionales.